CHAPITRE VII. — INTÉGRALES NORMALES

Si une courbe de genre deux possède une intégrale de première espèce, ayant seulement deux périodes, elle en possède nécessairement une seconde jouissant de la même propriété.

Voici deux exemples où l'on connaît les deux intégrales de première espèce qui se ramènent à des intégrales elliptiques. Les deux intégrales de première espèce

dz r zdz

J \/z^ -\-az^-^bz'^-\-c'' J s/z^

az'*^ bz'^^c

relatives à la courbe de genre deux, u^ = z^ ^ az'* + bz^-\-c^ se ramènent à des intégrales elliptiques parle même changement de variable ^^= t.

Les deux intégrales de première espèce

dz r ^dz

OÙ l'on a

r dz r^^

J s/{z^-^az-t-b){z^^pz'^-^q)' J\l{z^-

q^ \b^-ap,

se ramènent de même à des intégrales elliptiques, en posant respectivement

z'^-^az^b z"^-^ pz'^-\- g .

^"^ Zz—p ' azi—Zbz-^ ~

On remarquera, sur ces exemples, que le degré de la substitution à faire est le même pour les deux intégrales. C'est là une propriété générale, dont on trouvera la démonstration dans le Mémoire de M. Picard (').

(1) Le lecteur, désireux d'approfondir ce sujet, pourra étudier aussi les travaux suivants :

Kœnigsberger, Journal de Borchardt, t. LXIV; Kowaleski (Sophie) Acta mathematica, t. IV, p. 894; Poincaré, 5ar la réduction des intégrales abéliennes {Bulletin de la Société mathématique, t. XII, p. 174); Picard, Remarque sur la réduction {id., p. i53); Goursat, Sur la réduction des intégrales hyperelliptiques {Bulletin, t. XIII, p. i47)-

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. SjS

Expression d'une fonction rationnelle au moyen d'intégrales normales de seconde espèce. — Théorème de Riemann-Roch. — Fonctions spéciales. — Fonctions d'ordre minimum. — Courbes hyperelliptiques. — Relations entre les pôles et les zéros. — Expression générale d'une fonction uniforme avec un nombre fini de points singuliers.

168. On a déjà fait remarquer, à plusieurs reprises (n°^ 45, loo), qu'une fonction rationnelle R(^, «), où z et u sont liées parla relation algébrique F (z, u) = o^ est égale à une somme d'intégrales abéliennes de première et de seconde espèce, relatives à cette courbe algébrique. Ce mode de décomposition étant d'une importance capitale, il est nécessaire de l'étudier d'une façon plus approfondie. Pour simplifier les notations, nous supposerons que les pôles (a,, [^,), . . ., (a^t, fi^) sont des points de la surface de Riemann à distance finie et distincts des points de ramification.

Soit

z — ai (^-a/)2 ' {z — aiy

la partie principale de la fonction considérée R(^, u) dans le domaine du pôle (a/, ^/). La difî'érence

R(^, u)-^[\[^^ Z{z, u: a,, p,) -h. . .+ Al^.^ Zfv.-i^^, «; ^o M

est une intégrale abélienne régulière en tous les points de la surface de Riemann, et dont les périodes relatives aux coupures a/i

( ') Auteurs à consulter : Riemann, AbeVschen Functionen, § 8; Roch, Journal de Crelle, t. 64; Brill et Nôther, Mathematische Annalen, t. VII; Klein, Théorie der elliptischen Modulfunctionen^ t. I, p. 5^0 et suivantes

sont toutes nulles; elle se réduit donc à une constante (n° 118)

et l'on a

(i) R(z, w) = G + 2 [AV')Z(U, uioci, p,-) +. ..-^Alf. Z(v.-i)(^, u;ai, p,-)]-

Telle est la formule fondamentale de décomposition que nous voulions obtenir; elle met en évidence les pôles et les parties principales de R(5, w). Il est à remarquer que la fonction qui joue le rôle d'élément simple Z(^, u ; Ç, Tj) n'est pas uniforme sur la surface de Riemann,

La formule (i) montre immédiatement que les coefficients Aj'^jA^^ ... ne peuvent pas être pris arbitrairement. Il faut, en effet, que les périodes du second membre de cette formule relatives aux coupures bh soient toutes nulles. Or, la période relative à la coupure bk est (n° 146)

les coefficients A'^^', A^^ ... doivent donc vérifier les /? relations

(-2) ^ [A'/'cp„(a,, ?,) +. . .+ A<';)cp^-^)(a,-, p,)] = o.

Ces relations sont d'ailleurs suffisantes pour qu'il existe une fonction rationnelle R(«, u) admettant les /: pôles (a^ , p<) . . ., (a^, p^), avec les parties principales données. En effet, le second membre de la formule (i) représente alors une intégrale abélienne dont toutes les périodes sont nulles, c'est-à-dire une fonction rationnelle de z et de u.

Remarque. — La somme

représente le résidu du produit R(^, u)z)/i(z^ u) relatif au pôle (a/, ^i). Lesp relations (2) expriment donc que les sommes des résidus des p fonctions rationnelles

sont nulles, car tous ces résidus proviennent des pôles de ^{z, u). En résumé, les p relations linéaires que doivent vérifier les coefficients des parties principales de ^{z-^ u) s^ obtiennent en écrivant que la somme des résidus de toute fonction rationnelle

R(;, u) 'f (^, u)^ oit I cp(^, u)dz est une intégrale quelconque

de première espèce, est égale à zéro.

C'est là, au fond, une façon condensée d'écrire les/? relations qui existent entre ces coefficients, qui s'applique aussi, il est aisé de s'en assurer, quelle que soit la position des pôles. 11 est clair, d'ailleurs, que ces relations peuvent toujours être écrites explicitement quand on a obtenu l'expression générale des intégrales de première espèce (Cf. n° 29).

169. Nous sommes maintenant conduits à traiter le problème suivant : Former l'expression générale d'une fonction rationnelle de z et de u, admettant k pôles donnés (a, , j3,), . . . , (ayt, ^a) avec des degrés de multiplicité déterminés, v,, Vo, . . . , v^.

Les coefficients arbitraires A:^\ A^', . . . , dont dépend la fonction cherchée R(^, u)^ sont au nombre de

M = V,-h V2-f- . . . -f- VA-.

Ces coefficients doivent vérifier p relations linéaires et homogènes. Si nous supposons ces relations distinctes, le problème n'est possible que si M^yo + i, et la fonction cherchée dépend alors de M — p constantes arbitraires, abstraction faite d'une constante additive. Mais il peut arriver que, pour certaines positions particulières des pôles, les p relations linéaires se réduisent à moins de p relations distinctes. Ce point demande un examen particulier et nous allons nous j arrêter.

Supposons d'abord qu'on veuille former une fonction ayant un seul pôle arbitraire (a, JB) d'ordre v. Le problème n'est possible que si v est >/?+ i. Le point (a, [^) étant, par hypothèse, un point arbitraire de la surface, on peut le supposer à distance finie et distinct des points de ramification. Soit

Al A.2 i .2. . . (v — l)Av

'z^^ ~^ {z — af "^ • • • "^ (5 — a)v

376 CHAPITRE Viri.

la partie principale dans le domaine de ce pôle; les v coefficients

Ai , Ao, . . ., Av doivent vérifier les p relations

Ai«pKa. P) + A2o;-(a, p) + ,.. + Avcp'>-i)(a, P) = o (i = i, 2, . . . ,/?).

Si V est inférieur à/> + i , les équations précédentes n'admettent pas d'autre solution que Ai = A2= . . . = Av= o, à moins que tous les déterminants d'ordre v contenus dans le Tableau

ne soient nuls en même temps. On démontre, comme au n'' 154, que ces déterminants ne peuvent être nuls pour un point arbitraire (a, p) de la surface de Riemann. Par conséqueni, si une fonction rationnelle de z et de u admet un seul pôle sur la surface (ce pôle pouvant être choisi arbitrairement), Tordre v du pôle ne peut être inférieur à /> +1. C'est de cette façon que M. Weierstrass définit le genre d'une relation algébrique (Cf. n° 28).

Supposons, en second lieu, que l'on veuille obtenir l'expression générale d'une fonction rationnelle de z et de u^ admettant v pôles du premier ordre (ai, j3,), . . ., (av, jiiv). Afin d'éviter les difficultés accessoires, nous supposerons qu'on a effectué, s'il est nécessaire, une transformation birationnelle, de façon que les conditions suivantes soient remplies : i" la courbe considérée C, représentée par l'équation

supposée de degré m, a m points distincts à l'infini, et aucune asymptote n'est parallèle à l'axe des u ; 2° les v points (a< , ^i), . . . , (av, Pv) sont des points simples de cette courbe et, en aucun d'eux, la tangente n'est parallèle à l'axe des u. Toute fonction rationnelle R(s, u\ infinie du premier ordre en ces v points seulement, est représentée par une somme d'intégrales normales de seconde espèce,

R(^, i<)= G-T- AiZ(,s, w; ai, Pi) + . . .4- AvZ(^, w; av, ^v)- Soient, d'autre part, Q, (:î, 11)^ ^%{^^ w), . . ., Q^(5, u) lesppolj-

nomes adjoints distincts de degré m — 3, de façon que l'équation générale des courbes adjointes de degré m — 3 soit

XiQi(^, w)+ \t^i{z, u) -{-... -^IpQpiz, u)= G. On a les p intégrales distinctes de première espèce,

et les p relations (2), que doivent vérifier les v coefficients A|, Ao, . . ., Av, peuvent s'écrire

'^^F^'.Cx^pO 'F«(a2,?2) 'FUav,?v)~

si Ton pose A, =:B, F^'^(ai, j^i), . . ., Av= B^F[^(xy, ^v)? ces p relations deviennent

/ BiQi(a,,^0--B,Q,(a2, !3,) + -..-{-BvQi(av, pv)=o,

En général, si les v pôles (a,, j^,), . . ., (av, ^v) sont pris arbitrairement sur la courbe, les p équations (4) sont distinctes, ce que l'on voit en reprenant les raisonnements du n° 154. Pour qu'elles admettent un système de solutions autre que B,==B2...= Bv=o, il faut donc, en restant dans le cas général, que v soit au moins égal àjoH-i, et, s'il en est ainsi, v — p des coefficients B/ peuvent être pris arbitrairement. Il n'existe donc pas de fonction rationnelle admettant moins de p -\- i pôles simples donnés arbitrairement.

Approfondissons davantage la question. Il peut se faire que les p équations (4) se réduisent k p — o- équations distinctes, par exemple que les a- dernières équations soient des conséquences des p — (7 premières. Si cette circonstance se présente, tous les déterminants d'ordre/? — 3-4-1 que l'on peut déduire du Tableau rectangulaire

I Qi(ori,?i)'Qi(a2, ?2) ... Qi(av,Pv) (E)

' Q/.(«i,Pi) Qp(a2,?2) .. QpC^vmSv)

378 CIlAriTRE VIII.

par la suppression d'un certain nombre de lignes et de colonnes sont nuls, mais l'un au moins des déterminants d'ordre p — a- est différent de zéro. Or ce Tableau (E) se présente dans une autre question. Supposons que l'on \euille obtenir l'équation générale des courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par les v points donnés, on a à déterminer les p coefficients A,, X^-t - > • i^p au moyen des v équations de condition

(5) XiQi(«/, h)-^- . .+X;,Qp(a,-, ^0=0 {i = I, 2, . . ., v).

D'après la théorie des équations linéaires, si le premier déterminant du Tableau (E) qui n'est pas nul est d'ordre/? — a-, a- des coefficients \i restent arbitraires, ce qu'on exprime encore en disant que par les v points (ai, pi), . . . , (av, j^v) il passe o- courbes adjointes de degré m — 3 linéairement indépendantes. En résumé, les p équations (4) se réduisent à p — c- équations distinctes, <y désignant le nombre des courbes adjointes linéairement distinctes d^ ordre m — 3, qui passent par les v points considérés.

Si V n'est pas supérieur kp — o-, il n'existe pas d'autre solution que B< = B2 = . . . 3= Bv = o ; mais, si v est plus grand que/? — a-,

V — p H- 0- des coefficients Ai, A2, . . . , Av restent arbitraires et, en comprenant une constante additive, la fonction rationnelle cherchée dépend de v —p + o- + i constantes arbitraires. Nous pouvons donc énoncer le théorème général suivant, qui est connu sous le nom de théorème de Riemann-Roch (' ) :

Etant donnés v points sur une courbe algébrique, la fonction rationnelle de z et de u la plus générale qui devient infinie du premier ordre en cjuelcjues-uns de ces points, et qui reste régulière en tout autre point de la surface, dépend de

V — p -I- 0- -4- 1 constantes arbitraires, le nombre o- ayant la même signification que plus haut.

Cet énoncé donne lieu à quelques remarques :

I. La fonction rationnelle cherchée n'existe que si le nombre

V — /? + 0- -h I est au moins égal à 2 ; cette fonction n'est pas né-

(') Riemann n'avait considéré que le cas général où a = 0; c'est Roch {Jour nal de Crelle, t. 64) qui a étudié le cas où a a une valeur quelconque.

cessairement infinie du premier ordre en chacun des v points (a,,^,), ..., (av, |3v)5 car il peut se faire que quelcjues-uns des coefficients A,, Ao, . . ., ^v soient nuls, mais il en reste toujours

V — p -f- 3- d'arbitraires.

II. Le cas où quelques-uns des pôles sont d'ordre supérieur au premier est à considérer comme cas limite du précédent. Si, par exemple, /' des points (a,, ^,), . , ., (av, ^^i) sont venus se confondre en un point (a, ^, la fonction R(-3, li) aura un pôle d'ordre r au plus en ce point; au lieu de considérer les courbes adjointes qui passent par ;• points distincts, il faudra considérer les courbes adjointes ayant un contact d'ordre /' — i avec la courbe proposée au point (a, P).

170. Une courbe adjointe de degré m — 3 ne rencontre la courbe proposée qu'en ip — i points, en dehors des points multiples. Par conséquent, si v est supérieur à ip — 2, le nombre t est égal à zéro et la fonction R(-:;, u) contient toujours v — p -h i constantes arbitraires, quelle que soit la position des pôles sur la surface de Riemann. Si v est inférieur ou égal à ip — 2, d'autres circonstances peuvent se présenter : 1° supposons d'abord

jD — 1 < V 1 2/3 — 2 ;

il ne passe pas, en général, de courbe adjointe de degré m — 3 par ces v points, s'ils sont pris arbitrairement sur la courbe (n" 140). Mais, s'il en passe une ou plusieurs, nous dirons que ces points forment un groupe spécial. Il existe toujours de pareils groupes; il suffît, en effet, de considérer une courbe adjointe quelconque de degré m — 3 et de prendre p — i 4- A de ses points d'intersection avec la courbe donnée; 2° soit v^/? — i; par ces v points passe, en général, un faisceau d'ordre p — v — i de courbes adjointes de degré m — 3. Mais, pour certaines positions de ces

V points, il peut se faire que l'ordre du faisceau soit plus élevé, p — V — i + /i par exemple. On dira encore que les v points forment un groupe spécial. En résumé, un groupe spécial est caractérisé par ce fait que la multiplicité des courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent, par les points de ce groupe est d'ordre plus élevé qu'on ne devrait s'y attendre d'après le nombre des points de ce groupe. Il est clair, d'après cela, que v points pris au hasard

38o CHAPITRE VIII.

sur une courbe algébrique (v^ip — 2) ne forment pas un groupe spécial.

Etant donné un groupe spécial, il existe toujours une fonction rationnelle, qui n'admet que des pôles du premier ordre, appartenant tous à ce groupe. Il suffît évidemment de supposer v<</>-l- 1 . Si V =p, /? > I , on a un groupe de/? points sur une même courbe adjoinle de degré m — 3; le nombre o- est au moins égal à un et V — p | 0- -h I est au moins égal à deux. Donc la fonction rationnelle existe. De même, si l'on a un groupe spécial de moins de p points, le nombre o- est égal k p — v -h /i, h étant un nombre entier positif, et le nombre v — p -h o- -{- i est égal à /^ -j- i , qui est au moins égal à deux. Les fonctions rationnelles ainsi obtenues s'appellent des fonctions spéciales.

Inversement, si une fonction rationnelle admet moins de p -\- i pôles, tous du premier ordre, ces pôles forment un groupe spécial. En effet, si cette fonction admet/? pôles simples, le nombre odoit au moins être égal à l'unité, et, par suite, ces p points doivent être situés sur une même courbe adjointe de degré m — 3. Si la fonction admettait v pôles simples (v<C/?) ne formant pas un groupe spécial, on aurait o- =p — v, et la fonction rationnelle dépendrait de V — P -^{p — v)+[ = i paramètre arbitraire; or, nous avons remarqué que cette fonction n'existe que si le nombre des paramètres dont elle dépend est au moins égal à deux.

171. On doit à MM. Brill et Nother une loi de réciprocité remarquable, relative au cas où o- n'est pas nul. Prenons les ip — 2 points d'intersection de la courbe donnée avec une courbe adjointe d'ordre m — 3, et partageons ces points en deux groupes Gv, Tv', composés respectivement de v et de v' points (v -f- v'= ip — 2). Soit 0- le nombre des courbes adjointes linéairement indépendantes d'ordre m — 3 qui passent par les points du groupe Gv, et a-' le nombre analogue relatif à Fv'. Soit encore /(^, z/)= o l'équation de la courbe adjointe d'ordre m — 3 qui passe par Gv et Fv', et cp(^, i^)=r o l'équation générale des courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par Gv; cp(^, u) est une fonction linéaire et homogène de o- constantes arbitraires. La fonctioa rationnelle

■ V/' ^ est infinie du premier ordre aux v' points de Fv' seulement

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. 38l

(ou en quelques-uns de ces points) et dépend de t paramètres arbitraires. On a donc, d'après le théorème général de Riemann- Roch,

v' p -I- C7'+ I^CJ,

égalité qui subsiste alors même que t serait égal à un; en intervertissant les deux groupes de points daas le raisonnement, on voit de même que l'on a

En ajoutant ces deux inégalités membre à membre, il vient

or V + v' = 2/? — 2, et, par conséquent, le signe ^ doit être exclu des relations précédentes. Il reste donc les deux égalités

V — p -\- a -h I = a', qui se réduisent d'ailleurs à une seule

v' — v = 2(cr — a); c'est la loi de réciprocité de Brill et Nother.

172. On peut se proposer de former explicitement l'expression de la fonction rationnelle la plus générale ne devenant infinie du premier ordre qu'en v points donnés (a,, ^,), ..., (av, ,3v) ou en quelques-uns de ces points. Lorsque ces v points forment un groupe spécial G;, la solution est contenue implicitement dans le paragraphe précédent. Ces v points sont situés sur une courbe adjointe C/;j 3, qui rencontre encore la courbe donnée en v' points formant un groupe F,/. L'équation générale des courbes adjointes d'ordre m — 3 passant par les v' points de Fv , dépend, nous venons de le voir, de v — yo -h t -h i paramètres arbitraires. Soit o(^, w) = G cette équation générale et/(-:?, u) =o l'équation de la courbe particulière G/„3 qui passe par les points

de Gv et de F,/. La fonction rationnelle ^^^ — - dépend de

constantes et ne devient infinie du premier ordre qu'aux points donnés; c'est l'expression générale demandée.

On voit, d'après cela, que toute fonction spéciale R(^, u) se présente sous forme du quotient de deux polynômes adjoints d'ordre t^ — 3. \oici une autre démonstration très simple de ce résultat, qui est due à M. Klein. Étant donnés v points formant un groupe spécial, soit Q = o l'équation d'une courbe adjointe d'ordre m — 3 passant par ces v points et R(^, u) une fonction spéciale ne devenant infinie du premier ordre qu'aux v points considérés.

L'intégrale / -^7- dz reste finie aux v points de ce groupe, puisque

la courbe Q = o passe par ces points; elle est finie également pour les points à l'infini, car la fraction R(s, u) reste finie en ces points, et le polynôme Q est du degré m — 3. Cette intégrale est donc une intégrale de première espèce, et, par suite, le produit QR est égal à un autre polynôme adjoint Q, d'ordre m — 3.

Supposons, en second lieu, que les v pôles donnés ne forment pas un groupe spécial; le nombre v est plus grand que /?, et les v points ne sont pas situés sur une courbe adjointe d'ordre m — 3. Nous supposerons, pour plus de netteté, que la courbe considérée n'a que des points doubles ordinaires. Choisissons pour tji un nombre entier satisfaisant aux inégalités

[j. > m, [JL m > 2 <i 4- V,

et formons l'équation d'une courbe de degré ijl passant par les d points doubles de Cet par les v points donnés (a,, [^<), .. . ^ (av, ^v). Cette courbe Cj^ rencontre la courbe donnée en

A" = ^xm — id — V

autres points (a), p]). L'équation générale des courbes de degré [jl, C|l, passant par les d points doubles de C et les k points (a-, (3;) dépendra de

h = — ~+- r — ut. /?! -f- c/ + V

paramètres. Soit

l'équation générale des courbes Cji, et

l'équation de la courbe parliciilière Cj^; la fonction rationnelle

n'admet pour pôles que les points donnés ou quelques-uns d'entre eux; car elle conserve une valeur finie pour les points doubles et les k points (a-, [3]).

Cette fonction rationnelle paraît contenir un nombre de constantes arbitraires supérieur à celui qu'indique la théorie. Pour expliquer ce paradoxe, remarquons qu'on ne diminue pas la généralité en remplaçant cp(^, u) par

Oi(z, u) =o(z, u) — 6{z, u)F(z, II), '^(z, u) étant un polynôme arbitraire de degré jjl — 7n.

On 1 ([J- — ^^)(l''- — m -^ 3) fn • • 1/

n peut proiiter des H- i coeilicients indéterminés dont dépend ^(^, u) pour attribuer une valeur déterminée à un pareil nombre de coefficients de 'f((^, u). Il restera dans ce polynôme

jjiffjL-t- 3) (ijL — m)((jL — m -h 3)

(m — i)(fyi — 2) — \x m H- — ^ — p-T-v = v — p -T-i

coefficients arbitraires, comme l'indique la théorie.

Remarque. — Le cas oii quelques-uns des pôles seraient d'ordre supérieur au premier est toujours à considérer comme cas limite et se traiterait de la même façon. Au lieu de prendre des courbes adjointes passant par les v pôles donnés, on aurait, d'une façon plus générale, à prendre des courbes adjointes ayant avec la courbe donnée, en des points donnés, des contacts d'un certain ordre.

La même méthode permet d'obtenir explicitement une fonction rationnelle dont on connaît les pôles avec les parties principales correspondantes. Si l'on a formé l'expression générale des fonctions rationnelles admettant les pôles donnés, cette expression contient un certain nombre de constantes arbitraires. En écrivant que les coefficients des parties principales ont des valeurs don-

nées, on a un certain nombre d'équations linéaires permettant de déterminer ces constantes. On opérerait de la même façon pour obtenir une fonction rationnelle, dont on suppose connus à l'avance les pôles et les zéros.

173. Toute fonction rationnelle R(3, u) admettant v pôles simples se présente, d'après ce qui précède, sous la forme suivante

(d(z-, u) et f{z^ u) étant deux polynômes du même degré*, tous les points communs aux deux courbes F = o, /= o, sauf les v pôles donnés, appartiennent aussi à la courbe 'f = o. Il suit de là que le faisceau de courbes

rencontre la courbe donnée en v points seulement variables avec X, ce groupe de v points venant se confondre avec le groupe des v pôles pour X = o. Inversement, d'un faisceau de courbes rencontrant la courbe donnée en pi points variables seulement, on déduit une fonction rationnelle devenant infinie du premier ordre en ^ points seulement.

On a vu qu'il n'existait pas de fonction rationnelle admettant moins de p -\~ i pôles simples, si ces pôles sont pris arbitrairement. Par conséquent, s'il existe un faisceau de courbes rencontrant la courbe donnée en v points variables seulement, l'un de ces groupes de v points pouvant être choisi arbitrairement, v est au moins égal à/>-f-i. Nous retrouvons une proposition déjà établie directement (n" 139).

174. Soit F(z, u) = o l'équation d'une courbe de genre supérieur à zéro; il ne peut exister pour cette courbe de fonction rationnelle de z et de u, admettant un seul pôle du premier ordre. En effet, s'il existait une pareille fonction ç ^-^z c^(^z, u), k toute valeur de ^ correspondrait un seul point analytique (z^ u) et les coordonnées d'un point de la courbe considérée seraient des fonctions rationnelles du paramètre p. Ceci prouve, soit dit en passant, que

les courbes adjointes d'ordre m — 3 n'ont, en dehors des points multiples, aucun "point fixe commun avec la courbe. En effet, si l'on avait pour un point (a, j^) de cette courbe

Qi(a,3) = Q2(a,P)=... = Q„(a,3) = o,

l'intégrale normale de seconde espèce Z(:;, u\ a, [3) aurait toutes ses périodes nulles; elle serait donc égale à une fonction rationnelle de ^ et de u^ ayant un seul pôle du premier ordre.

Il suit de là que, pour une courbe donnée, le nombre des pôles d'une fonction rationnelle (tous ces pôles étant supposés du premier ordre) ne peut descendre au-dessous d'un certain minimum. Ce nombre minimum r, qui se conserve évidemment dans toute transformation birationnelle, paraît devoir jouer un rôle important dans la théorie des courbes algébriques. On peut encore (n*^ 173) le définir comme le nombre minimum de points d'intersection variables de la courbe donnée avec les courbes d'un faisceau. Le nombre r se présente aussi quand on cherche, parmi les différentes relations algébriques de même classe qu'une relation donnée^ celle qui est du plus petit degré possible par rapport à une des variables. Soit

une équation algébrique se déduisant de la relation F (-3, u) =i o, au mojen des formules de transformation

(7) z=/(^, u), u=o(^, iO;

chacune des fonctions /(^, w), cp(^, u) admet au moins r infinis, et, par conséquent (n° 119), la relation (6) est au moins du degré r par rapport à chacune des variables.

Inversement, supposons que la fonction rationnelle/ (::, u) ait /• pôles du premier ordre (a(, j3,), . . ., (a,., ^3^); prenons pour '-p(-3, u) une fonction rationnelle ayant un seul pôle du premier ordre commun avec/(;:;, u), par exemple le point (a,, p, ). Les formules (7) définissent bien une transformation birationnelle, car la courbe transformée (6) a une direction asymptotique non parallèle aux axes de coordonnées; au point à l'infini dans cette direction ne correspond qu'un point unique de la courbe

primitive, le point (a,, [3,). D'ailleurs, la nouvelle équalion(6) est bien de degré r par rapport à U.

Examinons les cas les plus simples. Si/? = i, il existe toujours une fonction rationnelle admettant deux pôles simples, pris d'une façon arbitraire; donc r=zi. Si p = 2, on a encore /• = 2 ; en effet, soient Qi et Q^ deux polynômes adjoints distincts d'ordre

m — 3. Le quotient ~ n'admet que deux pôles du premier ordre.

D'une manière générale, lorsque p est supérieur à un, /• est au plus égal à p; car, si l'on considère deux courbes adjointes d'ordre m — 3, Qi =1 o, Q2 = o, ayant, avec la courbe proposée, p — 1 points communs en dehors des points doubles, le quotient

^ a au plus/? pôles du premier ordre. Lorsque p est plus grand Se 2

que 3, on peut encore trouver pour r une limite inférieure, comme on le verra plus loin. Mais, pour /? = 3, on peut avoir r = 2, ou r = 3. 11 est facile de donner des exemples des deux cas. Ainsi, une courbe du cinquième degré avec un point triple est du genre 3 (n^l29); une droite passant par le point triple rencontre la courbe en deux points variables seulement, 7'= 2. Une courbe du quatrième degré sans point double est encore du genre 3, mais ici on a /" = 3. En effet, s'il y avait une fonction rationnelle admettant seulement deux pôles du premier ordre (a, P), (a', (B'), on devrait avoir pour ce groupe de deux points o- = 2 , c'est-à-dire qu'ily aurait une infinité de courbes adjointes d'ordre m — 3 passant parées deux points; or ces courbes adjointes sont des lignes droites.

175. Après ces généralités, considérons en particulier les courbes algébriques pour lesquelles ?^=2. Soient (a,,^,) et (a2, P2) les deux pôles du premier ordre d'une fonction rationnelle R(5, u), qui n'admet pas d'autres pôles que ces deux-là. Ces deux points (ai, p< ) et (ao, po) doivent former un groupe spécial, c'est-à-dire que les deux équations

XiQi(ai, Pi)+...+ X^Qy,(ai, Pi) =0, XiQi(a2, ^z) ■+-... -^-IpQpi^i, P2) = o

doivent se réduire à une seule. On a donc

Qi(«2;pO ^ ^Qp(«2, P2).

en langage géométrique, cela signifie que toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par le point (a,, j^, ) vont passer par un second point fixe (ao, ^o)- Or, le point (a, , J5,) peut être pris arbitrairement, puisque c'est un des deux points d'intersection variables de la courbe donnée avec les courbes d'un faisceau. Les courbes considérées jouissent donc de la propriété suivante :

Toutes les courbes adjointes d^ordre m — 3 qui passent par un point quelconque de la courbe donnée vont passer par un second point fixe de cette courbe (*).

Inversement, si une courbe C possède cette propriété, prenons, sur C, /? — 2 points fixes arbitraires. Les courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par ces/? — 2 points fixes vont passer par p — 2 autres points fixes de G; le faisceau de ces courbes rencontre donc la courbe G en deux points variables seulement. Soit

l'équation de ce faisceau; les coordonnées des deux points d'intersection variables s'obtiennent par la résolution d'une équation du second degré dont les coefficients sont rationnels en \. On a donc, pour les coordonnées d'un point de G, les expressions suivantes

( ^^A-Bv/RÔ"), (9)

R()v) étant un polynôme premier avec sa dérivée et A, B, G, D des fonctions rationnelles de \. Inversement, des formules (8\ et (9) on tire, pour ). et y/R(l), des fonctions rationnelles de z et de u^ de sorte que la relation algébrique considérée peut être ramenée, par une transformation birationnelle, à la relation hyperelliptique

(') Toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 passant par un point donné (a, P) ne peuvent passer par plus d'un autre point fixe de G, en dehors des points doubles. Autrement, une courbe adjointe d'ordre m—Z, qui serait assujettie à passer par /> — i points de G aurait plus de "ip — 2 points communs avec C, en dehors des points doubles.

Par extension, on appelle courbes hyper elliptiques toutes les courbes pour lesquelles /' := 2.

Les points d'une courbe hjperelliptique se correspondent deux à deux par une transformation birationnelle. Si l'on considère, en effet, deux points (a<, ^i), (as, [^0) formant un groupe spécial, il est clair que les coordonnées du point (ao, po) sont des fonctions rationnelles des coordonnées du point (a,, ^s) et inversement. Donc,/>ot^r une courbe hyperelliptique quelconque, il existe une transformation birationnelle involutive qui change cette courbe en elle-même. Mais cette propriété n'est nullement caractéristique. Elle appartient évidemment à toute courbe possédant un axe ou un centre de symétrie, par exemple à une courbe du quatrième degré ayant un axe de symétrie. Or, si cette courbe n'a pas de point double, elle n'est jamais de l'espèce hyperelliptique (n« 174).

On emploie quelquefois, pour l'étude des relations algébriques hyperelliptiques, une autre forme normale que celle qui nous a servi dans les premiers Chapitres. L'équation d'une courbe hyperelliptique ayant été ramenée, par une transformation birationnelle, à la forme

(II) i.'2 = P(^)Q(^),

où P(^) et Q(^) sont deux polynômes sans facteur commun, ni facteur multiple, le premier de degré /> + i ou/> 4- 2, le second de degré /?, la transformation birationnelle

z = z, ii = u'q{z')

conduit à une nouvelle courbe de degré p -i- 2

(12) u^q{z') = Fiz'),

qui présente un point multiple d'ordre p à l'infini sur l'axe Ou' ; les tangentes en ce point multiple sont toutes distinctes et chacune d'elles est une tangente d'inflexion. Inversement, toute courbe de degré /? H- 2 possédant un seul point multiple d'ordre/? à tangentes distinctes est une courbe hyperelliptique de genre /?,

car un pareil point singulier équivaut à^-^ points doubles

ordinaires, et l'on a

d'ailleurs, une droite passant par le point multiple rencontre la courbe en deux points variables seulement. Donc, à toute courbe de Vespèce hyperelliptique^ de genre /?, on peut faire correspondre, par une transformation birationnelle, une courbe de degré p-\-i avec un point multiple d'ordre p à tangentes distinctes.

Les courbes adjointes d'ordre m — 3 sont ici des courbes de degré p — i ayant un point multiple d'ordre /? — i • Elles se décomposent donc en un système de /> — i lignes droites passant par le point multiple. Il est évident géométriquement que toute courbe adjointe passant par un point fixe de la courbe va passer par un second point fixe.

176. Comme appbcation, proposons-nous d'appliquer à une courbe de cette espèce le théorème de Riemann-Roch, c'est-à-dire de chercher l'expression générale d'une fonction rationnelle de (;;, u) qui devient infinie du premier ordre en v points simples (a,, 3,), ...,(av, ^v)- Soit C la courbe considérée de degré p-h 2, O le point multiple d'ordre p. On a deux cas à considérer :

I" Parmi les v points donnés, il n'y en a pas deux en ligne droite avec le point O. Ces v points ne forment pas un groupe spécial; pour qu'il existe une fonction rationnelle répondant à la question, il faut que v soit au moins égal à /? -f i, et le nombre des paramètres dont dépend cette fonction est égal à v— />-h i. Nous avons traité ce problème sous une autre forme au Chapitre I.

2° Les V points donnés se partagent en deux groupes de 2 jj. points et de p points respectivement. Les 2 a points du premier groupe (a,, ^,), • - • Ah^ M'A<^?.)^ ...,(a^, .3^) sont deux à deux en ligne droite avec le point O. 11 en est ainsi des points (a/, '^i) et (a;, (3;). Parmi les p points (v,, 8,), ..., (yp, Op) du second groupe, il n'y en pas deux en ligne droite avec le point O.

On peut former une fonction rationnelle de {z, u) n'admettant que les deux infinis simples (a/, j^/), (a;, [3,); soit fi{z^ u) une pareille fonction qui [sera, par exemple, une fraction simple telle que

si l'équation de la courbe hjperellip tique est de la forme (12). Soit $(^, u) une fonction rationnelle n'admettant que les 2|jl4- p pôles du premier ordre (a^-, (3,), (a;, j^;), (y^, ^a); on peut toujours trouver des coefficients constants X), Xo, • • -, ^a tels que la différence

^{z, u) — Xi/i {z, u)—.. .— l^f^iz, u)

reste finie aux points (a^, ^\), ..., (ol'^, |3y. Cette différence se réduit donc à une fonction rationnelle W{z, u) infinie du premier ordre aux [X 4- p points (a^, (3^, ..., (^fx, Pp.), (y,, 0,), ..., (yp, Op) seulement. Nous sommes donc ramenés au cas précédent.

Bemarque. — Si l'on a [i. -f- p </? -1- i , il n'existe pas de fonction rationnelle '^(z, u) n'admettant que les ui + p pôles du premier ordre (a^, p^), ..., (a^,, j3[,), (y,, S^ ), ..., (yp, 8p), et, par conséquent, la fonction rationnelle ^(z, u) a pour expression générale

^{z, u) = 'kif,{z,u)-\-...-i~'k^f^(z, u)-h-l^+i.

On voit qu'elle n'admet pour pôles du premier ordre que quelques-uns des 2[a-1- p points donnés; on remarquera toutefois que le nombre des paramètres dont dépend cette fonction est bien égal au nombre donné par la formule de Riemann-Roch ; on a, en effet, dans ce cas particulier,

et, par suite,

2;jH-p — /? + a+i = {jL-l-t.

177. Etant données deux courbes liyperelliptiques du même genre /?]^i, on peut se proposer de rechercher les conditions nécessaires et suffisantes pour que ces deux courbes appartiennent à la même classe, c'est-à-dire pour qu'on puisse passer de l'une à

Taulre par une transformation birationnelle. Soit G une courbe hyperelliptique; supposons que l'on ait exprimé de deux façons différentes les coordonnées d'un point de cette courbe au moyen d'un paramètre et de la racine carrée d'un polynôme, de telle façon qu'à un point corresponde une seule valeur du paramètre. On aura à la fois

(i3) z = \ -i-B ^Rijj, Il = C -^ D \/R{Ï), X = cp(2, m)

et

(i4) ^ = Ai^-Biv/Ri((Jt), 11 = Ci^Div/Ri({x), ii=oi{z,u),

A, B, G, D étant des fonctions rationnelles de )., A,, B,, G,, D, des fonctions rationnelles de ;jl, R()0 ^^ ^^W ^^"^ polynômes de degré 2/> + i ou 2/? -h 2. Gherchons la relation qui existe entre les valeurs des paramètres A et it. qui correspondent à un même point de cette courbe. Remarquons pour cela qu'à une valeur de l=z'j(z^ II) correspondent deux points seulement; la fonction rationnelle cp(;, w), ayant deux infinis seulement, est une fonction spéciale, qui peut se mettre sous la forme suivante

Q, et Qo étant deux polynômes adjoints d'ordre m — 3 (n'' 172). De même a = 6{z^ u) est égale à

Q3 et Q4 étant aussi deux polynômes adjoints d'ordre m — 3. Soient (a, '^) et (a', 3') deux points correspondant à une même

valeur \q de \ ; la fonction rationnelle ^^^ n admet que les deux

pôles du premier ordre (a, ^) et (a', ^'). Ges points sont donc deux points associés de la courbe, c'est-à-dire que toute courbe adjointe d'ordre m — 3 qui passe par un de ces points passe aussi par le second. On a, en particulier,

et, par suite, [j. reprend la même valeur en ces deux points. Ainsi à une valeur de 1 correspond une seule valeur de {Ji; il est clair que la réciproque est vraie, pour la même raison. On a donc entre ). et [i. une relation homographique

aliJ. -\- bX -h ciJ.-{- d = o,

et l'on passe des formules (i3) aux formules (i4) par la substitution linéaire

Or, après cette substitution, les invariants absolus de la forme binaire X;^^-Rf — j sont les mêmes que ceux de la forme binaire

La réponse à la question posée est maintenant bien facile. Etant données deux courbes b^/perelliptiques de même genre G, G', supposons les coordonnées d'un point de G exprimées en fonctions rationnelles de À et de v/R(>Ô7 ^e façon qu'à un point ne corresponde qu'une valeur de À^ supposons de même les coordonnées d'un point de G' exprimées par des fonctions rationnelles de [i. et de sjKi (u.), de façon qu'à un point de C^ ne corresponde qu'une valeur de [j.. Pour que les deux courbes G et G' appartiennent à la même classe, il est nécessaire, d'après ce qui précède, que les invariants absolus des deux formes

Xp^2r/M, ^^P+2R /!^\

soient les mêmes.

Ges conditions nécessaires sont suffisantes. En effet, on peut remplacer les courbes G et G' par les courbes

P2=: R(X), Çp2 = Ri(fJL),

qui correspondent respectivement aux deux courbes G, G'. Si les invariants absolus sont égaux, on peut trouver une substitution linéaire telle que l'on ait

aii+b\ k^

cii-hd/ {c\i -^ dy^P+^

Ri(!^)

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. SgS

on passe alors de la première courbe à la seconde par la transformation

qui est évidemment birationnelle.

Une forme binaire de degré ip -\- i possède ip — i invariants absolus; il y a donc ip — i conditions pour que deux Courbes hyperelliptiques de genre/? appartiennent à la même classe. On exprime ceci en disant qu'une classe de courbes hyperelliptiques de genre p possède ip — i modules.

Il résulte aussi du raisonnement précédent que, si une courbe hyperelliptique se change en elle-même par une transformation birationnelle, le paramètre X subit une substitution linéaire

l!— aX-h 6 j^ faudra donc que les racines du polynôme R ( a)

ck-hd ^

s'échangent entre elles au moyen de la substitution précédente; il est clair qu'il n'existe jamais qu'un nombre fini de substitutions jouissant de cette propriété.

178. La même méthode ne s'applique plus lorsque/» = i . Soient G et C deux courbes du premier genre; supposons-les ramenées à ia forme normale

R(a) et R» (;jl) étant deux polynômes du quatrième degré. Si ces deux courbes se correspondent point par point d'une façon univoque, la relation algébrique entre les valeurs de 1 et de a, qui donnent deux points correspondants sur les deux courbes, est évidemment du second degré par rapport à chacune des variables,

X2(A a2 + B a H- G) + X(Ai [Jl2 -f- Bi a -4- Ci) +. A, a^ h- Bo [x + C, = c

Pour que les deux valeurs de 1 qui correspondent à une même valeur de a soient égales, il faut que les deux points de (/ que fournit cette valeur de ;jl viennent se confondre, c'est-à-dire que ;j. vérifie l'équation R, (;jl) = 0. On a donc

Ri ( Ht) = (Al IX'- H- Bi IX + Cl )2 — 4 ( A ;a2 + B jx + G) (A, u^ + B, -x -4- G, ),

à un facteur constant près. On a de même

R(X) ^ (BX2 + Bi f^ + B,y - 4(A X2 + AiX + A2) (GX2 + Cl X + G^),

à un facteur constant près. Or, il a été démontré plus haut (n° 132) que les deux polynômes R{1) et Ri(|Jl) ont même invariant absolu. La conclusion est analogue à celle de tout à l'heure; une courbe du premier genre possède un seul module, qui est l'invariant absolu de la forme biquadratique XÎÎR^y^V

179. On obtient une autre expression d'une fonction rationnelle R(^, u) au moyen des zéros et des pôles de cette fonction. Soient

les q pôles et

les q zéros, chacun de ces points étant compté autant de fois qu'il y a d'unités dans son degré de multiplicité. L'intégrale abélienne

logR(^,..)=y^^

admet les 2q points critiques logarithmiques (a/, (B,), (a^, [3^) et n'a aucun autre point singulier. Dans le domaine d'un pôle (a^, <^l) d'ordre hi^ cette intégrale est de la forme

z — a,- devant être remplacé par (z — oli)'' si le point (a/, p,) est

un point de ramification d'ordre r — i, et z — œ par -. De même,

dans le domaine d'un zéro, d'ardre /i^, (a^, (3;^), l'intégrale est de la forme

hk[og{z — ak) + P(5 - ak).

L'intégrale abélienne où n|^;]^,j est l'intégrale normale de troisième espèce, n'admet

FONCTIONS UNIFORMES SUR UNE SURFACE DE RIEMANN. SgS

plus de points singuliers ; c'est donc une intégrale de première

espèce

Xi w'i + . . . -h Xj3 Wp + Xp+i

et l'on en déduit

(i6) Riz,u) = Ce

tPi, w.2j . . • , iVp étant les intégrales normales.

Lorsque le chemin décrit par le point analytique (r, u) traverse une des coupures, le second membre est multiplié par un certain facteur. Gomme le premier membre est une fonction uniforme, il nous faut écrire que tous ces multiplicateurs se réduisent à l'unité. Quand on traverse une coupure «a, la fonction qui figure en exposant augmente de iràXh-, et le second membre est multiplié par eStVAx-. X,^ ),2, . . . , )vA doivent par conséquent être des nombres

entiers

Xi = 7?ii, . . . , li = nii, ... , Xp = r7ip,

et R(-3, u) est de la forme

(17) K(z,u) = Ce -^ *^'^''

Lorsque la variable traverse la coupure ^a, R(^5 '^) est multiplié par

Il faudra donc que l'on ait

(i8) ^ Wk(oi'i, P/) — 2 w/,(oii, P/) = 1 m^ÙAi +. -.-^impbkp H- 2/iaî-

rik étant un autre nombre entier. Dans les premiers membres de ces relations, les intégrales Wh sont toujours supposées prises suivant des chemins qui ne rencontrent pas les coupures. Réciproquement, si l'on peut trouver des nombres entiers 7?2,, . . . , nip^ n^^....^np vérifiant les relations précédentes (18), la fraction R(^, u) représentée par la formule (17) présente bien tous les caractères d'une fonction rationnelle admettant les q pôles (a , ^\) et les q zéros (a^-, p/). Les relations (18) expriment donc les con-

ditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe une fonction rationnelle admettant les q pôles et les q zéros donnés.

Ces relations peuvent s'écrire sous une forme plus générale. Soit w une intégrale quelconque de première espèce et to, , 0J2, . . . , too^ ses ip périodes ; il faudra que l'on ait

^ (v (<•, p;-) — ^ w(a,-, ^i) = Ml Wi + M2 0)2 + . . . 4- MapW,;, ,

Ml, M2, . . . , Mo^ étant des nombres entiers, qui sont les mêmes pour toutes les intégrales, les chemins suivis par la variable restant aussi les mêmes pour les intégrales qui figurent dans le premier membre. On écrit ces relations sous une forme plus condensée

Par conséquent, la somme des valeurs d'une intégrale abélienne de première espèce pour les zéros dUine fonction rationnelle ne diffère de la somme des valeurs de la même intégrale pour les pôles que d'une somme de multiples des périodes.

C'est, comme on le verra plus loin, une des formes qu'on peut donner à un cas particulier du théorème d'Abel.

Les conditions précédentes sont au nombre de p ; elles expriment d'ailleurs toutes les relations entre les zéros et les infinis d'une fonction rationnelle, puisque, si elles sont vérifiées, on peut former une fonction rationnelle admettant les zéros et les infinis donnés. Ces relations se présentent sous une forme transcendante, quoiqu'elles soient en réalité algébriques. Imaginons, en effet, qu'on ait formé l'expression générale des fonctions rationnelles qui admettent les q pôles (a^-, |3'^.); cette expression est une fonction linéaire et homogène d'un certain nombre de coefficients arbitraires. Il faudra qu'on puisse disposer de ces coefficients de façon que la fonction admette les q zéros (a/, ^i) ; ces conditions s'expriment évidemment par des relations algébriques entre les iq points donnés. On a là un exemple remar-

quable de relations transcendantes équivalentes à des relations algébriques. Si p = o, le théorème ne nous donne rien. On peut prendre arbitrairement les zéros et les infinis. Il est facile de le vérifier, car z et a s'expriment par des fonctions rationnelles d'un paramètre t^ et on est conduit à former une fonction rationnelle de t, connaissant ses pôles et ses zéros. Si /> = i, on a une seule relation entre les zéros et les infinis. Cette relation est d'ailleurs équivalente au théorème de Liouville sur les zéros et les infinis d'une fonction doublement périodique.

180. Les théorèmes généraux sur les fonctions uniformes d'une variable s'étendent aux fonctions uniformes d'un point analytique (*). Nous allons montrer comment on peut former l'expression générale d'une fonction uniforme n'ayant qu'un nombre fini de points singuliers sur toute la surface de Riemann. Pour plus de simplicité, supposons que ces points singuliers sont à distance finie et distincts des points de ramification. Soient (a,, j^,), . . ., {^n, P«) les n points singuliers, ^{z, u) la fonction uniforme considérée et

z — ti ' {z—cci-y- . .-. . ^.^.^.j

la partie principale de ^{z--, u) relative au point singulier (a/, ^/), cette partie principale étant formée d'une série si le point (a/, ^i) est un point singulier essentiel. La fonction

considérée comme fonction du point (?, r^), admet les points singuliers (a,, ^,), ..., (a«, [3„), {z^ u),{zo^Uo) et, en outre, les points de ramification. Ecrivons que la somme des résidus de cette fonction uniforme sur toute la surface de Riemann est nulle. Les résidus relatifs aux points de ramification et aux points à l'infini sont tous nuls. Les résidus relatifs aux points {z^ u) et (zq, Uq)

(') Appell, Sur les /onctions uni/ormes d'un point analytique {Acta mathematica, t. I, p. 109-144)-

sont respectivement - ^{z, u) et ^{z,, u,) (n« 150). Dans le domaine du point (a/, [3^), on a

Je résidu est donc

A</)Z(z, u- a,, p,) + . . .-- ^^.^^^^^^^|^^ Ziv-i)(^, u; a,, (3,) + . • ., et on a la relation

Chacune des séries

Il.....^('v-.)^"""<^'"'°"'P--)

est convergente tant que le point {z, u) est différent de (a,-, ^i),

car elle représente le résidu de <ï)(?, 7i)^ relatif au point (a,-, (3,).

La fonction représentée par celte série n'admet plus que le point singulier (a/, p,); nous la représenterons par

G,{z, u; a,, i3.-) = 2^ — . . .(v - i) ^^'"'^^^' "' «'' P'")' et la formule (20) peut s'écrire

^(z, u)= <P{zo, Uo)^^Gi(z, u; a,-, |3,-). 1=1

On voit que <ï>(^, u) est la somme de n fonctions dont chacune n'a qu'un point singulier; mais ces fonctions ne sont pas, en général, uniformes.

En écrivant que les p périodes de $(5, w) relatives aux cou-

pures bfi sont nulles, on a, entre les coefficients A!/^ les p rela-

tions

que l'on obtiendrait aussi en écrivant que la somme des résidus de chacune des fonctions

sur toute la surface est égale à zéro.

Les théorèmes de M. Weierstrass et de M. Mittag-Leffler, sur les fonctions uniformes qui ont une infinité de points singuliers et sur la décomposition en facteurs primaires, s'étendent aussi aux fonctions uniformes d'un point analytique (Appell, Acta mathematica, t. I).

THÉORÈME D'ABEL (i).

Théorème général. — Application aux intégrales de première, de seconde et de troisième espèce. — Formule générale. — Application aux intégrales hyperelliptiques. — Seconde démonstration. — Réduction d'une somme d'un nombre quelconque d'intégrales k p intégrales et à des quantités algébriques et logarithmiques. — Théorème d'addition pour les intégrales de première espèce. — Intégration d'un système d'équations différentielles. — Extension du théorème d'Abel aux courbes gauches algébriques.

181. On a déjà remarqué, dans certains Chapitres antérieurs, un cas particulier de la célèbre proposition, connue sous le nom de théorème d'Abel. L'illustre géomètre l'a énoncée dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences de Paris en 1826, qui a pour titre : Remarques sur quelques propriétés générales d'une classe de fonctions transcendantes.

Pour l'établir ici dans toute sa généralité, considérons une fonction rationnelle quelconque cp(^, u) de z et de u, et une intégrale abélienne U attachée à la courbe

de degré m et de genre p. L'intégrale

prise dans le sens direct le long du contour total de la surface T', c'est-à-dire le long des coupures a^, by, Cv, est égale à une somme

(*) Auteurs à consulter : k.^e.Y.i., Remarques sur quelques propriétés générales d'une classe de fonctions transcendantes; Démonstration d'une propriété générale d'une certaine classe de fonctions transcendantes; Clebsch et Gordan, Abelsche Functionen, zweiter Abschnitt.

THÉORÈME d'ABEL. 4oI

de produits de deux facteurs, l'un des facteurs étant une période de l'intégrale U, le second facteur une période de l'intégrale loges. Mais toutes les périodes de cette dernière intégrale sont évidemment des multiples de itù^ et l'on a

(2) / \J dlo^o = 'î-i{my(ji^-^ nioiii^-^. . .->r niipiM^ip),

w,, too, ..., ^2p étant les ip périodes de l'intégrale U relatives aux coupures «v et ^v^ et m,, /??2, ..., m2p des nombres entiers, qui ne dépendent que de la Jonction rationnelle '^(^, u). Le produit irùm^^ par exemple, est égal à l'intégrale

c?logcp,

prise le long de la coupure a^^ et les autres nombres mi ont une

signification analogue.

Nous supposerons d'abord que l'intégrale abélienne U n'a pas de points critiques logarithmiques; alors la fonction

est uniforme sur la surface T', et Ton peut appliquer le théorème de Cauchj à l'intégrale (2). D'après ce théorème, l'intégrale (2) est

égale au produit de ir.i par la somme des résidus de U ^^ ' sur

toute la surface de Riemann. Ces résidus proviennent des pôles de U ou des pôles et des zéros de '^(^, u). Soient

les zéros de la fonction rationnelle cp(3, u) et

ses infinis, chacun d'eux étant compté autant de fois qu'il 3- a d'unités dans son degré de multiplicité. La somme des résidus provenant des pôles et des zéros de 'j(;, u) est égale à

D=2u(^,-,rw-)-2^'(;A-,U.).

Par conséquent, la somme

mi Wj -f- . . . -h ra=xp (x>2p

est égale à la différence qui précède D, augmentée de la somme des résidus de la fonction

dz

relatifs aux pôles de l'intégrale U. Si, en particulier, l'intégrale U est une intégrale de première espèce w(^z^ u\ cette dernière somme est nulle, et il reste

ce que nous écrirons d'une façon condensée 9 n

Nous retrouvons la relation établie plus haut entre les pôles et les zéros d'une fonction rationnelle de ;î et de ?^ (n° '^'^^J-

182. L'énoncé qui précède est purement analytique. On donne ordinairement à ce théorème une forme plus géométrique, qui en montre mieux la généralité. Soient

les équations de deux courbes du même degré n\ supposons, pour plus de netteté, que ces courbes n'ont aucun point commun à l'infini avec la courbe F:=o, et que les points d'intersection sont distincts des points multiples. Alors les zéros de la fonction rationnelle

sont les points d'intersection de la courbe donnée F (^, w) = o avec la courbe /= o, et de même les infinis de cp sont les points d'intersection de F = o avec la courbe '}(^, u) = o. On peut donc énoncer le théorème d'Abel sous la forme suivante :

THÉORÈME d'aBEL. 4o3

La somme des valeurs d' une intégrale ahélienne de première espèce aux points dHntersection de la courbe donnée G avec une autre courbe algébrique G' est égale, à des multiples près des périodes, à la somme des valeurs de la même intégrale aux points d^ intersection de G avec une autre courbe G", de même degré que C.

Les restrictions que nous avons faites sur les points d'intersection ne sont d'ailleurs nullement nécessaires. Par exemple, supposons qu'en un point (H,r,) à distance finie ou à l'infini, la courbe donnée F =r o ait q points communs confondus avec la courbe f= o et q' points communs confondus avec à =z o. Si, pour plus de simplicité, nous admettons que les valeurs de u qui deviennent égales à t, pour z=^\ forment un seul système circulaire, le point (^, Tj) ne sera ni un pôle ni un zéro pour '^{z, u) si q^^q'\ ce sera un pôle d'ordre q^ — q si q^ est > ^, un zéro d'ordre q — q\ si q est > q^ (n° 99). Dans tous les cas, on peut supposer que, dans l'égalité qui exprime le théorème sous sa première forme, le terme (V"(ç, r, ) figure q fois au premier membre et q' fois au second membre. On aura donc, d'une part, la somme des valeurs de l'intégrale w aux points de rencontre de F = o avec /= o, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité; d'autre part, la somme analogue relative aux points d'intersection de F = o avec 6 = o. De là résulte la généralité du second énoncé.

Tant qu'on ne fait aucune hypothèse sur les chemins suivis par la variable, il est clair qu'on ne peut obtenir une proposition plus précise. Mais on peut aller plus loin. Gonsidérons une première courbe/(^, ?/) = o, de degré /i, qui coupe la courbe F = o en mn points que nous supposerons distincts, pour fixer les idées, (E,, 7,,), ..., {^mni 'hmn)'-, imaginons ensuite que les coefficients de /(^j w) varient d'une manière continue depuis leurs valeurs initiales. Les mn points d'intersection de G avec la seconde courbe décrivent sur T certaines lignes continues à partir des valeurs initiales. Gela posé, la somme des accroissements dUine intégrale de première espèce le long des lignes continues décrites par les points (ç/, r,,) est rigoureusement nulle.

Il suffit évidemment de le démontrer pour une variation infi-

4o4 CHAPITRE IX.

niment petite des coefficients de f{z^ u). La nouvelle courbe aura une équation de la forme

^{z,u)=f{z, u) + zfi{z,u),

£ étant un nombre très petit ei/iÇz, u) un polynôme de même degré que /(^, u). Supposons que les coupures a^, by, Cy aient été tracées de façon à ne pas rencontrer les lignes décrites par les points (Ç/, 'r\i), ce qui est toujours possible si ces lignes sont suffisamment petites. D'après la proposition générale, la différence

jnn mn

est égale à la somme

les produits tels que iizinik représentant les périodes de Tinté-

grale abélienne

logcp(^, M)=l0g

relatives aux coupures a^, by. Or il est aisé de voir que ces périodes sont toutes nulles. Par exemple, la période relative à la coupure a^^ est égale à l'intégrale

Jib

'(6,) i + 'Xi-'^) OÙ l'on a posé

Supposons, ce qui est évidemment permis, le module de '/(-?, n) plus petit que l'unité tout le long de la coupure ^v- Si l'on désigne par l la longueur de cette coupure, le module de l'intégrale est

moindre que ; comme cette période doit être un multiple de

2Tzi, on en conclut qu'elle est rigoureusement nulle.

Ainsi, si Von considère les points cV intersection dUine courbe fixe G avec une courbe variable de degré /z, la somme des valeurs continues d\tne intégrale abélienne de première

THÉORÈME d'aBEL. 4o5

espèce, attachée à la courbe G, aux points d^ Intersection variables reste constante.

Le théorème subsiste évidemment si quelques-uns des points d'intersection vont à l'infini ou viennent aux points de ramification. Lorsque la courbe mobile passe par un certain nombre de points fixes de la courbe donnée, on peut en faire abstraction dans l'application du théorème.

183. Supposons, en second lieu, que l'intégrale U soit une intégrale de seconde espèce, admettant un seul pôle du premier ordre (a, 6) en un point à distance finie et distinct des points de ramification, avec la partie principale

le résida de la fonction U Jl '■•> au point (a, 6), est égal à

. ^'(a.b) . ,/ 7\ j' • 1 1 j I j' • ' do(z,u) A , ' , ou C5 a, o) desiofue la valeur de la dérivée — —j

pour z^= a, u ^ b, et il reste

Si l'on pose, comme plus haut, '3(z, u) = \ "' ,^ où f el à

sont des polynômes de même degré en z et u, on a

Les points (;/, ru) sont les points d'intersection de la courbe f[Zj u) = o avec la courbe donnée F = o; les points (ç^, Ti^.) les points d'intersection de tj^ = o avec F = o. Un cas particulier remarquable est le cas où, parmi les courbes du faisceau

il s'en trouve une qui coupe la courbe F ^= o en deux points confondus au point {a, b). Alors, pour une certaine valeur de la constante \, on a

4o6 CHAPITRE IX.

d'où, en éliminant "k. on voit que la quantité ^ ^' , , est nulle.

On peut alors énoncer le théorème suivant, utile dans les applications géométriques : Soit U une intégrale de deuxième espèce avec un pôle simple (a, b) ; si l'on coupe la courbe F := o par deux courbes de même degré /= o et '^ = o, telles que, parmi les courbes du faisceau /+ Xt{> =: o, il s'en trouve une tangente à F au point (a, 6), la somme des valeurs de U aux points d'intersection de F et de / est égale à la somme des valeurs de U aux points d'intersection de F et de o.

184. Si le point (a, b) est un point de ramification, ou s'en va à l'infini, ou si ce pôle est d'un ordre supérieur au premier, les résidus de la fonction

dz

ont une expression moins simple. Mais, quels que soient l'ordre et la position du pôle sur la surface, si la fonction rationnelle cp(^, u) dépend d'un certain nombre de coefficients arbitraires c,, C2, . . ., Cq, dont elle estune fonction rationnelle, le résidu relatif au pôle (a, b) est toujours égal à une fonction rationnelle de ces coefficients indéterminés Ci, Co, ..., c^. Il en sera encore de même pour la somme des résidus, si l'intégrale abélienne U admet un nombre quelconque de pôles, sans admettre aucun point critique logarithmique. Pour plus de précision, supposons

P et Q désignant deux polynômes entiers en u et z, dont nous désignerons les coefficients par Ci, Co, ..., Cq. Le théorème d'Abel nous montre que la différence entre la somme des valeurs de V intégrale abélienne U pour les zéros de la fonction rationnelle cp(^, u) et la somme des valeurs de la même intégrale pour les pôles de cp(^, u) est égale à une fonction rationnelle des coefficients Ci, ..., Cq des deux polynômes P et Q, abstraction faite d^une somme de multiples de périodes de l'intégrale U.

THÉORÈME d'aBEL. ^OJ

Cette fonction rationnelle des coefficients c,, Co, ..., Cq peut toujours être calculée dès qu'on connaît les pôles de U et les parties principales correspondantes. Pour donner à l'énoncé précédent une forme géométrique, il suffit de répéter ce qui a été fait pour les intégrales de première espèce. Soit/(^, ui) = o l'équation d'une courbe de degré n qui rencontre la courbe donnée en 77Z/2 points (i,, 7),), ..., (5;,^;^, T,„,,i); imaginons que les coefficients de/(Zf ?^) varient d'une manière continue; les points (ç,, r,,), ..., (?TO/^7 '^.m«) se déplacent sur la surface T d'une manière continue. Soient ( i; , r/, ),..., (?;,„, <,„) les nouvelles positions de ces points d'intersection, correspondant à une autre courbe '}(-S, m) = o de même degré. Cela posé, on a

(8) y / du=v,

V désignant une fonction rationnelle des coefficients des deux po- Ijnomes/et 6, et les intégrales étant prises suivant les chemins décrits par les points (i/, r,/), lorsque les coefficients du polynôme/varient d'une manière continue depuis les valeurs initiales jusqu'à devenir égaux aux coefficients du polynôme 'l.

Supposons donnés tous les coefficients du polynôme /, les coefficients de 6 restant variables, l'égalité (8) peut s'écrire

La première partie du second membre reste constante; par conséquent, la somme des valeurs d' une intégrale abélienneV, n'admettant aucun point critique logarithmique, prises depuis une origine commune (zq^ Uq) Jusqu'aux: mn points d'intersection de la courbe donnée avec une courbe variable de degré n^ h(^z^ u) = Oj est égale à une constante C, augmentée d'une fonction rationnelle des coefficients du polynôme ^{z, u).

Rien n'empêche d'ailleurs de supposer que ces mn intégrales ont des limites inférieures différentes, pourvu qu'elles soient fixes, ce qui revient à modifier la constante C.

185. Lorsque l'intégrale U admet des points critiques logarithmiques, la fonction

dz

n'est plus uniforme sur la surface T^ et le raisonnement doit être modifié. Pour plus de netteté, supposons que U se réduise à une intégrale de troisième espèce avec les deux points critiques logarithmiques {a, b) et (^1, b^). Il faudra joindre aux coupures a^, ^v, Cv une nouvelle coupure L joignant ces deux points critiques et ne rencontrant pas les précédentes. Sur la nouvelle surface P'

la fonction sous le signe / est uniforme et l'on peut lui appliquer

le théorème de Cauchj; l'intégrale

U<r/logcp(z, u),

prise le long des coupures <2v, 6v, Cv, a la même expression que plus haut. Quant à l'intégrale prise le long des deux bords opposés de la coupure L dans le sens direct, elle a pour valeur

Il vient, par conséquent, l'égalité suivante

qui constitue le théorème d'Abel dans le cas des intégrales de troisième espèce.

De cette formule on déduit, en répétant les raisonnements déjà employés pour les intégrales de première et de seconde espèce, les conséquences suivantes :

i"" Soient/(^, u) = o^ 'K-^'^O = oies équations de deux courbes de degré n. On a

mn ,

THÉORÈME d'à BEL. 409

les points d'intersection de F = o avec les deux courbes /= o, <!/ = o étant représentés respectivement par ( Ç/, ri/) , {l[^ r,^) (i = I, 2, . . . , m/i), et les chemins d'intégration étant fixés comme il a été déjà expliqué. On remarquera que la fonction sous le siffne logr est une fonction rationnelle des coefficients des deux polynômes y* et 'l. Par exemple, si les deux points singuliers logarithmiques de l'intégrale II sont les deux points analytiques superposés en un point double dans des feuillets différents de la surface de Riemann (p. 201), on a a = «i, b = bf^ et le logarithme du second membre est nul; la somme des intégrales (11) est alors nulle à des multiples de périodes près.

Il en est de même dans le cas plus général où il existe une courbe du faisceau /{z, u) -\- )v6(3, u) = o passant par les deux points (a, b) et («i, 6,). En effet, on a alors, pour une certaine valeur de X,

/(«, b) -h ma, b) = o, /(«i, bi) + l'l(ai, b^) = o,

d'où

f(a,b)i>(a,.bi)

J\ai,b0à[a,b)

2° Soit U une intégrale abélienne quelconque, elf=o, 6 = 0 les équations de deux courbes de degré n, qui coupent respectivement aux mn points (^oT,/) et (?,, loi) la courbe proposée. On a une relation de la forme

?nn

(12) > / cOJ = p + Al logPi-4-.. . -{- A,.Iogp,.H-C,

A, , A2, . . . , Ar étant des constantes, et p, ^1,^2? • • • 5 ^r des fonctions rationnelles des coefficients des deux polynômes fei ^. Il suffit, pour établir cette formule, de décomposer U en intégrales des trois espèces.

3** Si la courbe/est fixe et la courbe 6 variable, la formule (12) devient

(i3) y r''"'''' dTJ = G4-P4-AilogPi+... + A;,log^v,

G désignant une constante. Par conséquent, là somme des valeurs

4lO CHAPITRE IX.

d'une intégrale abélienne quelconque U, prises depuis une origine commune (zq^ Uq) jusqu'aux mn points d'intersection de la courbe donnée avec une courbe variable de degré n^ <j;(z, z/) = o, est égale à une fonction rationnelle des coefficients de h^ augmentée d'une somme d'un nombre fini de loga rithmes de fonctions rationnelles des mêmes coefficients, muU tipliés par des facteurs constants.

On peut remarquer, comme plus haut, qu'il n'est pas nécessaire de prendre la même limite inférieure pour toutes les intégrales.

186. Tel est, dans le cas le plus général, le théorème d'Abel. Pour les applications, il est commode d'avoir une formule générale s'appliquant à tous les cas particuliers. Désignons toujours par cp(5, u) une fonction rationnelle de z et de u dont les zéros et les infinis sont respectivement

(^n^i'i)j •••, (^ij -^'-z), et par

R(z, u) dz

"-Il

une intégrale abélienne quelconque. Imaginons qu'on trace un contour fermé C sur T^, ce contour renfermant à son intérieur tous les points singuliers de l'intégrale U et laissant à l'extérieur tous les pôles et tous les zéros de cp(5, u) ; soit T" la surface connexe ainsi obtenue; l'intégrale

/ U«^logcp,

prise dans le sens direct le long du contour total de T'^^ est égale, d'une part, à

d'autre part, la portion d'intégrale prise le long des coupures «vj 6v, Cv a pour valeur

27ri(miWi-+- . . .-h m2pW2/;).

THÉORÈME d'ABEL. 4^1

Il reste à calculer la portion d'intégrale prise le long du contour C. Or. on a

(i4) d{lj logcp) = l]d\ogo -+- B.{z, u) logçc?^;

lorsque le point (3, u) décrit le contour G, le produit Ulogo revient à sa valeur initiale, puisque ce contourne renferme aucun point critique de logcp et renferme tous ceux de l'intégrale U. Il vient donc

f Udlo§o=— f R{z,u)log'^dz.

A l'intérieur du contour C, la nouvelle fonction R(^j z/) logcp est uniforme et on peut lui appliquer le théorème de Cauchy. On a par conséquent, en remarquant que, si l'on décrit G de façon à avoir l'aire T'^ à sa gauche, on a l'aire intérieure à droite,

(l5) 2 U(^,, r^) - ^ U(^i., r:,) = C[R(^, u) logcp],

le second membre désignant la somme des résidus du produit R(^, z/)log'j relatifs à tous les points singuliers de l'intégrale abélienne U.

Remarque. — Dans l'application de cette formule, il faut imaginer trac3 le contour G, et choisir une des valeurs multiples de loges (::, II) pour un point intérieur; les valeurs de ce logarithme pour tous les points singuliers de U s'en déduisent par continuité. Pour avoir un énoncé géométrique applicable aux points d'intersection d'une courbe variable avec la courbe fixe, nous procéderons comme plus haut, en prenant pour cp le quotient de deux

polvnomes de deo^ré /z, c = "^ . "' ^\ • Les notations étant les mêmes,

la formule (i5) devient

mn y,

Pour n'avoir aucune ambiguïté dans l'application de cette formule, il faut imaginer les coefficients d'une courbe variable de degré n variant d'une manière continue, depuis les valeurs qui

4l2 CHAPITRE IX.

conviennent à la courbe f(z, u) = o jusqu'aux valeurs qu'ils ont pour la courbe cp(^, w) = o; les intégrales du premier membre sont prises suivant les chemins décrits par les points mobiles d'intersection, et, si le second membre présente des logarithmes, on déterminera les valeurs qu'il faut leur attribuer en suivant leur variation continue en même temps que celle des coefficients variables.

Supposons en particulier que les deux courbes /= o, ^ ^= o fassent partie d'un faisceau de courbes de degré ii

^{z, u) = &(z, u) -hl Qi{z, u),

et imaginons que, 'Kq restant fixe, X seulement soit variable. De la formule qui donne I

on déduit

dl

il est clair, en effet, que la dérivée d'un résidu par rapport au paramètre X est égal au résidu de la dérivée par rapport à X. On a par conséquent

le signe €. s'étendant à tous les points singuliers de l'intégrale considérée (^ ).

On peut remarquer que ©< et 0 sont deux courbes quelconques du faisceau f -{-"k^ = o. Supposons que f et ^ ne passent pas par les pôles de U, mais que, dans le faisceau /+ l^J; = o, il s'en trouve une, que nous appellerons ©i , qui passe par tous les infinis de R(^, u) d'ordre supérieur à l'unité, de telle façon que le produit R(^, w)0| n'ait plus que des infinis d'ordre inférieur à

l'unité. Alors les résidus de R(^, u) ■- ^--- sont nuls, quel que

soit X, et l'on a I = o. Donc, dans ce cas particulier, la somme

(') On trouvera d'intéressantes applications de cette formule dans un Mémoire de M. Humbert {Journal de Mathématiques, 4* série).

THEOREME D ABEL. 4l3

' dU, prises depuis les points de rencontre

de F avec la courbe /= o jusqu'aux points de rencontre de F avec ^ = o, est nulle à des multiples de périodes près. C'est la généralisation des remarques du n° 18o.

187. Appliquons laformule générale (i5) aux intégrales hvperelliptiques. Soit

une relation algébrique, où R(2) est un polynôme de degré ^p -\- i ou 2/? + 2, sans facteurs multiples, et

une intégrale abélienne correspondante, P(^) étant un polynôme entier en z. Considérons les iji points d'intersection de la courbe (18) avec la courbe

où B et 9, sont des polynômes entiers en z. Soient (^i, W|), ..., {^•\ii i^ii) ces [JL points; z^^ So, .. ., ^tx sont racines de l'équation

Désignons par r^(z) et par r^i{z) deux autres polynômes de même degré respectivement que 8 et 9,, et soient (z\^ u\)^ . . ., (-^0.7 ^^a) les a points de rencontre de la courbe (18) avec la

courbe

T^{z) — ur^^{z) = o.

La fonction rationnelle

^iz,u)

r^{z) — ur,i{z)

admet les a zéros (5/, iii) et les ix pôles (s), u\), et, si Ton suppose que les polynômes 9, 9,, tj, Tj, sont les plus généraux de leur degré, les points à l'infini de la surface ne sont ni des pôles ni des zéros pour 'j(:;, u). Remarquons maintenant que l'intégrale ç{z, u)

4ï4 CHAPITRE IX.

est régulière en tout point à distance finie; la formule (i5) nous donne donc

(20) ^^(^i, w/)— ^(^(^;-, ii'i)^c^ -^iogcp(s,

mais la somme de ces résidus n'est autre chose que le coefficient de - dans le développement de

dans le domaine du point à l'infini. Si l'on regarde maintenant les coefficients des polynômes r,, Tj, comme constants, les coefficients de 0, 9i restant seuls variables, il vient

(21) v{zx, u^)-^...^v{z^, u^) = G + r,

G étant une constante et r le coefficient de - dans le développement de

On vérifiera sans peine que cette formule est identique à la formule (29) [théorème III] du Mémoire cité d'Abel.

Dans le domaine d'un point à l'infini de la surface de Riemann, le logarithme d'une fonction rationnelle de z et de u est de la

forme q\o^z-^V l^j ou de la forme ^log^+pZ-^V suivant

que ce point à l'infini est un point ordinaire ou un point de ramification, P(^) désignant une fonction régulière pour ^ = o. Si l'intégrale considérée est de première espèce, le développement

de —^ commence par un terme en -^ ou en ^; il n'y a donc pas

de terme en -^ dans le produit —^ log {l~''^^A et, par suite,

r = o. C'est le théorème connu pour les intégrales de première espèce.

188. Il est intéressant de remarquer que /* peut être nul ou indépendant des coefficients variables, pour certaines formes par-

THÉORÈME d'ABEL. ' ^iS

ticulières des polynômes 8, Oi, sans que l'intégrale ç>{ZjU) soit de première espèce. Par exemple, supposons que R(^) soit un polynôme du cinquième degré et P(c) un polynôme du deuxième degré; soit, en outre,

Bi(z) = nzP-^ -^BiZP-'*-^ B-izP-^-^. ..,

n étant une constante et A, , Ao, • . . , B, , Bo, . . . des coefficients arbitraires, dont le nombre est égal k ip — 3. Dans le domaine

du point à Tinfini, le développement de commence par un

Il 1 ^ 1 Q — U^i , , .

terme en ^- le second lacteur ios^^ t- peut s écrire

./ -' ^ Û -r- «Oi i

en posant

0 zP-\- X^zP-^ -^.

Le développement de ^', pour ^= x, commence par un terme

en — ^ et le coefficient de ce terme est indépendant des coeffi-

cients variables A,, Ao, Le coefficient de - dans le produit

est donc indépendant des coefficients A et B. On déduit de là la conséquence suivante. Supposons, pour fixer les idées,

soient (^,,w,), ..., {zop, Uip) les points de rencontre de la courbe u-^^ ^{^) ^vec la courbe variable

Ziy Z2t ' ' ', :-2p étant racines de l'équation de degré 2/?

r-(z)-Riz)%Kz)=o.

La somme

(^(^1, Ml) H- ^(^2, M2) +• • .+ t^C-Ssp, Wap)

reste constante, lorsque les coefficients A et B varient d'une manière quelconque, quoique l'intégrale (^(s, u) ne soit pas de première espèce (*).

Les autres énoncés que renferme le Mémoire d'Abel se déduiraient de même de la formule générale (i5). Par exemple, en considérant l'intégrale

et en conservant les mêmes notations, on a

/ X ^ / ^ r P(«) 1 re(a)-f-BOi(a)-]

OU

et où r est le résidu de

pour le point à l'infini.

189. Nous allons donner une seconde démonstration du théorème d'Abel, d'un caractère plus élémentaire, et qui montre encore mieux la véritable origine de cette importante proposition. Elle est d'ailleurs identique à la démonstration donnée par Abel luimême pour le cas le plus général d'une relation algébrique de forme quelconque.

Soit

l'équation d'une courbe algébrique quelconque G de degré m, et soit

R(^, u)dz (-0, "«)

(*) On trouvera dans l'Ouvrage de M. Darboux, Leçons sur la théorie générale des sur/aces, t. II, p. 3ii, une application intéressante de cette remarque.

THÉORÈME d'aBEL. 417

une intégrale abélienne quelconque attachée à cette courbe. Une courbe G' de degré n

dont l'équation renferme un certain nombre de coefficients variables «, , a.2, . .. , «A, rencontre la courbe G en mn points variables avec ces coefficients (^, , z/,), (^o, ^^2),. . •,(-to«, «w«). La somme des valeurs de l'intégrale abélienne ç{zju), où l'on prend successivement chacun de ces points d'intersection pour limite supérieure

I = v{zi,ui)

est une fonction des paramètres ai,ao, . . . , ak-, dont nous allons chercher la forme analytique.

Désignons d'une manière générale par oV la différentielle totale d'une fonction V par rapport aux paramètres a,, «2î • • • , «a- On a

ol = ^R(^/, Ui)oZi.

Des équations (22) et (23) on tire

—- hzi-\- -—- ùUi = o, dzi dui '

- — OZi -r- -— OUi -h 0<Pj = O,

ozi aiii

et par suite

OZi = 0^i^\Zi, Ui),

^ {ziy Ui) étant une fonction rationnelle de (^/, ui) et des coefficients ai, a.2^ . . . , rt/f, et O/ désignant <ï>(^i, Ui). En remplaçant ozi par cette valeur dans ol, il vient

:i=^R(zi,Ui)W{zi,iii)o^i.

Si 1 on développe o^^ = — oa, -j- . . . -r ^^ — oa^-, le coedicient A. ET G. 27

4l8 CHAPITRE IX.

de oa^, par exemple, dans le second membre, est égal à fil fi

c'est-à-dire à une fonction rationnelle et symétrique des coordonnées des mn points (^,, Ui ), (^o, 1^-2), - - -, {^mn, Unui)^ fonction qui est en même temps rationnelle par rapport aux coefficients a,, «2, ..-, ak' Or, toute fonction rationnelle et symétrique des coordonnées des 7??/i points communs aux deux courbes (22) et (28) est égale à une fonction rationnelle des coefficients des deux équations. Il reste donc en définitive

ol = Ilioai -h 112 0^2 H-. . .+ U/cOak,

Ui, IIo, . . . , Il/f étant des fonctions rationnelles des k coefficients a<,«2^ '-"iCik-i ne renfermant plus les coordonnées des points (^/, Ui). Par conséquent

1= / Ilioai -I- n2oa2 -h. . .-T- n/,0(2/,. ;

or, les fonctions IIi, ITo, . • . , 11^ étant rationnelles, l'intégration ne peut introduire d'autres transcendantes que des logarithmes. La somme I est donc égale à une fonction rationnelle des coefficients a^^a-.j • . . , ah, augmentée d'une somme de logarithmes de fonctions rationnelles des mêmes coefficients.

Si l'intégrale abélienne considérée est de première espèce, la somme I doit être constante. En effet, si les fonctions IIi , IIo, . . . , IIa n'étaient pas identiquement nulles, on pourrait trouver un système de valeurs a'^, a'^, - - -.a,, pour les coefficients a^^^a^^ . . . , «A, tel que I deviendrait infini pour a^ ^= a\^ . . . ^ ak^= a'^. Si les points de rencontre de la courbe G avec la courbe varia])le (7, qui répond aux valeurs a\, . . . , a]^ des paramètres, sont {z'^, u[), .... i^'mm^'mn)^ il y aurait au moins une des valeurs de i^(z, u) qui deviendrait infinie lorsque le point {z^u) tendrait vers un des ^o\uls{z\^u\)\ ce qui est impossible, puisque l'intégrale est de première espèce.

190. Si l'intégrale abélienne considérée est quelconque, il est facile de montrer que l'on retrouve les mêmes formules finales

THÉORÈME d'aBEL. 419

que par la première méthode. Pour plus de simplicité, supposons que ç{z, u) soit une intégrale de seconde espèce avec un pôle simple (i, r^) à distance finie, distinct des points de ramification, le résidu étant égal à i . Etant données deux courbes du même degré /z, représentées respectivement par les deux équations

si l'on considère le faisceau de courbes

<25) f{z,u)^\fi{z,u) = o,

où

fi(z, u) = o(z, u) —f{z, u),

les deux courbes appartiennent à ce faisceau et correspondent aux valeurs zéro et un du paramètre A. D'après ce que nous venons

de démontrer, la dérivée -^ est une fonction rationnelle du paramètre A. D'autre part, la somme I conserve une valeur finie, sauf pour la valeur A, du paramètre A, telle que l'un des J7in points d'intersection soit venu au point (;, r,), c'est-à-dire pour la valeur

Pour fixer les idées, supposons que, pour )v= A,, un seul des points d'intersection vienne au point (^,Tj). Dans le domaine du point (ç, r,) on a

A étant un coefficient diff'érent de zéro qui a pour valeur

d¥ ( df d/,\ d¥ ( df à/A

lnversement, dans le voisinage de a = A, , on a

^-^ = ^(X-X,)[i-Bi(X-XO + ...]- L'intégrale v{xi^ j>'/), correspondant au point {xt^ yt) qui vient

coïncider avec le point ( Ç, v)) pour 'k=:'k^^ est donc, dans le domaine du point Xi, de la forme

P(X — Xi )étant une fonction régulière pour X =: "X, . La différence

A — Al

reste donc finie pour toute valeur de X, et, comme sa dérivée est une fonction rationnelle de 'k, elle se réduit nécessairement à une constante. Écrivons que la somme précédente a la même valeur pour X = o et pour ), = i ; il vient, en remarquant que A

peut s'écrire

^D(F,cp) ^ D(F,/)

^'^~ V >^i i->^i/ Xi(i-xo

et, en remplaçant ).4 par sa valeur,

"? (^7] -^ dri

ce qui peut encore s'écrire

i df i d(^

c'est au fond la même formule (7) que nous avions déjà obtenue par la première méthode. 1/ et Tç représentent respectivement la somme des valeurs de l'intégrale ç{z^ u) aux mn points d'intersection de la courbe donnée avec les deux courbes /= o et cp = o.

Le procédé qui vient d'être indiqué s'applique évidemmen,t à une intégrale abélienne, quels que soient les points singuliers et leur position sur la surface. Nous ne nous y arrêterons pas davantage.

THÉORÈME d'à BEL. 4^1

191. Après ces généralités, nous allons considérer en particulier le cas des intégrales hyperelliptiques. Soit

(27) ir~=R{z)

une relation hjperelliptique de genre /?, et cp(^) une fonction rationnelle quelconque de z. Si l'on veut considérer le système des points de rencontre de la courbe (27) avec une autre courbe algébrique quelconque /{z, m), on peut supposer qu'on a remplacé, dans/(^, u), une puissance paire de u, telle que a-^, par [R(^)]^ et une puissance impaire de u, telle que 11-^+^, par [R(^)]^w, ce qui revient à prendre pour équation de la seconde courbe une équation du premier degré en u,

P{z) et Q(::) étant des polynômes de degré m. Les abscisses des points de rencontre des deux courbes (27) et (28) sont données par l'équation

de degré 2m-i-2/> — i ou 2^-7- 2/^ 4- 2, suivant que R(^) est de degré 2/? -7- i ou 2/? -h 2. Soit q le degré de cette équation, Zt, z., ..., Zq ses q racines, et lu, u.^ .... Uq les valeurs correspondantes de M,

Posons toujours

et désignons par la lettre S la différentielle totale prise par rapport aux coefficients variables des polynômes P(:;) et Q(-). On a

de l'équation

^{zi) = PH-0 - QH^O R(-/) = o,

on lire

^'{Zi)^Zi^O^{Zi)= o,

c'est-à-dire en développant 0(];(^/),

^'{zi)^Zi-^- iF{zi) SP,— 2Q(zO R(-3,-) oQ,-= o,

et, par suite,

Y 2^(^ Q,R(^,)ûQ,-P,5P, ^ y{zi) Il

Remplaçons au numérateur Qf R/ par P| et supprimons le facteur commun P/, il reste

'•=2:?fe^^-^Q'-Q-'''-)-

Si l'intégrale / ^ <i^ est de première espèce, ^(z) est un polynôme de degré/? — i au plus: le coefficient d'une différentielle quelconque telle que ùa/( au numérateur est un polynôme de degré im-\-p — 1 au plus. On a donc comme coefficient de ^a^ une somme telle que

Z^^\Zi)'

étendue à toutes les racines de l'équation ^{z) = o, ©(-s) étant un polynôme de degré ini -^ p — i au plus ; le numérateur est donc d'un degré inférieur de deux unités au moins au degré de ^(^). D'après une propriété élémentaire bien connue, cette somme est nulle.

Remarquons ici que le degré de l'équation (29) peut s'abaisser pour certaines valeurs particulières des coefficients des polynômes P(5) et Q(^). Dans "ce cas, quelques-uns des points d'intersection des deux courbes qui sont variables avec les coefficients doivent être considérés comme s'étant éloignés à l'infini.

192. Nous allons nous occuper maintenant de quelques-unes des applications les plus importantes du théorème d'Abel. Etant donnée une courbe algébrique de genre /?, F (5, ii) = o, et une

THÉORÈME d'aBEL. ^23

intégrale abélienne quelconque i>{z,u) attachée à cette courbe, la somme des valeurs de cette intégrale en un nombre quelconque de points analytiques

peut toujours se ramener ci la somme des valeurs de la même intégrale en p points {z\, u\ ), ..., {z'^, u'^), se déduisant algébriquement des premiers, augmentée de quantités algébriques et logarithmiques.

Il suffît évidemment de démontrer la propriété lorsque V- = P -^^' En effet, si la somme de /? 4- i intégrales se ramène à la somme de/? intégrales, la somme de /» ^ 2 intégrales se ramènera d'abord à la somme de /> 4- i intégrales, puis à la somme de/) intégrales. En continuant de même, on voit que le résultat sera général. Supposons donc qu'on ait la somme

v{Zi, Mi)-f-(;(^2, "2) -^.. .^ v{zp.

-il "-p+l)'

D'après un résultat établi plus haut(n° 172), on peut toujours trouver un faisceau de courbes (par exemple de courbes adjointes d'ordre /?? — -2) rencontrant la courbe donnée en /? + i points variables seulement, de telle sorte que pour l'une des courbes du faisceau ces /? 4- i points variables soient précisément les points donnés {z,, u,), ..., (zp^,, Up+i)-

Soit

l'équation de cette courbe particulière C du faisceau,

(3'^) f{z, u)-r~lMz,in = o

l'équation d'une courbe quelconque du faisceau. Les poljnomes /(^5 '0^/< (-^5 ^0 ont leurs coefficients qui dépendent rationnellement des/? + I points donnés (^,, «^), . . ., (^^^, , ;/^^,). Disposons maintenant du paramètre A, de façon qu'une courbe du faisceau passe par un point donné à l'avance (a, ^), par exemple, par le point pris pour origine des intégrales. Cette courbe C" rencontre en outre la courbe donnée enp points (z\, u'j, ...,(z' , u )

qui dépendent algébriquement des premiers; d'après le théorème général, la différence

est égale à une fonction rationnelle des coefficients des deux courbes G^', C/, augmentée d'une somme de logarithmes de fonctions rationnelles des mêmes coefficients. On a donc bien

C, Al, ..., A^ étant des constantes et cp, cp^, ..., cp^ des fonctions rationnelles des coordonnées des /> -+- i points donnés (^^, u^), ..., {^P-\-\, Up+\)' La proposition est donc établie.

Si, en particulier, l'intégrale ç{z, w) est de première espèce, la différence

^^{Zi, Ui)~^ç{z),,u'k)

se réduit à une constante ^'(a, |3). La proposition générale peut, dans ce cas, s'énoncer ainsi : La somme des valeurs d'une intégrale ahélienne de première espèce en un nombre quelconque de points analytiques est égale, à une constante près, à la somme des valeurs de la lyiême intégrale en p points analytiques seulement, qui dépendent algébriquement des premiers.

C'est le théorème d'addition pour les intégrales de première espèce.

193. On déduit de là sans difficulté l'intégration des équations différentielles dites abéliennes, dans le cas le plus général. Soient

i^i= j oi(z,u)dz, V2= r<f2{z,u)dz, ..., i>p=r

cpp(^, u)dz

p intégrales linéairement indépendantes de première espèce, attachées à une courbe de genre p. On donne le nom d'équa-

THÉORÉxME d'ABEL. 4^5

lions différentielles abéliennes au système d'équations suivant

I Oi(^i, Ml)û?^i-r-Oi(^2 7 Ui)dZi-^...— Oi{Zp, U^) dZp -h 'Oi{Zp^i, Up^i) dZp^i= o, 1 02(-Si, Wi)<i^l-}- -^O^i^p^l, Up^i)dZp^i = o,

\ cp/,(^i, ai)<i^i -F 4-c3p(^^-+-,,î^p^i)c?.Sp+, = o,

où l'on suppose toujours zi et ui liés par la relation F{zi, ui) = o. Ces p équations définissent p des points analytiques {zi, ui) en fonction du (/7-f-i)'^™% par exemple, {zo, Uo)^ •••, (^/>+o «^/j+Oî en fonction de (^i, ?^,), quand on se donne les valeurs initiales (?,,Th), (io, -^.2): ...,(?/.+., -^^p+i)' D'après les théorèmes généraux de Cauchy, la solution du système (34), où les valeurs initiales sont les précédentes, est complètement définie (*). Cette solution est d'ailleurs donnée par les équations

( i'pi^l, U\)-r- -^VpiZp^i, Up^i)= Vpi^u 'Ttl)-^-'-^ i'pi^p^l, "^tp-hl),

équivalentes aux équations (34), en tenant compte des valeurs initiales. Ces relations paraissent transcendantes, mais elles sont, en réalité, algébriques (Cf. 179). Imaginons, en effet, qu'on ait l'équation d'un faisceau de courbes

(36) fiz,u)^lf,{z,u) = o

rencontrant la courbe donnée en /? 4- 1 points variables seulement, ces p -^ I points variables se réduisant aux /? -i- i points donnés (;,,Tn), .. ., {^p+iyTip^i) pour une des courbes du faisceau, par exemple, pour la courbe /(^, ii)= o. La courbe du faisceau (36)

(37) /(-, w)/i(-i, "i)-/i(^, iOAm, "i)= o

rencontre la courbe donnée au point (3,, Ut) et, en outre, en /? points (30, Wo),. . .,(-/^+«, ap+i)\2iTisih[esi\vec{Ziy z^,). Ce groupe dep points se réduit au groupe des points (^o? '^■2)7 - • - •< {^p+i^ '^i/'+i)

(') Nous négligeons les cas exceptionnels où les p — i points (^, tJ seraient sur une courbe adjointe d'ordre ni — 3. On serait conduit à des solutions singulières que nous laissons de côté.

lorsque (^i, uC) coïncide avec le point (^<,yi,). D'ailleurs, d'après le théorème d'Abel, ce groupe de p points satisfait toujours aux équations (35) et, par suite, aux équations (34). Il constitue donc l'intégrale de ce dernier système, qui est défini parles conditions initiales données.

194. Les calculs à effectuer sont plus ou moins compliqués, suivant les cas. Nous allons indiquer comment on peut les effectuer pour les intégrales hjperelliptiques, en modifiant légèrement la méthode générale.

Soit

(38) 1*2,= Ao52p+2^ Aix;2p+i|__.^A2;;+i^-f-A2;,+2= RC-s)

une relation de genre />, le coefficient Ao pouvant être nul, mais le coefficient A^ n'étant pas nul dans ce cas, et

(3i))' w = ao^-P+i-h «i^/'

^/J-Hl

une courbe de degré /> -f-i, où ai, ao, . . ., a^^, sont arbitraires et où l'on a pris ao= V^^o • Ces deux courbes (38) et (3^) se coupent en ip -\-i points variables avec les paramètres ai, ao, . . ., a/7+i, et généralement situés à distance finie. Les abscisses de ces 2/> -f-i points (^4, i^,), . . . , (22/)4-i5 ^^2/j+O sont fournies par l'équation

(4o) (ao^/^+l-H a^ZP-^. . .-^a^+i)2— Ao^2/;+2__. ..— A2p-f-2= o.

On peut disposer des p +i paramètres a,, . . . , a^^, de façon que la courbe (39) passe par /> + i points donnés à l'avance de la courbe (38), (^, , u^), . . . , (zp^^ , Up^i). Les p points restants

sont alors déterminés algébriquement en fonction des premiers. D'après le théorème général, si p(:3, u) est une intégrale attachée à la courbe (38), on a

= G-h4^4- Al log<]>i + ...-+- Aylogd;,/,

THÉORÈME d'ABEL. 4^-7

Al, . . ., Ay, G étant des constantes et t!;, 'i/,, . . . , ^^ des fonctions rationnelles de a^, . . . , a^^, et, par suite, des /> -f-i points donnés {z^, Ui)f. . .,(^^+4, Up+\)' Si l'on remarque maintenant que la

somme des valeurs d'une intégrale abélienne / ^-^ — ^ en deux

points superposés (z, u), (z. — u) est une constante, la formule (4i) peut encore s'écrire

p-hi p

en posant Zf^== Zp^k^i^ ^^a= — ifp+k+\' C'est au fond le théorème d'addition des intégrales abéliennes.

Si, en particulier, l'intégrale (^(^, u) est de première espèce, les formules (4i) et (42) deviennent

(4<y ^^'{ZhUi)-}-^v{ Zp+k+\ , Up+A+i )=C,

(4^y ^^^{zi, u,)=y.Hzi., u',)-^ c.

L'intégration des équations abéliennes se déduit de là bien aisément. Posons

P-» dz

de la relation (40' ^^ ^^^^

dz,

1 ^=-2 1 1 dzp+i dzp^2

z, dz, (43) ^ u,.

Z-2 dz<2 ^ ^p-1-1 dZp^i Zp-^2 dZp+2

U2 Uj'^l ^^P^'i

zP-' dz

, , ^r' ^-^2 , , zPp^l dzp^, zPzi dzp^.

zVpU dz.p^x

U2 Up+i Up-^l.

Uin+\

Les p équations abéliennes

"1/^^+...; -P-' dzp^,= o (/- 0,1,2,.. 11. Il ... . '

sont donc équivalentes aux p relations

W/j+2 W2/JH-1

dont on obtient l'intégrale générale en posant

ClZ p-y-i = O, • ' • 1 d^ip-\-\ ^— O5

c'est-à-dire Zp^2= Ci, . . . , Zop+i = Cp. En résumé, pour obtenir l'intégrale générale des équations (44)5 on détermine les coefficients a<, a2, ..., 0Lp^^ de la courbe (39), de façon que cette courbe passe par les /> + i points (z^ , Wi), . . . , (s^+i , t^p+])', la courbe ainsi obtenue rencontre la courbe u^=^K(z) en p autres points dont les coordonnées sont des fonctions algébriques des coordonnées des (p -hi) premiers points. En écrivant que ces p nouveaux points sont fixes, on obtient/) relations, dépendant de p constantes arbitraires, entre les p -\-i points

(Zi, Ui), . . ., (Zp-i-i, Up^l).

C'est V intégrale générale des équations abéliennes (44)-

195. Développons les calculs pour/? = 1 et/?=2. Considérons d'abord la relation

^2= R(^)=^4 f-Ai^3+ A2^2 i Aa^-f- A4;

le système (44) se réduit à l'équation unique / ,/. X dzi dz^

qui est précisément l'équation d'Euler. Pour appliquer la méthode générale, il faut d'abord déterminer les coefficients a et a4, de façon que la courbe auxiliaire

(47) M. = ^2 4 az H- ai

passe par les deux points [z^, u^)^ (^2, z^2)r on trouve ainsi

(48) (x= — ^—(^1 + ^2), ai= -^-^ \-ZiZi.

Zi — Z2 Zi- — Z2

THÉORÈME d'ABEL. 4^9

La courbe (47) rencontre la courbe donnée en un troisième point {z.3,Uz) dont l'abscisse ^3 est racine de l'équation du troisième

degré

(z^ -^ OLZ -r- oLiY- = z'* -h Xiz^ -i- Ai^^ -+- Aa^-i- A4

OU

(Al — 2a)^3^(A2— a2— 2a,)i;2-+-(A3— 2aai)5-- Âi-al = o;

les deux autres racines sont ^, et Z2- On a entre ces racines les relations

^i-i-^2+^3- Ai-2a '

ZiZ2-+- Zs{Zi-\- Z2) =

a'-f- 2ai — A2 Al — aa

A3— 2 gai

Al — IX

l'intégrale générale de l'équation (46) peut donc s'écrire sous l'une des trois formes suivantes

a--i-ioii — Ao . , ^ p

Al — 2 a

A3— 2aai p, , ,

Al — 2 a

af— Ai ..

= K^ZiZo,

Al — 2a

OÙ l'on suppose a et a, remplacés par leurs expressions (48). Si la relation considérée a été mise sous la forme normale

u^^=.ii-z^^){i-k^-z^-)=k-^(^z^-'-^^'-^^,)^

il suffît de prendre A, = o, Ao = — -^^^^ Ag^o, A,= ^-Si l'on adopte la seconde des formes précédentes pour l'intégrale générale, il reste

ai — ZiZ2=^ C{zi-i- Z2)

ou

Zi ^^2 — -^2 ^'1 .

Ci = 5 —^ j

zi ^2

on retrouve la formule habituelle qui donne l'intégrale générale de l'équation d'Euler.

43o CHAPITRE IX.