A4— 1'Xx'm)z + A5— a| = o

les trois autres racines sont^, , z-^^ ^3. On a donc les cinq relations

«2— Al

Zx-\- z^-\- z^-\- z,^-\- z-.

Ao '

A2 — aaai

^1^2-+- ^l-23-+-^2^3 + ('5l+^2+^3)(^4+^3)-i-'54'S5 = ^li;2'S3 + (-2l-^2+ -^I-^JS^- -^2'=^3) (-2^ -T- -^0)

•51^2-23 (-54 + >S5) -h (-Si ^2 H- ^1-^3+ -^2-^3) -24-^5 = -Si ^2 -23-34 ^5

Ao

A4 — 2aia2

Ao

THÉORÈME d'ABEL. 43i

Il suffit de remplacer dans deux de ces relations ^4 et Z5 par des constantes arbitraires et a, a,, ao par leurs valeurs tirées des formules (5i) pour avoir l'intégrale générale du système (49).

197. On peut former des systèmes d'équations différentielles, analogues aux systèmes précédents, et dont l'intégrale générale est algébrique, alors même que les intégrales qui y figurent ne sont plus de première espèce. Par exemple, nous avons vu que l'intégrale générale de l'équation différentielle

dzi dz<î

est donnée par la relation

Zi ^\\— z'I )( I— k'-zl )~ Zo v/(i — ^f )(;i — A'-^i ) Ci = ~5 .-,

Zi ^5

11 est clair que la vérification directe, qui est facile, s'eflectue quelle que soit la valeur de k. Si Ton fait A* = o, on en conclut que l'intégrale générale de l'équation

dz\ dzo

est fournie par l'équation

H^i-zl-z,^i-z\

qui peut s écrire aussi

Zi )/i—zl-\- Zi y/i— -î = G'.

On voit de même, en faisant A = i, que l'équation