représente l'intégrale générale de Téquation

dz^ dz=>

L'application directe du théorème d'Abel aux intégrales de troisième espèce conduit aisément aux mêmes résultats. Étant donnée la relation

considérons la fonction rationnelle

qui admet trois zéros {z^^ u^), {zo, ih), (-3, u^) et trois infinis {z\^ u\)^ {z[,^ u'^), (z.^, u'.^), et l'intégrale de troisième espèce / -—^ qui a ses deux points critiques rejetés à l'infini. La fonction (£>{z, II) reprend la même valeur^ en ces deux points critiques; donc, d'après la formule générale (10), on a

Laissons fixes les coefficients y, 8, et faisons varier a et [3j le second membre de l'égalité précédente conserve une valeur constante. On a donc

dzi dz2 dz^

ll\ ^2 W3

(^ij '^i)» (^2,^2)^ (^3 5 ^'3) désignant les coordonnées des trois points d'intersection variables de la courbe donnée u-=zi —^2 avec la courbe mobile u^= !-{- a.z-^ '^z^. L'intégrale générale de l'équation

dz^ dzi

s'obtient donc en posant ^a^const. Le calcul s'achève comme au n« 195.