THÉORÈME D ABEL

briques. Soit C une courbe plane de genre/?, représentée par l'équation

(52) F(z,u) = o; le point de coordonnées (X, Y, Z),

oùf(z, u). '^(z, u), ^(5, u) sont des fonctions rationnelles, décrit une courbe gauche F, qui correspond point par point à la courbe plane G, si les fonctions/, cp, ^ n'ont pas été prises d'une façon particulière, ce que nous supposerons; de telle sorte qu'inversement z et u sont des fonctions rationnelles de X, Y, Z. Toute intégrale de la forme

prise le long de la courbe F, où a, ^3, y sont des fonctions rationnelles de X, Y, Z, se change, par la substitution (53), en une

intégrale abélienne / R(^, ii)dz relative à la courbe C. D'autre

part, soit

TT/v V V P(X,Y,Z)

"^^'''^^=QIX7YX)

une fonction rationnelle, P et Q étant deux poljnomes du même degré; si l'on y remplace X, Y, Z pary(^, u), 'f (-^, w), ^(^-j w), il vient

n,(^, u) étant une fonction rationnelle du point analytique (z, u), dont les zéros correspondent aux points d'intersection de la courbe gauche F avec la surface S, qui a pour équation P(X, Y, Z) = o, et les pôles aux points d'intersection de F avec la surface S' représentée par l'équation Q(X,Y, Z) = o. On peut donc, en appliquant le théorème d'Abel, exprimer, au moyen de quantités algébriques et logarithmiques, la différence entre la somme des valeurs de l'intégrale (54) aux points d'intersection de la courbe gauche F et de la surface S, et la somme analogue aux points d'intersection de F et de S'. En particulier, si l'intégrale considérée est de pre- A. ET G. 28

434 CHAPITRE IX. — THÉORÈME d'aREL.

mière espèce, il en est de même de l'intégrale / R(5, u)dz^ el le théorème d'Abel peut s'énoncer ainsi :

La somme des valeurs dhine intégrale de première espèce

adX-i-^dY-h^(dZ,'

attachée à une courbe gauche algébrique F, prises depuis une origine fixe j usqu' aux points d^ intersection de cette courbe avec une surface algébrique variable de degré m, reste constante lorsque les coefficients du premier membre de V équation de cette surface varient d\ine façon arbitraire.

LE PROBLÈME DE l' IN VE R S ION. 435

LE PROBLÈME DE L'INVERSION (i).

Hecherche des courbes dont les coordonnées sont des fonctions uniformes d'une intégrale abélicnne attachée à cette courbe. — Les trois formes possibles de rintégrale. — Inversion de l'intégrale de première espèce attachée à unfi courbe du premier genre. — Généralités sur les fonctions doublement périodiques. — Recherche des équations F(u,u') = o, qui admettent une intégrale uniforme.

— Méthode de M. Hermite. — Application aux équations binômes. — Fonctions qui admettent un théorème d'addition algébrique. — Généralisation du problème.

— Le problème d'inversion de Jacobi. — Extension du problème de Jacobi.

199. Le problème que nous allons d'abord traiter peut se formuler ainsi : Etant donnée une relation algébrique irréductible

peut-on trouver une fonction rationnelle R(-^, u) telle qu^en posant

1 R(^, u)dz,

à une valeur de w ne corresponde qu^un point analytique

S'il en est ainsi, les coordonnées^ et w d'un point de la courbe (i) sont des fonctions uniformes de w. D'après la façon dont ce problème est posé, il est clair qu'on peut effectuer sur la courbe considérée

(') Auteurs à consulter: Jacobi, De functionibus duarum variabilium quadrupliciter periodicis, quitus theorîa transcendentiuni Abelianarum inràtilur {Journal de Crelle, t. XV) ; — Briot et Bouquet, Recherches sur la théorie des fonctions {Journal de l'École Polytechnique, XXXVP Cahier); Théorie des fonctions doublement périodiques, Livre V, Chap. IV.

une transformation birationnelle quelconque. Nous pouvons donc supposer que la surface de Riemann T, composée de m feuillets, qui correspond à l'équation F = o, n'a aucun point de ramification à l'infini. Cela posé, la fonction R(^, u) doit satisfaire aux conditions suivantes :

1° Cette fonction ne peut s^ annuler pour aucun point de la surface de Biemann à distance finie. En effet, soit d'abord (a, h) un point non de ramification à distance finie. Si R(«, h) était nul, on aurait, dans le domaine du point (a, ^),

R(^, t^) = A(^ — a)'^-l- B(^ — a)«+i H- . . . et, par suite.

Par un raisonnement bien connu, on en conclut que, aune valeur de w voisine de w(a, b), correspondent, pour z, {n + i) valeurs voisines de a qui se permutent circulairement lorsque le point qui figure la variable w décrit dans son plan un petit cercle autour du point (v(a, b).

Soit, en second lieu, (a, b) un point de ramification d'ordre r — ik distance finie. Si l'on pose ^ = a -j- r, on en déduit uz= b -i-o(t), cp(^) désignant une fonction uniforme de t dans le voisinage de l'origine ; le domaine du point de ramification {a, b) correspond d'une façon univoque au domaine du point t = o sur le plan où l'on représente la valeur de t. En substituant ces valeurs de z et de u dans la fonction rationnelle R{z, u), il vient

R(^, u) = ^^^•(^■^0 + Al ^ + ...), le coefficient Aq n'étant pas nul. On a de même

w= f'n{z,u)d^= Ç tf^{k^-i-k^t-^...)rt''-^dt]

si le nombre entier k était positif, on voit, comme tout à l'heure, que t et, par suite, z et u ne pourraient être des fonctions uniformes de w dans le voisinage de w(a, b).

[1 en serait encore de même si le nombre entier k -h r — i était positif. On doit donc avoir A" < i — r, c'est-à-dire que le dévelop-

LE PROBLÈME DE l' IN VERS ION. 4^7

pement de R(:?, u) doit commencer par un terme à exposant négatif, la valeur absolue de cet exposant étant au moins égale à /' — i . Par conséquent :

2° Tout point de ramification d^ ordre r — i à dislance finie doit être un pôle de R(:^, u)^ d^ ordre r — \ au moins.

Enfin, en étudiant ce qui se passe aux points à l'infini, on voit que :

3® Les m valeurs de z-V^{z, u) pour z infini sojit différentes de zéro.

Si l'on pose, en effet, ^= — , il vient

w =Jr{z, u)dz =-f^ (^, ' ") 7^ * D'après la première propriété, le produit

ne peut être nul pour ^' = o ; par conséquent -3-R(:?, ?/) ne peut être nul pour z infini. 11 suit de là que les m développements de la fonction rationnelle K[z, u) pour des valeurs très grandes de z

commenceront par un terme en - ou en —5 à moins de contenir

des puissances positives de z ou de commencer par un terme constant. Mais aucun de ces développements ne peut commencer

par un terme en — ou un terme de degré supérieur. Si donc un

point à l'infini de la surface de Riemann est un zéro pour la fonction rationnelle R(i?, «), l'ordre de ce zéro est au plus égal à 2.

200. Rapprochons les propriétés qui viennent d'être démontrées pour la fonction R(^, u). D'après la première et la troisième,, le nombre des zéros de K(z, u) est au plus égal à 2 m, et cette limite n'est atteinte que si chaque point à l'infini est un zéro du second ordre. D'après la seconde propriété, chaque point de ramification d'ordre /• — i de la surface de Riemann est un pôle d'ordre /• — I au moins de R(^, u). Dénombre des pôles est donc au moins égal à !(/• — i), et cette limite inférieure n'est atteinte que si chaque point de ramification d'ordre /• — i est un pôle d'ordre

/• — I et si la fonction R(c, u) n'admet pas d'autres pôles. Gomme le nombre des zéros est égal au nombre des infinis, on a donc

8 étant nul ou positif , Portons la valeur de S(/- — i) dans la relation fondamentale qui donne le genre

il reste

et cette équation n'admet que les deux solutions

jo = I, S = o,

Nous voyons déjà que le problème proposé n'admet une solution que si le genre de la courbe considérée est zéro ou un.

Si p = I, 0 = o, les seuls pôles de R(s, u) sont les points de ramification de la surface et tout point de ramification d'ordre ;. __ I est un pôle d'ordre r — \. Les m points de la surface à l'infini sont des zéros du second ordre, c'est-à-dire que, dans le domaine de chacun de ces points, R(^, u) a un développement de la forme

On voit que l'intégrale f^{z, u)dzresle finie en tous les points

de T, et, comme il n'existe qu'une intégrale de première espèce pour la courbe F = o, de genre un, cette condition détermine complètement la fonction rationnelle R(^, u), à un facteur constant près.

Prenons la seconde solution p = o, 8 — 2. On peut faire plusieurs hypothèses sur les pôles et les zéros de R{z, u). On peut supposer d'abord que le nombre des pôles est égal à S(/' — i) + 2, chaque point à l'infini étant alors un zéro du second ordre. Cette hypothèse se subdivise elle-même en plusieurs autres, que nous allons énumérer :

LE PROBLÈME DE l'INVERSION. 489

i"" Chaque point de ramification d'ordre /' — i est un pôle d'ordre r — i de R(:?, u), qui admet en outre deux pôles simples ou un pôle double, distincts des points de ramification ;

2*^ Un des points de ramification d'ordre ;* — i est un pôle d'ordre r deK{z, u), qui admet en outre un pôle simple, distinct des points de ramification;

3° Deux points de ramification d'ordre /• — i et r' — i sont respectivement des pôles d'ordre ;* et /' ;

4" Un point de ramification d'ordre /• — i est un pôle d'ordre /• -h I de R(^, u).

Si le nombre des pôles est S(7' — i) -}- i, le nombre des zéros est 2 m — I ; la fonction a un zéro simple et (m — i) zéros doubles à l'infini. A distance finie, elle a un pôle simple distinct des points de ramification, ou bien un point de ramification d'ordre r — i est un pôle d'ordre /'.

Enfin, si le nombre des pôles est ]S(/- — i) = 2m — 2, la fonction a deux zéros simples et (m — 2) zéros doubles à l'infini, ou bien m — i zéros doubles, le dernier point à l'infini de la surface n'étaut alors ni un pôle ni un zéro pour R(-G, u).

Si l'on passe en revue tous les cas qui viennent d'être énumérés, on reconnaît immédiatement que l'intégrale

est. dans tous ces cas, soit une intégrale de seconde espèce avec un seul pôle simple, soit une intégrale de troisième espèce.

201. Les conditions sur lesquelles nous nous sommes appuyés pour déterminer la fonction rationnelle R(5, u) sont simplement nécessaires. Il nous reste à examiner si ces conditions sont suffisantes^ en d'autres termes, si les solutions que nous venons d'obtenir répondent bien à la question (').

(') C'est là un point sur lequel les raisonnements de Briot et Bouquet prêtent à des objections. On voit bien sans difficulté que, dans le voisinage de toute valeur Wg de «', z et u sont des fonctions uniformes de w — (V^, mais cela ne suffit pas pour prouver que z et u sont des fonctions qui n'admettent qu'une détermination pour chaque valeur de w. L'étude approfondie des équations linéaires du second ordre a conduit à une conclusion tout opposée. Pour plus de détails, nous

44o CHAPITRE X.

Considérons d'abord le dernier cas, c'est-à-dire le cas d'une courbe de genre zéro F(^, u)=: o et d'une intégrale

w = I R{z, u)dz

de troisième espèce, ou de seconde espèce avec un pôle simple. Nous avons vu plus haut (§ i30) que z et a peuvent s'exprimer en fonctions rationnelles d'un paramètre t

par ce changement de variable, une intégrale de seconde espèce se change en une fraction simple, telle que

t — a tandis qu'une intégrale de troisième espèce a pour expression

On vo.it que, dans le premier cas, z et u sont égales à des fonctions rationnelles de pp, et, dans le second cas, à des fonctions

rationnelles de e^.

Soit, en second lieu, F(^,z/) = o l'équation d'une courbe de genre i , et

' 'Ri^z, u)dz

l'intégrale de première espèce attachée à cette courbe. A une valeur de iv ne correspond qu'un point analytique (^,«); si, en effet, on pouvait trouver deux points (gi, iii), (^25 1^2) tels que l'on ait

OU, plus généralement, tels que (v(^<, Ui) et (v(52, 112) ne diffèrent

renverrons le lecteur aux Mémoires de M. Poincaré sur la théorie des fonctions fuchsiennes, et à une Lettre de M. Fuchs à M. Borchardt, insérée dans le Bulletin des Sciences mathématiques (t. IV, 2^ série, p. 334).

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44»

que d'une période, on pourrait former une fonction rationnelle de ^ et de u^ admettant un seul pôle simple {z-^^u-^) et un seul zéro simple {z^^ u^) (§ 179). Or, sur une surface de Riemann de genre/? >> o, il ne peut exister de fonction uniforme admettant un seul infini du premier ordre (§ 174).

En résumant tout ce qui précède, on peut donc énoncer le théorème suivant :

Étant donnée une courbe algébrique de genre p^

pour qu'il existe une fonction rationnelle R(:5, u) de z et de u telle qu'en posant

f ^{z, u) dz,

les coordonnées z et u soient des fonctions uniformes de w, il faut et il suffit que le genre soit égal à zéro ou à un. Si p = o, il suffira de choisir R(^, u). de façon que w soit une intégrale de troisième espèce, ou une intégrale de seconde espèce, avec un pôle du premier ordre. Si p ^= i, on prendra pour w l'intégrale de première espèce attachée à la courbe.

Dans le cas d'une courbe de genre zéro, on a deux, solutions différentes. Si l'on prend pour w une intégrale de seconde espèce, à un point de T correspond une seule valeur de w et inversement. La surface T correspond donc, point par point, à un plan ou à une sphère. C'est, au fond, le mode de représentation ordinaire des courbes unicursales. Si l'on prend pour w une intégrale de troisième espèce, à un point de T correspondent une infinité de valeurs de w comprises dans la formule a-}- 2/^7:/, m étant un nombre entier. Divisons le plan des w en bandes indéfinies de largeur 27: par des parallèles à Taxe des quantités réelles. Lorsque la variable w parcourt une de ces bandes , le point (5, u) passe une fois et une seule fois par tout point de la surface T. Pour transformer la surface d'une de ces bandes en une surface fermée, il suffît de réunir les deux bords opposés en appliquant l'un sur l'autre les deux points qui correspondent aux valeurs w et w -\- iT^i. On obtient ainsi une surface fermée analogue

à un cylindre de révolution indéfini ou à un fuseau très allongé ; cette surface est bien du genre zéro, et les deux sommets du fuseau correspondent aux points critiques logarithmiques de l'intégrale de troisième espèce.

202. Soient enfin F (5, z/) = o une courbe du premier genre et (v l'intégrale de première espèce. A un point analytique (^, u) correspondent une infinité de valeurs de w comprises dans la formule (V -f- /?zw -H m' bi' , m et m' étant deux nombres entiers et w, w' les deux périodes distinctes, dont le rapport est toujours imaginaire, tandis qu'à une valeur de l'intégrale w ne correspond qu'un point analytique (^, u). Imaginons qu'on ait ramené la surface T à une surface simplement connexe T^ au moyen de deux coupures a et b. Nous pouvons supposer qu'on a pris pour co et (o' les périodes qui correspondent respectivement à ces deux coupures. Lorsque le point (^, u) décrit la surface T', le point qui figure la valeur de w décrit dans son plan une portion finie de surface 0 et les deux surfaces T' et Q se correspondent point par point d'une façon univoque. Il est aisé de se rendre compte de la forme de ù. En effet, lorsque le point [z, u) décrit le bord de la coupure a, le point çç décrit une certaine ligne L; lorsque (5, u) décrit le bord opposé de a, w a augmenté de w, et, par conséquent, à ce bord correspond une ligne égale à L, qui se déduirait de L par une translation de la quantité w. De même, aux deux bords opposés de la coupure b correspondent deux lignes Li et L', , qui se déduisent l'une de l'autre par une translation égale à co'. L'aire ù a donc la forme d'un parallélogramme curviligne {fig. 90).

Le point (5, u) décrivant le contour total de T', le point w décrit le contour ADGBA. Soit maintenant P un point à l'intérieur de ù^ qui représente la quantité imaginaire a. Lorsque le point (^, u) décrit la surface T', l'intégrale w passe une fois et une seule fois par la valeur a. Il est évident d'abord, d'après ce que l'on sait déjà, qu'elle ne peut prendre la valeur a plus d'une fois; mais rien ne prouve jusqu'ici que w atteint bien toutes les valeurs intérieures à l'aire ù. Pour le démontrer, considérons l'intégrale

dw

r dw

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44^

prise le long du contour total de T', dans le sens direct; elle a pour valeur l'accroissement de log((V^ — a) lorsque iv décrit dans le sens direct le contour ADCBA, c'est-à-dire 27:/. D'ailleurs elle

Fig. 90.

C(<x+(jd+c»)')

(at-uj)

est égale, d'après le théorème de Cauchy, au produit de 27:1 par

la somme des résidus de -j ■ à l'intérieur de T'. Ces résidus

az w — a

ne peuvent provenir que des pôles de -r^ ou des racines de (v — a.

Les résidus provenant des pôles de -p sont tous nuls, puisque iv

est une intégrale de première espèce, et toute racine de iv — a donne un résidu égal à + i . La comparaison de ces deux valeurs

de l'intégrale définie / c/log((T'— a) prouve donc que l'équation

iv = y. admet une racine et une seule sur la surface T'. Le même raisonnement prouve d'ailleurs que, si jB est une quantité imaginaire représentée par un point extérieur à Q, l'équation (T' = |^ n'admet aucune racine sur la surface T'.

Si l'on joint les deux bords opposés L et L', puis les deux bords L, et Lp en réunissant les points qui correspondent à im même point analytique (^, w), on obtient une surface fermée analogue à un tore, qui correspond point par point, d'une façon univoque, à la surface de Riemann T. Cette surface fermée est bien du premier genre.

Si maintenant on fait mouvoir le point analytique (z, u) d'une façon quelconque sur la surface T, le point qui figure la valeur

de w atteindra un point quelconque du plan. Par exemple, imaginons que le point (z, u) franchisse une seule fois la coupure a et décrive ensuite de nouveau la surface T', on obtient pour w des valeurs qui se déduisent des valeurs déjà obtenues par l'addition de la période w. Ces valeurs de w recouvrent une aire 0| qui se déduit de Ù par une translation égale à w ; en franchissant un nombre quelconque de fois la coupure co dans un sens ou dans l'autre, on obtient ainsi une suite de parallélogrammes curvilignes tous égaux, deux parallélogrammes consécutifs ayant un côté commun. On obtiendrait de même une suite de parallélogrammes se déduisant du premier par des translations égales à ih w', ±20)', di 3to', . . . , si le point (^, u) franchit un nombre quelconque de fois la coupure b. Enfin, si le point (5, u) décrit sur la surface T un chemin quelconque, on obtient une infinité de parallélogrammes se déduisant de Q par des translations m co -\- n co'. Ces parallélogrammes recouvrent tout le plan, une fois et une seule, fois. A chaque point du plan des w correspond ainsi un point et un seul de la surface T, et à tous les points du plan des w qui représentent les quantités imaginaires (v + m co -f- n w' correspond le même point de T.

203. Les fonctions ^ et m de w sont donc des fonctions uniformes définies dans tout le plan de cette variable. Ces fonctions ne présentent que des discontinuités polaires à distance finie. Pour le démontrer, il est évidemment permis, comme on Ta fait plus haut, de supposer que la surface de Riemann, composée de m feuillets, n'a aucun point de ramification à l'infini. Soit

l'intégrale de première espèce; la fonction rationnelle R(^, 11) admet m zéros du second ordre à l'infini, et tout point de ramification d'ordre /• — i est un pôle du même ordre. Ce sont là les seuls pôles et les seuls zéros de R(^, u) (§200). Imaginons que la variable w^ partant de zéro, arrive à un point Wy, du plan; le point analytique (^, iC) arrive à un certain point (a, [^) de T. Si ce point est à distance finie, comme R(a, P) n'est pas nul, on a,

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44^

dans le domaine de ce point,

et Ton en tire pour z — a un développement de la forme

^-a= __2'4-Bi((r — «^a)2-h....

D'ailleurs, u — '^ est dans le domaine de ce point une fonction uniforme de z — a, représentée par un développement tel que

M-? = (^-a)^-[Ao-i-Ai(^-a)^...l.

En remplaçant z — y. par sa valeur, on en conclut que le point (T'^^ est un pôle ou un point ordinaire pour u.

Si le point (a, J^) est un point de ramification d'ordre r — i, on a dans le domaine de ce point

On en tire, en posant ; = a + z''',

w = r f {X ^ B z' -h . . .) dz =AV:^-\- Xrz' -^ ....

Par suite, z' est régulier dans le domaine du point iv = w^; il en est donc de même de z. Quant à u, u — îïi est une fonction uniforme de z' et par suite de w, ne présentant jamais qu'un nombre fini de termes à exposants négatifs. Le point Wa est donc un pôle ou un point ordinaire pour u. Le calcul précédent met bien en évidence ce fait que la variable z tourne /• fois autour du point a lorsque w décrit un petit cercle autour de tv^.

Enfin, supposons que le point analytique {z^ u) s'en aille à l'infini, lorsque w prend la valeur finie w^. Dans le domaine d'un point à l'infini de T, on a

et par suite, en posant z=z —,i

j n{z,u)clz = — J \,^ ^ dz'=— J (A

Bz'+ ...)dz'

ou

w — w^ = — As

On en conclut que le point w^ est un pôle du premier ordre pour^. C'est un pôle ou un point ordinaire pour u^ suivant que le point analytique est un pôle ou un point ordinaire pour u.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe algébrique du premier genre peuvent être représentées par des fonctions uniformes doublement périodiques d'un paramètre, n^ admettant que des discontinuités polaires à distance finie. {Ce paramètre est précisément l'intégrale de première espèce attachée à la courbe.)

204. La proposition réciproque est bien connue. Nous l'énoncerons ainsi : Entre deux fonctions uniformes doublement périodiques, aux mêmes périodes, n'ayant que des discontinuités polaires, il existe une relation algébrique (qui est, en général, du premier genre, mais qui peut être de genre zéro).

Rappelons en quelques mots la première partie de la démonstration ('). Soient u^ =f ((p), U2=f2{iv) deux fonctions doublement périodiques aux mêmes périodes w, w'. A une valeur de l'une d'elles, u^ par exemple, ne correspondent qu'un nombre fini de valeurs pour w^ abstraction faite de multiples de périodes, et par suite qu'un nombre fini de valeurs pour U2. Si l'on cherche ensuite la nature des discontinuités de «2, considérée comme fonction de Ui, on trouve, en examinant tous les cas possibles, que les seuls points singuliers sont des pôles ou des points critiques algébriques. Cet examen est analogue à ceux que nous avons déjà

(') Nous supposons connues ici les propriétés fondamentales des fonctions doublement périodiques.

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 44?

faits plusieurs fois et, pour abréger, nous ne le reproduirons pas. On en conclut (§ 84) que w, et u-i sont liées par une relation algébrique

La relation (8) est évidemment du genre un, si à un point analytique (w,, ^^2) ne correspond qu'un point à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire, car la surface de Riemann T et la surface du parallélogramme ou, si Ton aime mieux, la surface fermée obtenue en joignant les bords opposés de ce parallélogramme, se correspondent point par point d'une façon univoque, et, par conséquent, sont du même genre. On peut aussi le faire voir en reprenant une démonstration tout à fait pareille à celle qui a été employée pour démontrer la conservation du genre dans toute transformation birationnelle (§ 122).

Si à un point analytique (?/(, Wo) correspondent plusieurs points à l'intérieur d'un parallélogramme, la démonstration ne s'applique plus. La relation (8) peut être de genre zéro ou un, mais non de genre supérieur à un. Il suffit de faire voir que, si les coordonnées d'un point d'une courbe F(c, il)=i Ç) sont des fonctions uniformes doublement périodiques d'un paramètre, n'ayant que des discontinuités polaires, il ne peut y avoir plus d'une intégrale de première espèce attachée à la courbe. Soit, en effet. U une intégrale de première espèce attachée à la courbe considérée ; quand on exprime z et u au moyen du paramètre (P, U devient une fonction ^(.(v) de w qui est régulière pour toutes les valeurs finies de cette variable {^)] il en est de même de sa dérivée 0'((v). Or, lorsque w décrit un contour fermé, le point (^, u) décrit aussi un contour fermé et ^{w) augmente d'une période ; <ï>'((p) est donc une fonction uniforme de w\ lorsque (V^ augmente de co ou de co', le point (.3, u) décrit encore un contour fermé, et $((r) augmenie d'une période; la dérivée ^'((v) est donc doublement périodique, et, comme elle est régulière pour toute valeur finie de tr, c'est une constante et la fonction <I>((v) se réduit, à une constante

(') Il suffit de remarquer que, si (a, |î) est un point de ramification d'ordre r correspondant à Ja valeur w^ de w, z' = {z — o^y est régulière au point iv^.

près, à Cw. 11 suit de là qu'il ne peut exister sur la surface T deux intégrales distinctes de première espèce.

Les fonctions doublement périodiques À, ik fournissent un exemple bien simple de fonctions doublement périodiques liées par une relation de genre zéro

Conformément à la démonstration précédente, à un système de valeurs pour ces fonctions correspondent deux points à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire (^).

Il est toujours aisé de choisir deux fonctions doublement périodiques Ui et Uo, aux mêmes périodes, telles qu'à un point analytique (u\, Uo) ne corresponde qu'un point à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire. Il suffît, par exemple, de prendre deux fonctions ayant un seul infini commun du premier ordre, {Vq. La courbe F (^Ui, u^) ^= o possède alors une seule asymptote non parallèle aux axes, et à ce point à l'infini de la courbe ne correspondent que les points pPq + '" ^ + '^^'•

205. L'étude des fonctions uniformes sur une surface de Riemann du premier genre revient donc à l'étude des fonctions uniformes doublement périodiques et inversement.

Résumons en quelques mots la correspondance qui vient d'être établie. Soient

une relation algébrique de genre un, cj et to' les périodes de l'intégrale de première espèce iv. A toute valeur finie (Vq de (^ correspond un seul point (a, ^) de la surface T. Si ce point (a, p) n'est pas un point de ramification, on a, dans le domaine du point iVo,

5 — a = A((P — tVo)-h B((ï' — (Vo)2 + . . ., - A 7^ o

si le point (a, P) est à distance finie, et

(') BriiOT et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, p. 35i et suivantes.