LE PROBLÈME DE L INVERSION
si ce point (a, ^) est à l'infini. Lorsque le point (a, ^) est un point de ramification d'ordre r — i, on a
z' — A(tp — wq)-^ B(tp — w^y- -h . . ., A 7^ G,
où l'on a posé ^ = a H- d^ si le point (a, ^) est à distance finie et
^ = -r- si ce point analytique est à l'infini.
De là se déduisent quelques conséquences immédiates. Etant donnée une fonction du point analytique (:;, w), $ (^, w), si l'on j remplace z et u par leurs expressions au moyen du paramètre w, ^(^, it) devient une fonction de la variable çv,^(a'). Si <^(^, ii) est régulière au point (a, |j), ^'((p) est régulière au point (Vq ; si (a, j^) est un zéro de <ï>(^, li)^ w^ est un zéro du même ordre de ^'((v). Lorsque (a, [3) est un pôle ou un point singulier essentiel pour <ï>(^j iL)^ Wç^ est un pôle du même ordre ou un point singulier essentiel pour ^'(fv). De même, un point critique logarithmique sur la surface T se change en un point critique logarithmique sur le plan des w. Par suite, toute fonction rationnelle de z et de u se change en une fonction uniforme doublement périodique à discontinuités polaires. Inversement, toutes les fonctions uniformes doublement périodiques à discontinuités polaires sont des fonctions rationnelles de deux d'entre elles, convenablement choisies.
Toute intégrale abélienne I sur la surface T admet des périodes cycliques et des périodes polaires. Lorsque le point (^, ii) décrit un cycle, w augmente de mw + zico'; par suite l'intégrale abélienne I se change en une fonction J (w) qui vérifie deux relations de la forme
J(tv -H w) = J(w) -t- K,
J(«, + a)')=J((v)-hK'.
Si l'intégrale I n'admet pas de périodes polaires, J((v) est une fonction uniforme de w. Si I admet des points critiques logarithmiques, il en sera de même de J(«^). Mais, dans tous les cas, J'((v) est une fonction uniforme doublement périodique n'ayant que des discontinuités polaires. Les intégrales abéliennes relatives à une surface de genre un se changent donc en des intégrales de fonctions uniformes doublement périodiques à discontinuités polaires. Par exemple, l'intégrale normale de seconde espèce avec un pôle simple (a, P) se change en une fonction uniforme admet- A. ET G. 29
tant un seul pôle simple à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire et vérifiant les deux relations
Z(pp + w) = Z(«^), Z(^p-h w') = Z((v)-i-G.
Ce qui précède explique l'analogie parfaite qui existe entre les propriétés des fonctions rationnelles d'un point analytique sur une surface de Riemann du premier genre et les propriétés des fonctions uniformes doublement périodiques d'une variable. On a rappelé ci-dessous les plus importantes :
Sur une surface de Riemann du premier genre.
la- Toute fonction rationnelle du point analytique (z, u), qui est régulière en tout point de la surface, est une constante.
lia. Il n'existe pas de fonction rationnelle R(^, u) admettant un seul pôle du premier ordre.
III^. Le nombre des zéros d'une fonction rationnelle R(^, u) est égal au nombre des pôles, chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité.
IVa- La somme des résidus d'une fonction rationnelle R(^, u) sur toute la surface est égale à zéro.
Va. La somme des valeurs de l'intégrale de première espèce pour les zéros d'une fonction rationnelle R(^, u) ne diffère de la somme des valeurs de la même intégrale pour les infinis de R(^, u) que d'une somme de multiples des périodes.
Sur un plan indéfini.
Ib. Toute fonction uniforme doublement périodique d'une variable i^p, régulière pour toute valeur finie de la variable, est une constante.
II*. Il n'existe pas de fonction doublement périodique admettant un seul pôle simple à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire.
III^. Le nombre des zéros d'une fonction doublement périodique à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire est égal au nombre des pôles , chacun d'eux étant compté avec son degré de multiplicité.
ly b- La somme des résidus d'une fonction doublement périodique à l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire est nulle.
y b' La somme des zéros d'une fonction doublement périodique et la somme des infinis contenus dans un même parallélogramme élémentaire ne diffèrent que par une somme de multiples des périodes.
LE PROBLÈME D E l' IN VE R S I OX. 4^1
Les propositions mises en regard se déduisent l'une de l'autre par la transformation que nous étudions, sauf les propositions l\a et IVô. En effet, si un point de ramification (a, ^) d'ordre r—i est un pôle pour ^{z, u), le résidu relatif à ce pôle est égal à /• fois le coefficient de ^-^ dans le développement, tandis que le coefficient de — ^- — - dans W{w) provient du terme en —
dans $(c, u). Le théorème IV^ correspond au théorème suivant : La somme des résidus du produit ^{z, u) -^ sur toute la surface T est nulle. En effet, remarquons que cette somme est égale, au facteur 21^/ près, à l'intégrale
prise le long du contour total de ï', et cette intégrale est ellemême égale à l'intégrale
prise le long du contour d'un parallélogramme élémentaire; cette dernière intégrale est à son tour égale au produit de irù parla somme des résidus de ^{w) dans ce parallélogramme : ce qui donne la proposition \S i-
Le théorème IV^ transformé donnerait celui-ci : La somme des
résidus duproduit W{w) -r- dans un parallélogramme élémentaire est nulle; proposition qui, au fond, ne diffère pas de la proposition \S hi puisque -v^ est aussi une fonction doublement périodique.
Le théorème V^ est connu sous le nom de théorème de Liouvillej on voit que c'est une simple conséquence du théorème général d'Abel. Du reste, la démonstration peut se faire de la même façon; si l'on considère en effet l'intégrale
prise le long du contour total du parallélogramme élémentaire,
on en déduit sans peine la relation entre les zéros et les infinis de W(w). Or, c'est précisément le procédé qui nous a servi pour établir le théorème d'Abel dans le cas le plus général.
On pourrait de même se proposer de déduire de toutes les propriétés que nous avons obtenues pour les fonctions rationnelles d'un point analytique (z, u) et leurs intégrales les propriétés correspondantes des fonctions doublement périodiques et de leurs intégrales. Mais il est à remarquer que Ton n'obtient ainsi rien d'essentiellement nouveau, ni quant aux résultats (dont les plus importants sont antérieurs aux recherches de Riemann), ni quant aux méthodes de démonstration. En effet, le procédé qui nous a servi constamment consiste à évaluer de deux façons une certaine intégrale prise le long du contour total de T'. Si, dans le cas de p = i, on passe de la surface de Riemann au plan des w, l'intégrale prise le long du contour total de T' devient une nouvelle intégrale prise le long du contour du parallélogramme élémentaire. Or la considération de pareilles intégrales convenablement choisies constitue précisément un des moyens les plus simples d'établir les propriétés fondamentales des fonctions doublement périodiques et de leurs intégrales.
Nous nous bornerons à ces indications, notre but n'étant pas d'écrire un traité des fonctions doublement périodiques.
206. Dans leurs célèbres recherches sur les équations différentielles, Rriot et Bouquet s'étaient posé la question suivante :
Etant donnée une équation différentielle du premier ordre
oit F est un polynôme entier en u ^t -r- ^ reconnaître si cette équation admet une intégrale uniforme.
Ce problème n'est au fond qu'un cas particulier de celui qui
du dz
vient d'être traité. Posons, en effet, U = -7-; la relation (it)
devient
LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 453
et l'on a
, du
d'où
/du
Si u est une fonction uniforme de z^ il en est de même de
U = -T-5 et l'on voit que les coordonnées d'un point de la ciz ^ ^
courbe (12) sont des fonctions uniformes de l'intégrale abé-
lienne z^ /Tf attachée à celte courbe. Inversement, si u et U
sont des fonctions uniformes de l'intégrale abélienne Zy on a
— =U, et la fonction uniforme u de z vérifie bien l'équation
proposée (i i).
Donc, pour que V équation (i i) admette une intégrale uniforme, le genre de la relation F(z^,U) = o doit être égal à zéro ou à un; si le genre de cette relation est égal à zéro,
V intégrale abélienne j -p- doit être une intégrale de seconde
espèce avec un seul pôle du premier ordre, ou une intégrale de troisième espèce avec deux points critiques logarithmiques ;
si le genre de la relation est égal à un, V intégrale / -rj doit être de première espèce.
Suivant les trois cas qui peuvent se présenter, l'intégrale de l'équation (i i) est une fonction rationnelle de^, ou une fonction rationnelle de e^^., ou une fonction doublement périodique, n'admettant que des discontinuités polaires. On vérifiera facilement que les conditions précédentes ne diffèrent que par la forme de celles qui ont été obtenues par Briot et Bouquet.
207. Lorsqu'on se trouve dans l'un des cas où l'intégrale est uniforme, on peut effectuer l'intégration au moyen d'une méthode très simple, qui a été donnée par M. Hermite dans son cours de l'Ecole Polytechnique, en i8^3. Supposons que la courbe représentée par l'équation (12) soit du genre zéro; alors
on peut exprimer u et -r- en fonctions rationnelles d'un para-
mètre t
et l'équation proposée donne
Si l'on a pris pour t le paramètre qui correspond d'une façon univoque aux points de la courbe (12), la nouvelle équation
dt (o(t) dz-fJT)
doit admettre une intégrale uniforme, ce qui exige que l'intégrale \^ admette un seul pôle du premier ordre, ou deux
points critiques logarithmiques. On sera donc ramené à l'une des équations suivantes
dt k dt k A dt k. dt
dz t — a dz t — a t — h dz {t — a)^ dz '
dont l'intégration est immédiate.
De même, si la relation (12) est du premier genre, on peut exprimer u et -77 par des fonctions rationnelles d'un paramètre t el
ctz
de la racine carrée d'un polynôme B(^), du troisième ou du quatrième degré. Soient
u =^ f[t, ^K(T)i ^; = ?[^/rTô];
dz on en déduit une nouvelle équation
dz
où P est une fonction rationnelle, qui doit admettre une intégrale uniforme, si le paramètre t a été choisi convenablement. Ceci exige, nous venons de le voir, que l'intégrale abélienne
dt
soit de première espèce, c'est-à-dire que P se réduise à Cy/R(/)
LE PROBLÈME DE l' INVERSION. 4^5
C désignanl une constante, et l'équation difFérentielle proposée est ramenée à la forme classique
(,3) g=Gv/R(7).
Remarquons que le procédé de M. Hermile s'applique à toutes les équations différentielles algébriques du premier ordre ne contenant pas la variable indépendante, pourvu que le genre soit zéro ou un.
