Considérons en particulier les équations binômes

du \ '"

/du \d^

F (li) étant une fonction rationnelle de u^ dont l'intégrale générale est uniforme. Pour qu'il en soit ainsi, il faut d'abord que la relation U'" = F(?/) soit du genre zéro ou un. Or, nous avons énuméré, à la page 245, toutes les équations binômes du genre zéro ou un; il suffira donc de prendre les équations binômes de genre

zéro pour lesquelles l'intégrale / -— - = / est une intégrale

de seconde ou de troisième espèce et les équations de genre un pour lesquelles cette intégrale est de première espèce. Cet examen ne présente aucune difficulté, et il nous suffira de donner le Tableau des équations binômes dont l'intégrale générale est uniforme :

1° Équations dont l'intégrale est une fonction rationnelle de z :

du du , , ^ du , ^ '-^^-^ , -. , ^^^—~

du , , ^-^ du , , w— j^

2° Equations dont l'intégrale est simplement périodique :

du . . . . . du . .

du , ^ I i— — du r 7—

-^= g{^u — a)slKu — b)^u—c), -j =gsj^u — b)^u — c),

3° Equations dont l'intégrale générale est uniforme et doublement périodique :

( i6) l^y = G( w — a)2 (m - bf {u — c)2 ,

{~y = 0(u-aY{u-br-,

f du \ ^

(18) (^^j =Ç.{u-aY{u-b)Hu-c)\

(22) (^gy = G(^-a)3(^-6)S

(24) {^^' = ç,^u-bY{ii-c)K

Les équations dont l'intégrale est rationnelle ou simplement périodique s'intègrent immédiatement. Pour ramener les équations dont l'intégrale est doublement périodique à la forme canonique (i4) ou (i5), il suffit d'employer la méthode de M. Hermite. On a déjà vu (n° 133) comment on peut exprimer les coordonnées d'un point d'une courbe de genre un, représentée par une équation binôme, par des fonctions rationnelles d'un paramètre t et de la racine carrée d'un polynôme R(^) du troisième ou du quatrième degré. L'application de la méthode de M. Hermite n'offre donc aucune difficulté. Nous indiquerons rapidement les résultats.

On passe de l'équation (i6) à l'équation (17) en changeant u

en c H Si l'on pose, dans l'équation ( 1 ^), -7^ = G^^, on en tire

Ç^t-^ = {^u — a){ii — b),

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 4^7

et par suite

la nouvelle fonction inconnue t est déterminée par l'équation

Les trois équations (i8), (19) et (20) forment un seul groupe, car on passe de l'équation (18) à l'équation (19) en changeant u

en c H — j et de l'équation (20) à l'équation (19) en changeant

w en (7 H — • Il suffît donc de considérer l'équation (19) ; en posant

il vient

^ = G^ \/\b — a-\- Gt-)t, et, par suite,

De même, les quatre équations (21), (22), (23), (24) se ramènent par une substitution linéaire à l'équation (22). Si l'on pose dans cette dernière

u = b -^ P, il vient

-— = GW- sj b — a^f^, CLz

et l'on a, pour déterminer t^ l'équation différentielle (27 j 3^ =G^slb — a-^tK

On trouvera d'autres exemples intéressants dans la Théorie des fonctions doublement périodiques (p. 398-4 16).

209. Voici une autre application importante des résultats obtenus. Etant donnée une fonction analytique uniforme /(^) d'une variable z, on dit que cette fonction admet un théorème d'addi-

don, s'il existe une relation algébrique entre /(^), f{t) et J'(^z + t)^ quelles que soient les valeurs de z et de t. Soit

cette relation, § désignant un polynôme entier en /(^), /(O? f{z-\-t). Posons, pour simplifier, uz=f(z)^ ç=f(t). w^=f(z-\-t); en différentiant l'équation (28) par rapport à ^ et par rapport à t successivement, il vient

f (z)- — h -r- f (z + n = o, En éliminant f \z + t) entre ces deux relations, on trouve

enfin, si l'on élimine f{z + t) entre les équations (28) et (29), on obtient une nouvelle relation algébrique

Attribuons à t une valeur fixe quelconque f 0 ; on voit qu'il existe une relation algébrique entre /(^) et /'(^). Donc (n« 206), les seules fonctions uniformes qui puissent admettre un théorème d'addition sont : i'' les fonctions rationnelles de z; 2° les fonctions rationnelles de e«^; 3° les fonctions doublement périodiques de z, n'admettant que des discontinuités polaires à distance finie.

Nous n'insisterons pas sur la démonstration de la proposition réciproque, qui est bien connue.

210. Le problème résolu au début de ce Chapitre peut être généralisé de différentes façons. Considérons encore une intégrale abélienne

' R(^, u) dz,

attachée à une courbe algébrique du genre />,

LE PROBLÈME DE l' INVERSION. 459

Si Ton ne se trouve pas dans l'un des trois cas qui viennent d'être examinés, à une valeur de l'intégrale iv correspondent plusieurs points analvtiques (z, u) sur la surface de Riemann. Nous allons rechercher quelle doit être la nature de l'intégrale (v pour qu'à une valeur quelconque de cette intégrale ne correspondent qu'un nombre Jl ni de points analytiques qui donnent la même valeur à l'intégrale (tp; il est clair que, si l'on se donne un de ces r points (^, w), les /• — I autres points (^, , w, ), (^o? ''2)7 • • • ? (^r-n ^'r-i ) sont déterminés par la même. Donc, toute fonction symétrique des coordonnées de ces /• — i points est une fonction uni/orme du point analytique (Zj u). Si l'on prend, en particulier, une fonction rationnelle et symétrique de ces coordonnées, on voit aisément que, considérée comme fonction de (^, «), elle ne peut admettre que des discontinuités polaires; c'est donc une fonction rationnelle de z et de u. Cela posé, soit cp(^, a) une fonction rationnelle quelconque; la somme

^{Z, u) = cp(^, u)-i- o(Zi, Ui)+. ..-h 0(Z,.-1, Ur-i)

est encore une fonction rationnelle et il est clair, d'après la forme du second membre, que celte fonction rationnelle reprend la même valeur en tous les points d'un même groupe. Soit 'b{z^ u) une autre fonction rationnelle et

W{Z, u) = '\>{Z, u)^^{Zi, Ui)-\-...-h'i>{Zr-i, Ur-l)

la fonction correspondante. Si l'on pose

le point de coordonnées (Z, U ) décrit une courbe auxiliaire C|, qui est une transformée simplement rationnelle de C. Si à un point (Z, U) correspond un point (z^u)^ il est clair qu'au même point (Z, U) correspondent tous les points de G qui appartiennent au même groupe que (z, u). Je dis qu'on peut choisir les fonctions cp et ^ de telle façon qu'à un point (Z,U) ne correspondent que les points d'un même groupe sur G. En effet, prenons pour (s{z^u) une fonction rationnelle admettant v pôles simples (a,, 3,), ..., (av, pv) appartenant à des groupes différents ^,, g2, . . . , ^v et pour à{z, u) une fonction admettante pôles simples

46o CHAPITRE X.

(a<, j3<), (a^, jB'^), . . . , (a'p, ^p) appartenant à des groupes différents .^^, ^;, ..., g'^^ les groupes g., . . . , ^v, g'.,, ••-,/? étant tous différents. Les fonctions ^{z^ u) et ^(^, m) deviendront simultanément infinies pour les points du groupe ^i et pour ceux-là seulement. La courbe auxiliaire G< a donc un point à l'infini auquel ne correspondent, sur la courbe G, que les points du groupe g^. A un point de Ci voisin de ce point à l'infini ne peut correspondre qu'un groupe de points sur G, voisin de g^. S'il en était autrement, à une valeur très grande de Z devraient correspondre plusieurs points voisins de (ai, p< ), ce qui n'a pas lieu puisque ce point est un pôle simple de ^(s, u). Soit

l'équation de la courbe auxiliaire G,. A. un point (Z, U) de cette courbe correspondent r points de la première courbe, en chacun desquels l'intégrale w reprend la même valeur, à des multiples

près des périodes; donc -^^ est une fonction uniforme du point

analytique (Z, U). D'ailleurs, il est clair que cette dérivée est une fonction algébrique de Z; par conséquent, w est égale à une intégrale abélienne attachée à la courbe auxiliaire (Sa). A une valeur de cette intégrale w correspondent r points de la courbe primitive (3i) et un seul point de la courbe auxiliaire Gi ; nous sommes donc ramenés au problème primitif. A chaque solution de ce premier problème correspond une solution du problème généralisé.

Si la courbe (32) est du genre zéro, l'intégrale w peut être de seconde ou de troisième espèce; dans le premier cas, w est une fonction rationnelle de (Z, U) et, dans le second cas, w est égale au produit d'une constante par le logarithme d'une fonction rationnelle de (Z, U). Si l'on revient à la courbe primitive, on voit que w est égale à une fonction rationnelle de z et de u^ ou au logarithme d'une pareille fonction, multiplié par une constante.

Lorsque la courbe auxiliaire Gi est du genre un, l'intégrale w est de première espèce et a deux périodes, nécessairement distinctes (n^ 70). Après la transformation rationnelle qui conduit de la courbe Gi à la courbe donnée (3i), w se change en une intégrale de première espèce relative à cette courbe, dont toutes les

LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 46i

périodes se réduisent à deux. En résumé, si à une valeur de V intégrale ahélienne w ne correspondent qu'uîi nombre fini de points de la courbe F(^, «) = o, il peut se présenter trois cas : 1° w est une fonction rationnelle de z et de w^ 2° w est égale au produit d'une constante par le logarithme dune fonction rationnelle de z et de u; 3^ w est une intégrale de première espèce, dont toutes les périodes se réduisent à deux périodes distinctes.

On a vu plus haut (n° 158) les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une intégrale abélienne tvse réduise à une fonction rationnelle. Il est plus difficile d'obtenir des conditions suffisantes pour que l'intégrale appartienne à une des deux autres catégories (n"^ 161-166). Remarquons que chacune de ces trois espèces d'intégrales fournit bien une solution du problème proposé. Ainsi, dans les deux premiers cas, on a

'^(^, u) étant une fonction rationnelle de z et de u; les points analytiques (zj u) qui correspondent à une valeur de w sont fournis par la résolution des deux équations

F(z, u) = o, o{z, u) = w OU

Lorsque w est une intégrale de première espèce n'admettant que deux périodes w, w', le rapport — est nécessairement imaginaire (n° 166). Soit )v((v) une fonction uniforme doublement périodique, aux périodes co, co', n'ayant que des discontinuités polaires à distance finie ; si l'on remplace w par l'intégrale précédente, 'k(w) devient une fonction rationnelle cp(^, u) de z et de u. Les coordonnées des points (z^ u) qui correspondent à une valeur de iv s'obtiennent par la résolution des équations simultanées

211. Etant donnée une équation différentielle algébrique du premier ordre

, du

pour que cette équation admette une intégrale qui ne prenne qu'un nombre yZ/ii de valeurs pour chaque valeur de z, il faut et il suffît, d'après cela, que l'intégrale abélienne

^=f^^ où F(w,U)

appartienne à une des trois catégories précédentes; nous n'avons qu'à répéter le raisonnement du n° 206.

Par conséquent, si Vintégj^ale d^une équation de la forme

F( î/, -p ) = o, oii F est un polynôme entier en u et -j^^ n^ admet qu'un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de z^ cette intégrale est racine dune équation algébrique entière en u^ dont les coefficients sont, soit des fonctions rationnelles de z, soit des fonctions rationnelles de e"^, soit des fonctions uniformes doublement périodiques, aux mêmes périodes, n'ayant que des discontinuités polaires à distance finie (').

212. Quand on ne se trouve pas dans l'un des cas qui viennent d'être examinés, l'inversion d'une intégrale abélienne conduit à des fonctions qui admettent une infinité de valeurs pour chaque valeur de la variable. Par exemple, la fonction inverse de l'intégrale elliptique de seconde espèce ou, ce qui revient au même, une intégrale de l'équation différentielle

dz ) ~ u'*

admet une infinité de valeurs pour chaque valeur de z {^). Dans son célèbre Mémoire sur les fonctions quadruplement périodiques de deux variables (Journal de C relie, t. J3), Jacobi a posé

(') Briot et Bouquet, Journal de l'École Polytechnique, 36® Cahier. (^) On pourra consulter sur ce sujet deux Mémoires de M. Casorati {Acta mathematîca, t. VIII, p. 345-38G).

LE PROBLÈME DE l'iNYERSION. 463

d'une autre façon le problème de l'inversion pour les intégrales hyperellipliques de genre 2. L'énoncé a été ensuite étendu aux intégrales abéliennes relatives à une courbe quelconque de genre /?•, le problème ainsi généralisé est appelé le problème de Vinversion de Jacobi. On peut le formuler de la manière suivante : Soient (V,, w.2, • . ., ^Vp les p intégrales distinctes de première espèce attachées à une courbe de genre/?; nous supposerons qu'on a pris une même limite inférieure (^05 ''0) pour toutes ces intégrales. Les/? équations

I «?«'.2+ / dw2-\-...-{- j dWi = Vo,

(Zo.//oi dizn.iia^ d(z„,Un)

f dwp-{- j dwp-^. . .-^ j

(Zo,Uo) ^(-0>"o) d{Zo,Uo)

dwp= Vjj,

où les intégrales qui ont même limite supérieure sont supposées prises suivant le même chemin, déterminent les p points analytiques (^,, w,), {zo, 11-2), •••) i^'p, Up) en fonction des/? variables t'o ^'2? •••) ^>- C'est la détermination effective de ces p limites supérieures au moyen de r,, Co, .. ., Vp qui constitue le problème de Jacobi. La solution a d'abord été obtenue pour les intégrales ultra-elliptiques de genre 2 par Gopel ('), et par Rosenhain dans son Mémoire couronné (-). M. Weierstrass (^) a ensuite étendu la solution aux intégrales hyperellipliques de genre quelconque. Enfin Riemann et M. Weierstrass ont obtenu simultanément la solution du problème dans toute sa généralité au moyen des fonctions 0 de /? variables. L'étendue de cet Ouvrage ne nous permet pas de l'exposer ici; nous nous bornerons à montrer comment, à un système de valeurs de v^^ t^o, ..., Vp, il ne correspond, en

(•) Gopel, Theoriœ transcendentium Abelianarum primi ordinis adiimbratio levis {Journal de Ci'elle, t. 35, 1847).

(^) Rosenhain, Mémoire sur les fonctions de deux variables et à quatre périodes qui sont les inverses des intégrales ultra-elliptiques de la première classe {Mémoires des savants étrangers, t. XI, p. 36i-46S).

(^) Weierstrass^ Zur théorie der Abel'schen Functionen {Journal de Crelle, t. 47, p. 289-806; t. 52, p. 285-38o).

général, qu'un seul système de points analytiques (^,, î/,), ...,

(-/>, Up)'

Remarquons que les équations (33) peuvent être remplacées par un système d'équations aux différentielles totales du premier ordre :

icpi (^1, Ui)dz^-^. . .+ cpi {zp, Up)dzp= dvi, cp2(si, ?<i)<isi-f-...+ cp2(^p, Up)dzp= dv^, <P/,(2i, Ui)dz^-\-...^(!^p{zp, Up)dzp^ dvp, OÙ l'on a posé

<:^i{z,u)dz, i=i,i,

Si l'on applique à ce système d'équations différentielles les théorèmes généraux, on reconnaît qu'à l'exception de certains systèmes de valeurs de Pi, ^2? • • •> ^p-, pour lesquels il y a indétermination, à des valeurs de Pi, ^2? •••) ^p ne correspond qu'un seul système de points analytiques (^). Ce résultat peut aussi se déduire du théorème d'Abel.

Supposons, en effet, qu'à un système de valeurs pour t'< , (^05 •••, Vp^ il corresponde deux systèmes de points analytiques (^i, u^)^ . . .j (zp^ Up) el {z\, u\) , .. ., (z'^^ w^). Les équations (33) nous donnent

2 ^^(^à, Uh) = ^ «^i(4, u',,), i= I, 2,

Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe une fonction rationnelle (p (^, u) admettant pour pôles du premier ordre les/? points (^,, ?/<), . . ., (^^, Up) et pour zéros les/? points {z\y u\), . . ., (^^, u'p) (n° 179). Cette fonction, ne devenant infinie du premier ordre qu'en p points seulement, est une fonction spéciale, et l'on peut faire passer par ces p pôles une courbe adjointe d'ordre m — 3 (n° 170). Cette courbe adjointe rencontre en outre la courbe proposée en p — 2 points simples (a,, j3i), . . .,

(*) Foi> Briot, Théorie des fonctions abéliennes (Chap. IX). Le raisonnement est soumis aux mêmes objections que pour /> = i.

LE PROBLÈME DE l'iNVERSFON. 4^5

(a^2, (3^-2) et l'on voit que (^,, r^. •.., t> doivent être de la forme

(35) Pi=^ 2K1— V tvi(ay,, P/0, ..., Vp= iKp— 2^ ii'pjvi, ^h),

2K/ désignant la somme constante des valeurs de l'intégrale w^ aux 2p — 2 points d'intersection variables de la courbe proposée avec une courbe adjointe de degré 77i — 3. Par conséquent, si les valeurs de r,, To, . . . , (-'^ ne sont pas de la forme (35), il ne peut j avoir plus d'un système de points analytiques vérifiant les équations (33). Mais si ('<, ç^y • - • ■, ^p sont de la forme (35), il j a une infinité de systèmes de p points analytiques répondant à la question. En effet, si l'on fait passer par les p — 2 points (y./i, ^/i) une courbe adjointe d'ordre m — 3, elle rencontre la courbe proposée en p autres points distincts des points multiples qui, d'après le théorème d'Abel, satisfont bien aux équations (33). En résumé, lorsqu'on fait décrire aux variables indépendantes ç'i, (^2? •••) ^p des contours fermés dans leurs plans respectifs, les p points analytiques (^, , u^), . . . , (Zp, Up) ne peuvent que s'échanger entre eux, sauf pour des systèmes de la forme (35) où il y a indétermination. Toute fonction rationnelle et symétrique des coordonnées de ces p points est une fonclion uniforme des p variables indépendantes v^^ i^o, ..., Vp^ devenant indéterminée pour les valeurs de la forme (35). C'est une fonction abélienne ; elle s'exprime au moyen des fonctions 0 àe p variables, où les arguments sont précisément (-'4, v^i • • • , ^p- Si l'on fait décrire à un des points (^/, ut) un cycle sur la surface de Riemann, ^j, t^o? • - -i ^p augmentent d'une période; on voit donc que les fonctions abéliennes sont des fonctions de p variables, admettant ip systèmes de périodes simultanées.

213. Le problème d'inversion de Jacobi a été étendu par différents géomètres au cas où l'on ajoute, aux p intégrales de première espèce, un certain nombre d'intégrales abéliennes pré sentant des points de discontinuité sur la surface de Riemann (* ).

(•) On trouve déjà des exemples dans le Mémoire de Rosenhain (Savants étrangers, t. XI). Voir aussi Clebsch {Journal de Crelle, t. 64); Clebsch et A. ET G. 3o

Supposons, pour fixer les idées, que l'on prenne, avec [es p intégrales de première espèce (v, , w., . . . , Wp^ q intégrales de seconde espèce avec un seul pôle du premier ordre, Ç(^, i^^ a,, p<),. . ., Ç(s, w; a^, !^^), et r intégrales de troisième espèce m^i'.%..., TîîT^'^'°'', quelques-uns des points (a/i, ^a) pouvant aussi être des points critiques pour quelques-unes des intégrales de troisième espèce. La méthode que nous allons suivre s'applique d'ailleurs au cas général. Considérons les n ^= p -\- q -\- r équations

(36) Wi{ZuUx)^Wi{z^^,m})^...^Wi{Zn,Un) = Vi, {1 = 1, '1. ...,/?).

(37) J;(-Si, Mi;a/i, P/0+..-+ Ki^n, Un] '^/n i^/j ^ ^h, {h=i,2....,q).,

(38) r^X^z,,u,)+...-^r^^fi{zn,u^.) = ^l. {k = i, 9^. . . . , r),

OÙ l'on suppose que l'on prend la même limite inférieure (^o, lio) pour toutes les intégrales, et où les intégrales qui ont la même limite supérieure sont prises suivant le même chemin. Si l'on regarde dans ces équations ^i, th, txa comme des variables indépendantes, elles définissent, en fonction de ces n variables, les // points analytiques (5^, u^), ..., (^,., Un)- Nous allons montrer qu'à un système de valeurs arbitrairement choisi pour les variables Vi^ th, '^k, il ne correspond en général qu'un seul système de points analytiques (s,, u^), . . ., {zn, Un).

Prenons sur la surface de Riemann n + p points (^,, r,,), . . . , {\n+pi fin+p)^ absolument quelconques. La fonction rationnelle la plus générale du point analytique {z, u), qui devient infinie du premier ordre en ces n -{-p points seulement, dépend de /? -h i constantes arbitraires, si ces points n'ont pas été choisis d'une façon particulière, comme nous le supposons (n° 169). Soit

l'expression générale de cette fonction^ ^i{z,u) est un polynôme parfaitement déterminé, tandis que <I>(^, u) est une fonction linéaire et homogène de /i + i coefficients arbitraires Ao,

GouDAN {Abelschen Fitnctionen) ; Elliot {Annales de l'École Normale, 2" série, t. XI); Appell {Journal de Mathématiques, ^ série, t. I); Goursat {Comptes rendus, t. XV, p. 787-790; 1892).