LE PROBLEME DE L INVERSION
A,, . . ., A,;. Cette fonction F(::, u) admet n -\~ p zéros variables avec Ao, A, , . . . , A„; nous allons chercher à déterminer les coefficients ki en fonction des quantités r/, th^ ~a, de façon que n de ces zéros soient précisément les n points analytiques (^zi^ ui) définis par les équations (36), (37) et (38). Le problème étant supposé résolu, désignons par {z\^ u\), . . . , {z^^ u^) les p zéros restants de F (5, u). D'après le théorème d'Abel, on a
Wi{Zi, Ml) -i-. ..— Wi{Zn,Un) -^ Wi{z\,ll\)—. . .~Wi(Zp,u]j) n-hp
les équations (36) peuvent donc être remplacées par les suivantes
(39) ^'^i{^'i,ih)—'--—iVi(^'p,ii'p) = Mi—Vi (f = i, 2, . .../?).
et nous venons de voir qu'à un système de valeurs de ç^, (^o, .... i>p il ne correspond, en général, qu'un seul système de points analytiques {z\^ u\ ), . . . , (^^, 11^). Les p équations
sont aussi équivalentes aux p équations
<4o) (-'iy*(-',,w'i)H-...— (4)'*(4.w;,) r^ G (i = o, 1,2, ...,^— I).
qui sont encore linéaires par rapport aux coefficients A^, A, , . . . , A„, mais qui, de plus, sont des fonctions symétriques des/? points {z\, u^), . . ., [z'p^ ii'p). On a donc ainsi p équations linéaires et homogènes en Aq, A,, ..., A,,, dont les coefficients sont des fonctions abéliennes de ^1, Co? • • •? ^>-
Appliquons maintenant le théorème d'xVbel aux intégrales 'C et TH. On a (n° 183, I80)
Les équations (87) et (38) sont donc équivalentes aux équations
Les q -i- r équations (4i) et (42) sont encore linéaires et homogènes par rapport aux coefficients inconnus Aq, A,, . . ., A„. Les seules quantités qui figurent dans ces équations et qui ne soient pas connues directement sont les suivantes
QT:y(z\,u\)-i-...-hzy(z'p,ii'p-
ces quantités sont des fonctions uniformes de t^i, (^27 • • • , ^p- En effet, les/» points {z\, u\), . . . , {z^, u'p) sont définis, en fonction de ç'i, ^^27 • • • ? <^>, parles équations (Sg), et nous savons déjà qu'à un système de valeurs de t^i , (^o, • • • , ^/> ne correspond qu'un seul système de points analytiques {z\, u\), . . ., {z'^, u'p). Par conséquent, lorsque les variables indépendantes <^\^ ç^^ • • • , ^/7 décrivent, dans leurs plans respectifs, des chemins fermés quelconques, les p points {z' ^ u') décrivent des chemins fermés ou se permutent entre eux. On peut évidemment supposer que chacun de ces points décrit un chemin fermé, puis que quelques-uns d'entre eux se permutent, sans que les nouveaux chemins décrits franchissent aucune des coupures a, 6, c. Or, après que ces p points auront décrit de pareils chemins, la somme (^^ aura diminué de la quantité
m< , . . . , m^p étant des nombres entiers, et w^^, , . . . , to^^sp les 2/> périodes de l'intégrale wi] la somme
LE PROBLÈME DE l'iNVERSION. 4^9
aura augmenté de la période
A'i, .... A-o^ étant les 2/? périodes correspondantes de Ç( s, w;aA, ^a), et la somme
aura augmenté de même de
mi Hi -^ . . . -h m.2/j Ho/j -^ 'i m'rJ,
Hi, .... Ho;, étant les ip périodes cycliques de t^Îz^u) et m' étant un autre nombre entier. Pour que p,, .... Vp reviennent à leurs valeurs initiales, il faut que tous les nombres entiers 7?i,, ..., in.^p soient nuls, car on ne peut avoir les/? relations
nii co/4 -T- . . . -f- m^p oii^op = o, ( f = I ,...,/? ),
pour des valeurs entières des coefficients m, sauf pour mi = . . .=^ m.2p = o {n° 74). Par conséquent, lorsque les variables Vi, . . . ^ Çp reviennent à leurs valeurs initiales, il en est de même de la somme
et de
En résumé, les n -h i inconnues Aq, A,, . . . , A„ sont déterminées par n équations linéaires et homogènes dont tous les coefficients sont des fonctions uniformes de (-'< , . . . , Çp^ ^, , . . . , ^^, 7:4, .... -,.. Les équations (36), (3-) et (38) définissent donc un seul système de points analytiques, sauf les cas d'indétermination qui peuvent se présenter.
COURBES NORMALES. MODULES (i).
Théorème de M. Schwarz. — Transformations birationnelles d'une courbe de genre un en elle-même. — Courbe normale de Clebsch. — Courbe normale de Nôther. — Modules d'une classe de courbes algébriques. — Généralités sur les transformations simplement rationnelles.
214. Nous allons d'abord compléter, sur un point essentiel, la théorie des transformations birationnelles des courbes algébriques. On a déjà remarqué (n°' 131, 134) que les courbes de genre zéro et Uîi se changent en elles-mêmes par une infinité de transformations birationnelles; ce sont les seules courbes qui jouissent de cette propriété. Nous commencerons par démontrer le théorème suivant, dû à M. Schwarz : // ne peut exister de transformation birationnelle, renfermant un paramètre arbitraire, qui change en elle-même une courbe de genre supérieur à un (-).
Soient, en effet,
l'équation d'une courbe algébrique C de genre/? >> i , et
des formules définissant une transformation birationnelle dépendant d'un paramètre arbitraire t. Admettons, pour un moment.
(^) Auteurs à consulter : Riemann, Abel'schen Functionen; Brill et Nother, Mathematische Amialeii, t. VII; — Clebsch et Gordan, Théorie de?^ Abel'schen Functionen j — Klein, Théorie der elliptischen Modul functionen, t. I; — E. Picard, Traité d'Analyse, t. II, p. 436-458.
(') Schwarz, Journal de Crelle, t. LXXXVII. La démonstration que nous donnons ici est due à M. Picard.
que le point [z', u') décrit la courbe C, lorsque le point (^, u) décrit la même courbe, quelle que soit la valeur attribuée au paramètre t. Considérons p intégrales distinctes de première espèce attachées à la courbe G
/Q,(z, M)â?s rQ2(z,u)dz rQp(z, u)dz
puisque, par une transformation birationnelle, toute intégrale de première espèce se change en une nouvelle intégrale de première
espèce, l'intégrale / ^' " — ^- doit en particulier se changer en
une nouvelle intégrale de la forme
^ .^^ rq,(z',u')dz' ^ rx,Q,(z,u)-^...^\„Qp{z,u) ^^^
J J ui J J it
A<, . . ., A^ étant des constantes indépendantes de (;, u). Nous allons montrer que ces coefficients ne dépendent pas non plus du paramètre t. En effet, donnons à ce paramètre une valeur fixe ^o> d'ailleurs arbitraire, et faisons décrire au point (^, u) un cycle sur la surface de Riemann ; le point (y, ii!) décrira aussi un cycle. Lorsque le paramètre t prend ensuite une valeur voisine ^o -1- h^ le cycle décrit par (^', ?^') ne diffère qu'infiniment peu du premier et la période reste la même. Soient co,, W2, . . . , to^ les périodes des p intégrales de première espèce correspondant au cycle décrit par le point (^, ii) et co' la période de l'intégrale
Q,(c\ u)dz f'w
correspondant au cycle décrit par le point (5', u') ; on a entre les coefficients A, , Ao, . . . , A^r, la relation
CO, = Aj Wj — A2 'Oo-r- . . . ~ A-pOJp.
Faisons maintenant décrire au point (z, u) les p cycles dont chacun franchit une seule coupure a./, on établit ainsi, entre les coefficients A,,A2. . . . , A^, p relations linéaires, dont le déterminant n'est pas nul, où ne figure pas le paramètre /. Ces coefficients sont donc des constantes indépendantes de t. En prenant
une nouvelle intégrale de première espèce, on aura de même
rQ.Xz', u)dz' ^ rniQiiz. u)^...^Bf,Q,,(z, u) ^^^
les coefficients B,, . . . , B^ ne dépendant pas de t. Des équations (3) et (4) on tire
- Qi(^\ u') A^giiz, u) ^ . . . ^ XpQ,,{z, u)
^ ^ q^iz'^u') ^'' Biqi{z,u) -}-...-+- Bj,qp{z,uy
relation entre les coordonnées des deux points (^, u) et (^z' , u') qui ne dépend pas de t. Or, une telle relation est impossible ; car, à un point (^, w), l'équation (5), jointe à l'équation /(^', u') = o de la courbe donnée, ne fait correspondre qu'un nombre y?Aii de points (z', u'). Le point (^', u') défini par les formules (2) ne varierait donc pas d'une manière continue avec le paramètre ^, contrairement à riijpothèse.
215. Le même raisonnement permet de démontrer qu'une courbe de genre supérieur à l'unité ne peut se reproduire par une infinité discontinue de transformations birationnelles, c'est-à-dire ne dépendant pas de paramètres arbitraires. En effet, il résulte du paragraphe précédent que toutes les transformations birationnelles qui reproduisent la courbe G, de genre supérieur à un, sont données par une relation de la forme (5), où l'on attribue aux constantes A et B des valeurs convenables. Or, si l'on part d'une relation de cette forme donnée a priori et si l'on cherche les conditions pour qu'elle définisse une transformation birationnelle de la courbe en elle-même, on établit évidemment un certain nombre de reldilious algébriques entre les constantes A et B. Ces relations peuvent être incompatibles ou admettre un nomhTe fini de solutions, mais il ne peut pas arriver que quelques-unes de ces constantes restent arbitraires, car la courbe donnée admettrait des transformations birationnelles dépendant d'un paramètre arbitraire, contrairement à ce qui vient d'être démontré. En résumé, une courbe de genre supérieur à un ne peut se changer en elle-même que par un nombre fini de transformations birationnelles.
216. Il est aisé de former l'équation de courbes algébriques qui admettent un nombre fini^ mais aussi grand qu'on le veut, de
COURBES NORMALES. MODULES. ^jS
transformations biralionnelles en elles-mêmes. Supposons que la courbe G, représentée par l'équation (i), se reproduise par la transformation birationnelle
f Ui= R(z, u),
si l'on applique deux fois de suite cette transformation, on obtient une nouvelle transformation qui reproduit aussi Ja courbe C,
, . I --2 - P[P(^, U), n{z, II)] = P.(^, U),
d'une manière générale, si l'on pose
Zi = P(^/i, «/i) = P/i(^, u),
Ui= R(^/i, iii-i) = R/i(z, u),
on a une suite de transformations birationnelles
I Ui= R/-i(^, u),
qui reproduisent toutes la courbe C. Si la courbe proposée est de genre supérieur à w/?, on ne peut obtenir ainsi qu'un nombre fini de transformations distinctes et, par conséquent, au bout d'un nombre fini d'opérations, on doit retrouver la substitution identique z'=z, u'=u. Supposons que cela arrive après q opérations, de telle sorte que l'on ait identiquement
Fg-i{z,u)^- z, Rç^i(z,u) = u;
la transformation considérée est dite d'ordre q. On a
et, d'une manière générale,
Vq^i{z, u) = Vi{z, u), Rq+i{z, u) = R(z, u).
Soient cp(^, «), <l[z^ u) deux fonctions rationnelles de z et de u. Posons
i z r-, cp(5, w)-^?(-i,Wi)-i-...-f-cp(;;^i,ï^^i),
( u -=-^{z,u)-^CL'^{Zy, Mi)-^...-:-a'7-16(^y__,, My.i),
a désignant une racine primitive de Féquation a9= i.
Lorsque le point (^, u) décrit la courbe C, le point (Z, U) décrit une autre courbe Ci qui correspond point par point à la première, si les fonctions cp(^, u) et J;(^, u) ont été prises convenablement. Prenons, par exemple, pour cp et <} deux fonctions rationnelles ayant un seul pôle commun du premier ordre (a, 6), et telles que tous les aulres pôles, ainsi que les points qu'on en déduit par l'application répétée de la transformation (6), soient distincts. Alors la courbe C< a un point à l'infini, avec une direction asymptotique non parallèle aux axes, auquel ne correspond qu'un seul point de la courbe C, le point (a, b). Remarquons maintenant que, lorsqu'on change ^ et w en V{zj u) et R(^, u)
respectivement, Z ne change pas, tandis que U se change en — ;
la nouvelle courbe Ci admet donc la transformation birationnelle 7J r= Z, aU^ = U, et, par suite, elle est représentée par une équation de la forme F(Z, U^) = o, entière par rapport à Z et à Uï(').
217. Proposons-nous, pour finir ce sujet, de déterminer toutes les transformations birationnelles qui font revenir sur ellemême une courbe du premier genre. Soit w{z^ u) l'intégrale de première espèce attachée à cette courbe. Entre les coordonnées (^, u) et {z\ u') de deux points correspondants, on doit avoir une relation de la forme (n° 214)
(lo) w{z' , u') — kw{z, u) -^'Q,
A et B étant des constantes indépendantes de [z^ u). Réciproquement, pour qu'une relation de la forme (lo) définisse une correspondance birationnelle entre les coordonnées (^, u) et (^', u'\ des deux points, il faut et il suffît, d'après les explications du n^ 203, que w [z' , u') augmente d'une période lorsque w{z^ u) augmente d'une période, et inversement. Soient (o et to' les deux périodes distinctes de l'intégrale; on doit avoir
( Aw — /7l 0) -r- /2 CO ,
(*) Pour plus de détails sur ces courbes, nous renverrons à un Mémoire de M. Hurwitz {Gottinger Nachrichten, 1887; Mathematische Annalen, t. 32).
m, m', n^ n' étant des nombres entiers; de plus les deux périodes Ato, Aco' doivent former un parallélogramme équivalent au parallélogramme élémentaire (to, to'), ce qui exige que l'on ait
(i'2) mn'—m'n— — \.
Des équations (i i) on tire
(i3) m'co--T-(n' — m)cow' — nto'-—o,
équation qui se réduit à une identité si Ton a
et, en tenant compte de la relation (12, m = /i' = iî= i . On a donc toujours deux séries de transformations, définies par les formules
w{^z\ u') r^4- w{z, U) -ht,
( iv(z\u')= — w{z, u) -h t,
t désignant un paramètre arbitraire.
Si Téquation (i3) ne se réduit pas à une identité, on en lire
co m — n zh \/| ni — li f h- 4 fn n w' -ini
ou, en tenant compte de la relation (12),
10 ni — n' ± \^' (^ m -+- n' )- ip 4 eu' A ni
Gomme le rapport — doit être imaginaire, on doit prendre le
signe 4- dans la formule (12) et, en outre, le nombre entier m — n' doit être égal à zéro ou à dz i . On voit donc que, si le module de la courbe de genre un est quelconque, elle n'admet pas d'autres transformations hirationnelles que celles qui sont définies par les formules (i4)- Pour qu'il en existe d'autres, il faut que le rapport des périodes soit racine d'une équation à coefficients entiers de la forme (i3), où Ton a mn — m' n ==r i, (m — n')'^ <C 4-
Le coefficient A s'obtient en éliminant le rapport — entre les
équations (i i); on trouve ainsi l'équation
( A — /?i ) ( A — n') — m' n r= o ou
et comme m + /?/ ne peut prendre que les valeurs o, -f-i, — i , on voit que A doit être racine de Tune des équations
A2-f-Ir^O, A3--T — O, A3+IZZ.0.
En résumé, on obtient toutes les transformations birationnelles qui changent en elle-même une courbe de genre un en combinant la transformation
w{z\ II') =-- w{z, u)-^ t,
qui dépend d'un paramètre t, avec quelques-unes des transformalions
w {z', u') — Pi.w{z, II),
A désignant une racine primitive de l'une des équations
218. Voici une application, qui nous sera utile, du théorème de M. Schwarz. Cherchons, d'une manière générale, les courbes C,,^ de degré m et de genre />, telles que toutes les adjointes d'ordre m — 3 qui passent par A points quelconques {cf.^, pi), . . . , (a^, [3;^) de G,„ aient en commun avec la courbe donnée k points fixes (•/<, 8i), • • '5 (y/fî ^a) dépendant des premiers; on suppose, bien entendu, h<^p — i. Plaçons-nous d'abord dans l'hjpothèse où les coordonnées des points (y, o) dépendent des coordonnées de tous les points (a, |3). Soient M^, M2, ..., M^.i,/?— i points quelconques de C„i par lesquels passe une courbe adjointe C„,3. Formons avec ces p— i points tous les groupes possibles de h points (a, P); à chacun de ces groupes correspond un groupe de k points et tous ces points sont distincts puisque les points M/ sont arbitraires et que chaque groupe de k points (y, 0) dépend de tous les points du premier groupe de h points. La courbe Cw--3 aura donc en commun avec la courbe C,,/, en dehors des points multiples, /j — i h- A-C^, points simples, G^^ désignant le
nombre de combinaisons de p — i lettres h à h. Il faut donc que l'on ait
ceci n'a lieu que si l'on a. h = k := i ou h = p — 2, A' = i. Dans le premier cas, toutes les courbes adjointes passant par un point fixe vont passer par un second point fixe dépendant du premier et la courbe est hjperelliptique. Examinons la seconde solution h = p — 2, k --— i; si /? == 3, elle se confond avec la première. Si p'>'6, elle est inadmissible. En effet, il faudrait que toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par /? — 2 points quelconques de Cm aillent passer par un autre point fixe. Les coordonnées [z' ^ u') de ce nouveau point seraient évidemment des fonctions rationnelles des coordonnées de ces p — 2 points, dépendant à la fois de tous ces points. Soient
, r. j z'= R (^1, Mi; ^2, «2, ... ; Zp-^, Up-^),
\ u' = Ri(>si, Ui ; ^2, "2, • • . ; -5^-2, Up-i)
les expressions de ces coordonnées. Inversement, toutes les courbes adjointes passant par les p — 2 points (^', u')^ . . . , (zp 2, Up 2) doivent passer par un autre point fixe qui est forcément le point (r, , Ui ) et l'on a aussi
( ^1 -^ R i^', «'; -2, U2' . • ., ^p-2, Up-i), { «1 = Ri (-',«'; -2, W2; . . .: ^p-2, «/;-2)-
En considérant Go, . . . , Zp 2 comme des paramètres variables, on voit que la courbe Cm admettrait une transformation birationnelle, dépendant de paramètres, ce qui est impossible puisqu'on suppose /> >> 3.
Si les coordonnées de quelques-uns des A* points (y, 0) ne dépendaient que des coordonnées de h' points (a, p) ih' <i A), il faudrait en conclure que toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 qui passent par h' points quelconques vont passer par un certain nombre d'autres points fixes dépendant de ceux-là, et l'on serait ramené au cas précédent. La conclusion est donc la suivante : les seules courbes qui répondent à la question sont les courbes lijperelliptiques.
219. Courbes normales. — Parmi toutes les courbes algébriques appartenant à la même classe, on peut en prendre une, présentant quelque caractère particulier, pour servir de type ou fie courbe normale à la classe considérée. On a cherché surtout jusqu'ici à obtenir pour courbes normales des courbes dont le degré soit aussi peu élevé que possible, mais il est évident que ce n'est pas là une règle absolue; il pourrait y avoir avantage, dans certains cas, à définir la courbe normale par d'autres propriétés. Nous nous sommes déjà occupés de cette question, à diverses reprises, pour les courbes de genre o, 1,2, et, plus généralement, pour les courbes hjperelliptiques (n*^^ 132, 135, 175). Dans ce qui suit, nous supposerons qu'on a affaire à une classe de courbes non hjperelliptiques et, par conséquent, que le genre est au moins égal à trois.
Soit C,« une courbe non hyperelliptique de genre p\ prenons sur cette courbe /? — 3 points arbitraires Mi, Mo, - . . , M^„3, et soient Qi = o, Qo = o;, Q3 = o les équations de trois courbes adjointes linéairement indépendantes d'ordre m — 3 passant par ces/? — 3 points. Les points M/ étant pris arbitrairement, on peut toujours supposer que ces trois courbes n'ont aucun point commun sur G;7i, en dehors des points M/. Gela posé, lorsque le point (^, ?/) décrit la courbe G,«, le point de coordonnées
décrit une certaine courbe G', qui correspond point par point à la courbe G^. En effet, soit (a, b) un point quelconque de Cm et (A, B)le point correspondant de G'; à ce point (A, B) correspond sur Cm le seul point {a, b). Pour qu'il en fût autrement, il faudrait que, quel que fût le point (a, b) de Cm, on pût trouver un autre point (a', b') tel que l'on eût
ri8^ ' Qjl^l^) = Qii^.b) (h(<jn ^ Q^Aa,b)
^ ^ qs{a',b') Qs{a,by Q,{a',b') Q-s{a,by
Toutes les courbes adjointes d'ordre m — 3 passant par les/? — 3 points M/ et le point (a, b) iraient passer par un autre point (a', b'); ce qui est impossible, puisque les p — 2 points peuvent être pris arbitrairement. Les formules (17) définissent donc une
transformation birationnelle entre les points des deux courbes C,„ et G'. Il est facile d'avoir le degré de la courbe G'. La fonction
où a, 1^, Y sont des constantes quelconques, admet p -\- i pôles du premier ordre, les p -{- i points de rencontre de la courbe Q3 = o avec la courbe G^^, autres que les points M,, Mo, ..., yip-s ; la courbe G est donc de degré /> + i. Ainsi, étant donnée une classe de courbes non hypereltiptiques de genre /?, on peut prendre pour courbe normale une courbe de degré p -h i -
Ce théorème a d'abord été énoncé par Glebsch et Gordan (Abels'che Functionen, p. 65), mais leur démonstration manquait de rigueur. G'est M. Picard qui l'a mise à l'abri de toute objection, grâce à la remarque du paragraphe précédent.
La courbe G/ possède en général un certain nombre de points doubles provenant des couples de points («, 6), {a' , b') satisfaisant aux relations (i8). On obtient immédiatement le nombre o de ces points doubles, en remarquant que la courbe G' est du genre p ; on trouve ainsi
Si/> > 3, la courbe normale a nécessairement des points multiples; une droite variable passant par un de ces points rencontre G' en /> — I points mobiles au plus ; le nombre r est donc au plus égal àp ~i (n° 174).
220. M. Nother emploie une autre courbe normale. Soient Q< (^1 '0? Q2(^') «), . • .,Q;,(3, u) Xesp polynômes adjoints linéairement indépendants de degré /?< — 3 -, posons
(19) Xi = Qi(^, iO, X2 r^Q.2(^, ii), ..., X^, = Qp(^, m),
et regardons IL^, X^, . . . , X^ comme les coordonnées homogènes d'un point dans l'espace à/? — i dimensions. Lorsque le point analytique {z^ u) décrit la courbe G, le point de coordonnées (X,, Xo, .... Xp) décrit dans l'espace k p — i dimensions une courbe gauche Y qui correspond point par point à la courbe G, si celle-ci
48o CHAPITRE XI.
n'est pas liyperelliptique. Si, en effet, on avait deux points (a, b) et (a', b') de G correspondant à un même point de F, on en conclurait les relations
(l,{a\b') ^ Q^(a\b') ^ ^ Qf,(a\ h') Qi{a,b) Q2{a,b) •-• Qpia,b)'
et toutes les adjointes d'ordre m — 3 passant par (a, b) passeraient aussi par (a', b'); ce qui ne peut avoir lieu si la courbe C n'est pas hyperelliptique. Le degré deT est égal, on le voit immédiatement, à 2/? — 2.
Lorsque p = 3, ]a courbe F coïncide avec la courbe normale de Glebsch. Il n'en est plus de même si p > 3, mais on peut passer de l'une à l'autre. Par exemple, si p =^ ^, la courbe F est une courbe gauche du sixième ordre de l'espace à trois dimensions; en projetant cette courbe sur un plan, le point de vue étant un point de F, on obtient une courbe plane G' qui correspond point par point à F et dont le degré est égal à 6 — i ==^ 5. On retrouve la courbe normale de Glebsch. A l'aide de considérations empruntées à la Géométrie à n dimensions, que nous laissons au lecteur le soin de développer, on peut étendre ce procédé au cas général. Ainsi, en projetant la courbe gauche F de l'espace à p — I dimensions dans un espace plan k p — 2 dimensions, le point de vue étant un point de F, on obtient une nouvelle courbe gauche T^ de degré ip — 3, dans l'espace kp — 2 dimensions, qui correspond point par point à la courbe F. En opérant de même sur la courbe Fi, et ainsi de suite, on finit par arriver à une courbe plane G' de degré 2/? — 2 — (/? — 3) -::^p --f- i , qui correspond point par point à la courbe F et, par suite, à la courbe G.
Remarque. — Le raisonnement qui précède est soumis à une objection. Plaçons-nous, pour fixer les idées, dans le cas d'une courbe gauche F de l'espace à trois dimensions. Soit G' la perspective de cette courbe sur un plan, le point de vue étant un point S de F; les deux courbes F et G' se correspondent point par point, à moins que toutes les sécantes passant par S et un autre point quelconque A de F ne rencontrent cette courbe en un troisième point. Pour que ceci ait lieu, quel que soit le point S choisi pour point de vue, il faudrait que toutes les sécantes dou-
COURBES NORMALES. MODULES. 48l
bles de F fussent des sécantes triples. Cette hypothèse est inadmissible si la courbe F n'est pas une courbe plane. En effet, prenons sur F deux points quelconques A et B; la sécante AB rencontre F en un troisième point C. Prenons ensuite sur F un point A' voisin du point A; la sécante A'G doit rencontrer F en un point B' voisin de B. Lorsque le point A' se rapproche indéfiniment du point Aj les sécantes AA', BB' ont pour limites les tangentes aux points A et B à la courbe F et, comme les droites AA', BB' sont toujours dans un même plan CAA', on en conclut que les tangentes en deux points quelconques de F sont toujours dans un même plan, propriété qui n'appartient qu'aux courbes planes. On lève de même l'objection dans le cas général.
La courbe normale de Glebsch n'est pas du plus petit degré possible. MM. Brill et Nôther ont montré, en effet, qu'on peut en général faire correspondre, à une courbe de genre /? , une courbe de degré p — t: -h 2, r: désignant la partie entière du quotient ^; mais leur démonstration prête à des objections, et ce point appelle de nouvelles recherches.
221. Modules. — Etant données deux courbes hjperelliptiques du même genre />, on a vu plus haut que ip — i conditions devaient être remplies pour que ces courbes appartiennent à la même classe; ces conditions s'expriment par l'égalité de ip — I fonctions des coefficients des deux équations. De même, toutes les courbes de genre/? dépendent d'un nombre fini de paramètres, si Ton ne considère pas comme distinctes les courbes qui appartiennent à la même classe, puisqu'on peut supposer (n^ 219) que ces courbes sont de degré /? -{- i . Biemann s'est proposé de chercher le nombre de ces paramètres, dont dépend essentiellement une classe de courbes de genre /?; il faut entendre par là qu'à des valeurs de ces paramètres, prises arbitrairement, correspond une classe de courbes ou un nombre limité de classes. Ce sont ces paramètres qu'on appelle les modules; il est clair qu'ils se conservent dans toute transformation birationnelle. Riemann a démontré de deux manières différentes que le nombre des modules d'une classe de courbes est égal à 3/? — 3 (/> > i) ; on trouvera l'exposé de ces méthodes dans le Traité d'Analyse A. ET G. 3i
de M. Picard (t. II, p. 482). On peut s'en rendre compte au moyen de la courbe normale de Glebsch, de degré p -\-i. Toute courbe
de degré p-\- i dépend de — — paramètres; si elle est de
genre p, elle doit avoir ^-^^^ points doubles, ce qui établit
entre les coefficients de l'équation ce même nombre d'équations. Il reste donc
coefficients arbitraires. D'un autre côté, la transformation biralionnelle, par laquelle on passe d'une courbe quelconque de genre p à une courbe de degré /> -f- i, dépend de (/> — 3) points indéterminés; on peut imaginer que l'on ait choisi ces p — 3 points de façon à attribuer des valeurs données à l'avance k p — 3 des coefficients de la courbe normale. Enfin, si Ton fait subir à la courbe normale la transformation homographique générale, qui dépend de huit arbitraires, on peut encore attribuer à huit des coefficients des valeurs données à l'avance. Il restera donc en tout un nombre de paramètres égal à
Remarque. — Si l'on désigne par p le nombre de paramètres arbitraires dont dépend la transformation birationnelle la plus générale qui fait revenir sur elle-même une courbe de genre/?, le nombre des modules est toujours représenté par 3/? — 3 -j- p. Si /? = o, p = 3, on trouve zéro pour le nombre des modules, comme on devait s'y attendre. Si /? = 1 , p = i ; il y a un seul module (n« 178). Enfin, si /? > i , on a toujours p = o (n° 214).
222. Du nombre des modules , il est facile de déduire une hmite inférieure pour le degré de la courbe normale du genre p. Soit C^ une courbe de degré q et de genre p ; le nombre 0 des points doubles doit être égal à
On doit donc avoir d'abord
(20) {q—i){q—l)lip.
Cette inégalité étant supposée satisfaite, on démontre, comme au paragraphe précédent, que la courbe C,^ dépend, en tenant compte de la transformation homographique générale, de
g(y + 3) (gr-i)(^-2) ^ g
paramètres arbitraires; ce qui nous donne une nouvelle inégalité (.,) g(?^3)-(?-.)(?-.)^^3,3^3
pour que la courbe C^ puisse servir de courbe normale de genre/?. De cette dernière inégalité, on tire
ylE
Soit TT le quotient de la division par 3 du nombre /?, de façon qu'on ait p = Stt, ou St: -f- i , ou St: + 2. L'inégalité (22) peut s'écrire
et la limite inférieure de q est, dans les trois cas, /> — t -f- 2. C'est le degré de la courbe normale de Brill et Nôther. Cela ne veut point dire qu'il n'y ait pas de courbe de genre p dont le degré soit inférieur à cette limite. Par exemple, la courbe du cinquième ordre, sans point multiple, est du genre 6; il faut conclure seulement de ce qui précède qu'une courbe quelconque du sixième genre ne peut pas correspondre point par point à une courbe du cinquième degré.
223. A la recherche des modules se rattache la solution de la question suivante : Etant données deux courbes de même genre/?, non hjperelliptiques, C et Ci, d'ordres m et n, représentées par les équations
reconnaître si elles appartiennent à la même classe.
Soient Qi (^, u), Q2 {z, u)^ . . . , Q/,(^, u) les /> polynômes adjoints d'ordre m — 3 correspondant à la courbe G, et R< (i;', w'), ..., Rp(^', i/) les p polynômes adjoints d'ordre Ji — 3 de la courbe €< . Si l'on peut établir une correspondance point par point entre les points des deux courbes, toute intégrale de première espèce se change en une intégrale de première espèce, et l'on doit avoir entre les coordonnées de deux points correspondants des deux courbes p relations de la forme
F r ClZ — —7 — ; yz tt^
Ai, Bi, . . .yhi désignant les constantes.
On en déduit /> — i relations ne contenant plus dz et dz
^.N Qi(^>^) ^ QK^,^)
^^ Al Ki(z', w') +. . .4- Li Rp{z', u') A-Ri{z', u')-i-. . .-H U ^p{^', W)
Soient r et T^ les deux courbes normales de l'espace àp — i dimensions qui correspondent aux deux courbes données G et Ci 5 les coordonnées homogènes d'un point de F sont
Xi = Q i(z, u), ..., Xp = Qp(z,u),
et les coordonnées homogènes d'un point de F,
X\ =Ri{z',u'), ..., Xjj = Rp(z',u').
Les formules (24) montrent que, si les deux courbes G et G| sont de même classe, les deux courbes normales F et F^ peuvent se déduire l'une de l'autre par une transformation homographique. Gette condition est d'ailleurs suffisante; en effet, si elle est remplie, les courbes F et F< et, par suite, G et G, se correspondent point par point. Donc, pour que les courbes du même genre G et Gi appartiennent à la même classe, il faut et il suffit que les courbes normalesT et T ^ puissent se déduire U une de Vautre par une transformation homographique.
Par exemple, une courbe G4 du quatrième degré, sans point double, coïncide avec là courbe normale F ; on en conclut que les seules transformations birationnelles qui reproduisent une courbe
du quatrième ordre et du troisième genre sont des transformations homographiques.
224. Il semblerait, d'après les raisonnements employés jusqu'ici, que les courbes de genre p se partagent en deux grandes classes : les courbes générales et les courbes hjperelliptiques ; mais une telle vue serait inexacte, et les courbes hyperelliptiques doivent plutôt être considérées comme un cas limite. Prenons en effet une courbe G de genre /? > 3, non hyperelliptique, et soit
XiQi(^, a) -\- liQiiz, u) -i- XsQsC-, w) -r AiQiC^, u) = o
l'équation générale des courbes adjointes d'ordre m — 3 , qui passent par p — 4 points fixes quelconques de cette courbe ;
posons
Q,iz,u) Qs(^,u) Q4(£^)
^ Qi(^,")' Qi(^,w)' Qi(^,")*
On démontre, comme au n*' 219, que, lorsque le point (z, u) décrit la courbe G, le point (X, Y, Z) décrit une courbe gauche F, de degré /> -]- 2, qui correspond point par point à la courbe G. Si l'on projette F sur un plan, le point de vue étant sur F, on obtient la courbe normale de Glebsch ; mais, si le point de vue est en deliors de F, la projection est une courbe de degré/? -{-2, qui,
devant être de genre />, possède ^-^^ points doubles. Ainsi, à
la courbe générale de genre/?, on peut faire correspondre, point par point, une courbe de degré p -{- 2 axec^—^ points doubles. La conclusion s'applique encore pour/? = 3; car, si l'on applique à la courbe générale du quatrième ordre une transformation quadratique avec trois points fondamentaux pris sur cette courbe, on obtient une courbe du cinquième ordre avec trois points doubles.
Imaginons maintenant que ces ^^ ^^ points doubles viennent
se confondre en un seul; on obtient à la limite une courbe de degré p -\- 2 avec un point multiple d'ordre p, c'est-à-dire une courbe hyperelliptique.
225. Nous terminerons ce Chapitre par quelques remarques sur les transformations simplement rationnelles. Soient G et G' deux courbes algébriques de degré ni et m' respectivement, la première de genre />, la seconde de genre />', représentées par les deux équations
nous supposons qu'en posant
où cp et (]; désignent deux fonctions rationnelles, le point [z, u) décrit la courbe G lorsque le point {z\ u') décrit la courbe G'. Nous savons déjà que l'on a p'^p', mais on peut avoir pour p' une limite plus précise. Soit [ji V ordre de la transformation (27), c'est-à-dire le nombre de points (5', u') de G' qui correspondent à un même point {z^ u) de la courbe G. Supposons /? > 1 et soient Qi(^], ?^), (^^y{z,u) deux polynômes adjoints d'ordre m— Z relatifs à la courbe G; on doit avoir, pour la transformation considérée,
rQi(-'") 7 r'^,{z\u')d^ rq,Sz,u)dz fR.^(z',ii')dz'
j-^^dz=J. ^^- , J f;, -J ^, '
R, {z', u')^K2{^', z/') étant deux polynômes adjoints d'ordre m'— 3 relatifs à la courbe G', et par suite
Le faisceau des courbes adjointes Q i{z, u) -\-'kQ 2{^^ i^) = ^ rencontre la courbe G en 2/? — 2 points variables avec À, si les deux courbes adjointes Q, = o, Qo = o n'ont aucun point commun avec la courbe G, en dehors des points doubles, ce qu'on peut toujours supposer. A ces 2/? — 2 points de G correspondent i;.(2/>— 2) points de G', variables avec )., situés sur la courbe
adjointe ,
Ri(^', u') -+- >vR2(^', u') — o;
on a donc
relation qui subsiste si /> = o, ou p = i .
La formule (28) nous fait connaître une limite inférieure de/?', connaissant les deux nombres u et p ; mais il est impossible de trouver une limite supérieure pour ce même nombre (').
Si les deux nombres p et p' sont égaux et supérieurs à un, on déduit de la relation (28) ;j.^ i et, comme ix est un nombre entier, on a nécessairement a = i .
Nous pouvons donc éno ncerle théorème suivant, dû àM. Weber : Si une transformation rationnelle conduit d'une courbe de genre supérieur à un à une autre courbe du même genre, la transformation est birationnelle (-).
(») E. GouRSAT, Sur les transformations des courbes algébriques {American Journal of Mathematics, vol. XVI; 1894).
(») Journal de Crelle, t. LXXYI.
Pour de plus amples détails sur les transformations simplement rationnelles des courbes algébriques, nous renverrons le lecteur au Mémoire de M. Painlevé Sur les équations différentielles du premier ordre {Annales de l'Ecole Normale supérieure; 189 1).
/f88 CHAPITRE XII.
APPLICATIONS DU THÉORÈME D'ABEL A LA GÉOMÉTRIE (i).
Etude des groupes de points obtenus en coupant une courbe algébrique donnée par d'autres courbes algébriques. — Applications aux cubiques et aux quartiques. — Tangentes doubles des quartiques; coniques quadruplement tangentes. — Application du théorème d'Abel aux aires, aux angles et aux arcs des courbes de direction. — Biquadratiques gauches.
226. Le théorème d'Abel, appliqué à la Géométrie, donne des résultats qui se présentent sous une forme intuitive des plus simples. En nous bornant presque exclusivement aux courbes du troisième et du quatrième ordre, nous indiquons sur des exemples précis les idées essentielles de la théorie. Nous commencerons par les courbes du troisième ordre.
Il existe deux espèces de courbes du troisième ordre : i*^ celles qui n'ont pas de point singulier; 2° celles qui ont un point double ou de rebroussement.
Si la courbe du troisième ordre F(x^y) =^ o n'a pas de point singulier, elle est du genre un. L'intégrale
»^(Xn, Vn) y
est alors de première espèce. A chaque point (^,y) de la courbe correspondent une infinité de valeurs de u qui se déduisent de Tune d'elles par l'addition ou la soustraction de deux périodes w et to^ A chaque valeur de u ne correspond qu'un point (^,jk) de
(') Ouvrages à consulter : Mémoires de Clebsch {Journal de Crelle, t. LXIII, LXIV); — Leçons de Géométrie de Clebsch, par Lindemann; — Mémoire de M. Humbert {Journal de Mathématiques, 4" série, t. III; 1887).
la courbe, comme il résulte du problème de Tinversion : les coordonnées ^ et ^ de ce point sont des fonctions elliptiques de u, aux périodes w et to'.
Une droite
<1^(^> J') = aa; -f- py + Y = o
coupe la courbe en trois points : soit u^, iio-, Us un système de valeurs de ii correspondant respectivement à ces trois points ; on a, en vertu du théorème d'Abel appliqué aux intégrales de première espèce,
(i) Ml -h w.2-f- W3 = P H- n 0) -4- n'oi',
P étant une constante indépendante de la droite considérée et n et n' des entiers positifs, négatifs ou nuls.
Cette relation nécessaire entre les paramètres de trois points en ligne droite est suffisante. En effet, prenons sur la courbe trois points Ml, M2, M3 dont les paramètres u vérifient la relation (i). La droite qui joint les deux points M2 et M3 coupe la courbe en un point M'^ de paramètre ii\ ; il faut montrer que M'^ coïncide avec Ml. Les points M^, M2, M3 étant en ligne droite, on a
u[ H- ^2 -I- W3 = P -h m o) + m' co' ;
en comparant avec (i), on voit que Ui et u\ ne diffèrent que par des multiples des périodes w et w^ : les deux points Mi et M^ sont donc confondus. On prouve, par un raisonnement identique, que la condition nécessaire et suffisante pour que six points de la cubique soient sur une conique est que les valeurs de w, relatives à ces six points, vérifient une relation de la forme
(2) M, 4- M2-T- . . . + "6= 2P H- nco -h /l'co',
OÙ la constante est 2P, comme on le voit en supposant la conique décomposée en deux droites.
Gomme application de ces relations, cherchons d'abord les points d'inflexion. Si u est le paramètre d'un point d'inflexion, la tangente d'inflexion coupe en trois points confondus avec celui-là ; il faudra donc faire dans (i), à des multiples près des périodes,
Ml — U2= 113= u;
d'où
P nw-f-n'w'
Dans cette formule, on peut donner à n et n' toutes les valeurs entières ; mais deux valeurs de u qui diffèrent par des multiples de iù et co' donnent le même point d'inflexion. Il suffît donc de donner à n et n' les valeurs o, i et 2, associées de toutes les manières possibles. On trouve ainsi neuf ipoïnls d'inflexion dont les paramètres sont donnés par le Tableau suivant, où Ufi^n' désigne la valeur de u correspondant à un choix déterminé des entiers n et n' :
î^o.o — "^r ' Uq i — — 5 Wo,2
5 'ci
H- w -h Si w'
^1,0 — ô ' ■ ^^1,1 — ô ' ^^li2 —
Pn-aw P + 2to + to'
Ces points sont trois à trois en ligne droite ; la droite qui joint deux quelconques d'entre eux passe par un troisième; on a, par exemple,
ce qui prouve que les points correspondants sont en ligne droite. Gomme autre application, on pourra chercher les points où la conique osculatrice a un contact du cinquième ordre ^ c'est-à-dire coupe en six points confondus ; les valeurs de u correspondantes sont données par
OÙ n et n' peuvent prendre toutes les valeurs de o à 5, ce qui donne 6^= 36 points. On trouve parmi ces points les neuf points d'inflexion qu'on obtiendrait en considérant les tangentes d'inflexion comme des droites doubles, puis
points de contact de véritables coniques surosculatrices. Ces points sont six par six sur des coniques.
APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 49I
Si l'on coupe la cubique par une courbe Q= o d'ordre s supérieur ou égal à 3, il y a 3s points d'intersection sur lesquels 3 5 — i peuvent être choisis arbitrairemeht, le dernier étant alors bien déterminé. En effet, l'équation Cs=^o contient d'une façon linéaire
et homogène -^ -^ — — — - coefficients arbitraires 5 on ne change
évidemment pas le système des points d'intersection avec la cubique F(x, y) = o en remplaçant la courbe Cs= o par
C;^G,-F(^,jK)G,3 = o,
C,3 étant un polynôme de degré s — 3. Comme ce dernier poly-
nome contient — coeilicients arbitraires, on peut
disposer de ces coefficients de façon à faire disparaître autant de termes dans C^ : il ne restera alors dans Q que
coefficients arbitraires entrant d'une façon linéaire et homogène. On pourra disposer de ces coefficients de manière que la courbe C',=r o passe par 3 5 — i points pris arbitrairement sur F = o; le dernier point d'intersection sera ensuite entièrement déterminé. Il existe donc une relation et une seule entre les valeurs w,, ;/o, . . . , z^3^ du paramètre u correspondant aux 35 points d'intersection. Cette relation est fournie sous forme nécessaire et suffisante par le théorème d'Abel : elle est
où la constante est 5P, comme on le voit en supposant la courbe sécante décomposée en s droites.
227. Supposons maintenant que la cubique ait un point singulier : prenons ce point pour origine d'un système d'axes xOy. L'équation de la courbe peut s'écrire
— j désignant un polynôme du troisième degré en —
constante positive, négative ou nulle. En posant y = tx, on a immédiatement
La courbe étant de genre zéro, il n'y a pas d'intégrale de première espèce correspondant à la relation
F(rr, jK) = o.
Supposons a différent de zéro, ce qui exclut le cas du rebroiissement, et considérons l'intégrale abélienne
dx r'^^' dx
(a:o,ro) y
(■^0, yè
-^^f'iS)
iy
D'après le n° 144, c'est là une intégrale de troisième espèce admettant comme points singuliers logarithmiques les deux points de la courbe superposés au point double. C'est ce qu'on vérifie immédiatement en faisant, dans l'intégrale th, y = tx^ puis remplaçant X par sa valeur (3); on trouve ainsi
, . r ladt , t
a tQ-\- a.
cette intégrale a un seul module de périodicité lui.
Il faut actuellement distinguer deux cas, suivant que l'on coupe la ligne par une courbe ne passant pas par le point double ou passant par ce point. Nous supposerons d'abord que la courbe sécante ne passe pas par le point singulier. Une droite quelconque
^{x,y)^ux^vy-\-w = o
rencontre la courbe en trois points [x^^y,^)^ {^21 y^)^ (-^ajJKs) correspondant aux valeurs ^<, ^2, ^3 de t. On a vu (n° 185) que, si 7îj(^, y) est une intégrale de troisième espèce aux points singuliers (a, b) et (a', b')^ la quantité
Ha, h)
^(^1, 7i) + ^(^2, 72) + ^(^3, yz) — lo
APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GEOMETRIE. 403
est indépendante de la droite considérée, c'est-à-dire de u^ p, w. Comme actuellement les deux points (a, b) et {a\ b') sont placés au point double a = o, b = o et a'=z o, b' = o, le logarithme est nul et l'on a
r^i^i, yi) -^ rn{x2, y^) -h vj{xs, y:i) = G,
G étant une constante indépendante de u^ v, w et déterminée à des multiples de ^izi près. D'après la valeur (4) de nj(^, y), cette relation s'écrit enfin
(5) log- -^-log- - + log-- =K-f-2/i7:i,
tj — a lo — oc [3 — a
où K désigne une nouvelle constante indépendante de ii, p, (v el /i un entier positif, négatif ou nul. Cette relation, facile à établir par une voie algébrique, donne la condition nécessaire et suffisante pour que les trois points /,, /o, ^3 soient en ligne droite.
On verra de même, en prenant pour 6 (^,j') le premier membre de l'équaùon d'une conique, que les six valeurs de t correspondant aux points d'intersection de la courbe et d'une conique sont liées par la relation
(6) log- -+-log- -h...-f-log- =iK-^inTUy
où la première constante du second membre est évidemment le double de K, car la relation (6) doit être vérifiée encore dans le cas où la conique est décomposée en deux droites.
Pour avoir les points d'inflexion il suffit de supposer, dans (5), que ^,, t., et ^3 aient une valeur commune ^; on a ainsi
, ^ , t -r- CL K -\- ITlT.i
(7) ^og = ,
ce qui donne trois points d'inflexion en ligne droite, correspondant aux valeurs o. i et 2 de /i, comme on le voit en résolvant (7)
par rapport a y-
On écrira sous la même forme la condition nécessaire et suffisante pour que 3 s points de la cubique soient sur une courbe C^ =^ o
d'ordre s ne passant pas par le point singulier : cette relation est
(8) \^ log-^ =sK-{- 271111.
Nous avons supposé a différent de o : si a était nul, l'origine serait un point de rebroussement, l'intégrale appelée TTj(x,y) deviendrait une intégrale de seconde espèce infinie en ce point et les relations (5) et (6) devraient être remplacées par les suivantes, comme on pourra le vérifier,
