II I

Les théorèmes suivants doivent être modifiés en conséquence.

Examinons maintenant le cas où la courbe sécante passerait par le point double. La relation précédente (8) devient illusoire, car, deux des points d'intersection étant confondus avec le point double, une des Zs valeurs de t est a et l'autre — a : de sorte qu'il y a dans la relation deux termes infinis de signes contraires. Dans ce cas il n^ existe plus aucune relation entre les 35 — 2 autres points où la courbe Q coupe la cubique. Ainsi on peut toujours faire passer une conique par quatre points pris arbitrairement sur la cubique et par le point double.

En général, on peut toujours faire passer une courbe d'ordre s par Zs — 2 points pris sur la courbe et par le point double, car cela ne fait que 3 5 — i équations de condition et, d'après le raisonnement de la page 491 5 ^^ dispose de 3^ , paramètres entrant d'une façoQ linéaire et homogène.

Le même fait a lieu si le point double devient un point de rebroussement.

228. Courbes du quatrième ordre sans points doubles (genre trois). — Soit

(9) F(^,JK) = 0

l'équation d'une courbe du quatrième ordre sans points singuliers.

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'ABEL A LA GEOMETRIE. 495

Il résiille des formules générales que cette courbe est du genre 3. L'intégrale la plus générale de première espèce est

avec trois constantes arbitraires a, p, v. Nous appellerons u{x^y)j i^{x,y)j w(Xjy) ou simplement u, ç, w les intégrales normales de première espèce relatives à la courbe (g), et nous écrirons comme il suit le Tableau des périodes normales de ces intégrales :

àx

iT.i

ir.i

iT.i

Si l'on coupe d'abord la courbe par une droite quelconque, on obtient quatre points d'intersection M,, Mo, M3, M4, de coordonnées {Xi,y^), (^2,:r2), (^^3,73), («2:^4, 74)- Nous appellerons Ui^U2^ U3, liji les valeurs u(xi,yi), u(x2^ y2)^ • • . de l'intégrale u{x, y) en ces quatre points; de même (^,, To, ('3, i'4 et iVi^ Wo, ^^3, ÇV4 les valeurs des deux autres intégrales de première espèce aux mêmes points. D'après le théorème d'Abel, on a, entre ces valeurs, les trois relations

/ Z^l -r- Mo -f- M3 + M4 = P H- il-i -h l\ -7- inB" -r- /zB', (10) < Çi -^ V2 -h i^3 -^ i\ = Q -+- 2.u.T.i-^ IB" -\- mX' -^ nB, { wi -+- ^2+ «^3 -+- (P4 = R -I- 'iv-i H- /B' -+- niB H- nB",

où P, Q, R sont des constantes indépendantes de la sécante considérée, )., [jl, v, /, m, n désignant des nombres entiers positifs, négatifs ou nuls. Pour abréger, on peut dire que les seconds membres de ces relations (10) sont égaux respectivement à P, Q, R,

à des multiples des périodes près, et les écrire

Ml-f- Ui + W3 -h M4 = P,

«^1+ w^-+- w^-\- Wi^^ R,

en employant la même notation qu'à la page 896.

Sur les quatre points Mi, M2, M3, M/, on peut en prendre deux arbitrairement; la droite qui les joint coupe alors la quartique en deux autres points bien déterminés. Les équations (10) doivent donc déterminer sans ambiguïté deux des quatre points quand les deux autres sont donnés. L'une d'elles est donc une conséquence des deux autres. Ce fait que les trois équations (10) fournies par le théorème d'Abel se réduisent actuellement à deux est spécial aux systèmes de points dHnter section par des droites ; cela lient à ce que les droites sont des courbes dont l'ordre est inférieur de trois unités à celui de la courbe.

Si nous coupons la courbe par une conique G2= o, nous obtenons huit points d'intersection Mi, Mo, ..., Mg*, les valeurs des intégrales u^ ^, w en ces huit points sont liées par les relations

[ Ui-^u^^. ..-^u^ = 2 P -I- 2 Xtï j + / A -h m B" -f- /i B',

(11) < t^i-l- P2 -+-. • .+ ^8 = 2Q -t- 2(Ji7ït+ /B"-f-mA' -i-;zB,

( Mfi-T- «^2-f-. . .H- M^8 = 2R -f- 2V7rî -t- /B' + mB H- nhl\

où les premières constantes 2 P, 2Q, 2R sont les doubles des constantes qui figurent dans les relations (10).

Sur ces huit points d'intersection, Mi , M2, . . . , Mg on peut en prendre cinq, M4, M5, . . . , Mg arbitrairement; la conique passant par ces cinq 'points coupe la quartique en trois points M,, M2, M3 bien déterminés. Les coordonnées de ces trois points sont données parles trois relations (11); pour les calculer effectivement;, on aurait donc à résoudre le problème de l'inversion qui donne, comme on le sait, un seul système de valeurs pour les coordonnées des trois points M,, M2, M3. On peut donc dire que les relations (i i)sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que les huit points de la quartique soient sur une conique.

Pour faire une application de ces conditions, cherchons les coniques qui sont tangentes à la quartique en quatre points M,,

-mA'-

^/iB

mB -^

nA''

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 497

Mo, M3, M4. Pour cela, il faut et il suffit que les points M5, Me, M7, Mg coïncident respectivement avec les quatre premiers. Les relations (i i) deviennent alors

2 î<, -^ 2 u-i -^111^-^111-^= 2 P -+- ilr.i^ IX — m B" + n B', . . . ,

ou, en divisant par 2,

Itl-T- «2 -r- «3 H- «i —P-^ (12) { (,j ^ (,2 H- ç,^ |. p^ = Q ;

D'après ces équations, on voit qu'on peut prendre arbitrairement l'un des quatre points de contact, M4 par exemple; les trois autres M,, Mo, M3 sont ensuite déterminés par les équations (12). Une fois les nombres entiers )., a, v, /, //z, n choisis, les équations (12) donnent pour les coordonnées de M,, M2, M3 un seul système de valeurs qui varient d'une manière continue quand le point M4 se déplace sur la courbe. Donc, à chaque système de valeurs des entiers À, ui, v, /, m, n correspond un système de coniques tangentes en quatre points à la courbe. Si l'on ajoute aux nombres A, a, v, /, /??, n des nombres entiers pairs quelconques, le système des coniques reste le même, car cela revient à ajouter aux seconds membres des équations (12) des périodes simultanées ^ l'inversion donne alors les mêmes valeurs pour (^,, j'i), (^27jK2)j (•^37 JK3) en fonction de (^4,^-4).

Il suffit donc, pour obtenir tous les systèmes de coniques tangentes en quatre points, de donner à chacun des six entiers qui figurent dans les relations (12) les valeurs o et i. En associant ces valeurs o et i de toutes les manières possibles, on obtient 2«= 64 systèmes de valeurs pour A, [jl, v, /, m, n. Il existe donc Çt^ systèmes distincts de coniques tangentes en quatre points à la quartique. Mais un de ces systèmes, celui que l'on obtient en prenant A ^ a = V = / = /?? = /z =: o, est composé des droites du plan regardées comme des droites doubles; en effet, pour cette détermination des six entiers les équations (12) expriment que les quatre points M,, M2, M3, M4 sont en ligne droite. Il n'y a donc que 63 systèmes de coniques véritables tangentes en quatre points.

Nous obtiendrons des résultais analogues en coupant la quartique donnée par une cubique Cg^ o. Il y a alors 12 points d'intersection, sur lesquels 9 peuvent être choisis arbitrairement : les trois autres sont déterminés sans ambiguïté. Les conditions nécessaires et suffisantes pour que 12 points de labiquadratique soient sur une cubique sont donc

Uy + îi2 -t- • • • -+- ^^12 = 3P -I- 2X71^-1- ZA -^ mW -\- nW, Pj f- ^2 -f-. . .-+- P12 = 3Q-i- 2[jLîrf + /B"+ 7?iA'-H/iB,

^j l (Va-H. . .-h «^12= 3R -4- 2v TTi + ZB'-h mB -f- ai A".

On pourrait, par exemple, employer ces relations à déterminer les systèmes de cubiques ayant un contact du deuxième ordre en quatre points : on en trouverait 3'^ dont un formé par les droites du plan comptées comme triples.

En général, si l'on coupe la quartique par une courbe Q =r o d'ordre 5 > 3, il y a 4-^ points d'intersection sur lesquels 45 — 3 peuvent être pris arbitrairement, les trois autres étant alors complètement déterminés. En effet, l'équation C^ = o contient ^^'^^ V. coefficients d'une façon linéaire et homogène;

l'équation de la quartique étant ¥{x,y) = o, le système des points d'intersection de la quartique avec C^ — o est le même qu'avec la courbe G'^ = o ayant pour équation

G,— G,4F(^,jk) =0,

où Q/, est un polynôme en x et y, de degré s — 4? contenant

< -^ — ) ( -^ — ?- ) coefficients arbitraires. On pourra déterminer ces

derniers coefficients de façon à annuler, dans C^, un nombre égal de coefficients. La courbe C^ ne contiendra plus dans son équation que

coefficients d'une façon homogène. On pourra donc faire en sorte que 45— 3 des points d'intersection de G^ , c'est-à-dire de G^, avec la quartique, aient des positions données à l'avance. Une fois ces

45 — 3 points choisis, le théorème d'Abel fournit les trois relations

ui -i- U2 -T-.. .-+■ ii.,s = sP,

wi -+- tr, -h ... -h W!,s = s R,

ayant lieu à des multiples de périodes près, et permettant de calculer les coordonnées des trois derniers points d'intersection. Les constantes des seconds membres sont nécessairement ^P, 5Q, sR; car ces relations doivent être vérifiées en particulier quand la courbe Cs se décompose en s droites.

229. Supposons maintenant que la courbe du quatrième ordre acquière un point double x = a^ y=^ à tangentes distinctes. La courbe F{x^y) = o esl alors de genre deux ; il n'existe plus que deux intégrales distinctes de première espèce. L'intégrale la plus générale de première espèce est

!x(x — a) 4- [3(jK — b)

dx.

où a et P sont des constantes arbitraires, car le numérateur égalé à zéro doit représenter une droite passant par le point double. Nous appellerons u{x^y) et v^x^y)^ ou simplement u et v les deux intégrales normales de première espèce^ les périodes de ces intégrales relatives aux coupures «4, «o et ^,, Z^o sont données par le Tableau

iT,i

iT.i

La troisième intégrale qui figure dans les relations précédemment établies, pour la quartique sans singularités, est actuellement remplacée par une intégrale de troisième espèce admettant pour points singuliers logarithmiques les deux points

analytiques distincts superposés au point double. L'intégrale de troisième espèce la plus générale remplissant ces conditions est

^^^ïrfx.

où a, p, Y sont des constantes ; cette intégrale est la limite vers laquelle tend l'intégrale la plus générale de première espèce considérée dans le n° 228, lorsque la courbe F = o acquiert un point double; elle est composée linéairement avec les deux intégrales de première espèce u et ç et une intégrale normale de troisième espèce tj5{x^ y) ayant pour points singuliers logarithmiques les deux points analytiques superposés au point double x=^ a^ y = b. Cette intégrale normale -ns^x^y) admet une période polaire iizi et deux périodes D et E relatives aux coupures b^ et 62; les périodes relatives aux coupures a^ et a-^ sont nulles.

Gela posé, il faut distinguer deux cas pour l'étude des systèmes de points d'intersection de la courbe F = o avec une autre courbe, suivant que la courbe sécdiXite passe ou non par le point double^ c'est-à-dire suivant qu'elle est adjointe ou non.

1° Courbes non adjointes. — Soit d'abord une droite ne passant pas par le point double; elle coupe en quatre points : M,, M2, M3, M4; nous distinguerons, comme précédemment, par les indices i, 2, 3, \\es valeurs des intégrales u, (', tjs en ces points. Ces valeurs sont liées par les trois relations

/ Ui H- u=i -H W3 -h z/4 = P H- 2X TïJ H- ^A -f- m B, {11 bis) i Pi H- c^2 + ^3 + <^4 = Q H- 2 ;ji Tt t H- / B -H m G,

( tîTi + ^2 + Tn3 -h tï?4 = R H- 2 V TT t H- / D H- W E,

P, Q, R désignant des constantes indépendantes de la sécante considérée^ )^, u., v, /, m des entiers quelconques. Le fait que P et Q sont indépendants de la sécante est évident, d'après le théorème d'Abel appliqué <aux intégrales de première espèce. Pour montrer que R est également indépendant de la droite sécante, il faut se reporter à ce qui a été dit du théorème d'Abel pour une intégrale de troisième espèce devenant infinie en deux points superposés en un point double (n^ 185).

Les relations (12 bis) sont donc établies. L'une de ces relations

ll^-^Uo-^..

. H- Z/g = 2 P -h 2 )v 77 î H- / A -4- mB ,

TxSi -T- 73T2 +• •

, .4-7178 = 2 R -h 2V -t -1- /D H- /7lE,

APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5oi

doitêtreuneconséquencedesdeuxautres, car, deuxdes quatre points M|, M2, M3, M4 pouvant être choisis arbitrairement, il ne peut exister entre eux que deux relations distinctes. Mais on peut préciser et affirmer que les deux premières relations (12 bis) donnent les conditions nécessaires et suffisantes pour que les quatre points soient en ligne droite : en effet, M3 et M4 étant choisis, ces deux relations donnent, pour M, et Mo, un seul système de valeurs. La troisième relation (12 bis) est donc une conséquence des deux premières. Ce fait exceptionnel d'une équation surabondante ne se présente plus quand on coupe par des courbes d'ordre supérieur à un. Par exemple, coupons par une conique G2 ne passant pas par le point double : nous aurons huit points d'intersection, dont cinq arbitraires. Les valeurs des intégrales u, r, tj5 en ces huit points sont liées par les relations

les premières constantes des seconds membres étant 2P, 2Q, 2R, comme on le voit en supposant que la conique Go se décompose en deux droites. Ces équations (i3) donnent les conditions nécessaires et suffisantes pour que huit points de la quartique soient sur une conique. Pour calculer, à l'aide de ces relations, les coordonnées de trois des points quand les cinq autres sont donnés, on doit résoudre le problème d'inversion généralisé (n° 213).

Comme application, cherchons encore les systèmes de coniques tangentes en quatre points M,, Mo, M3, M4 à la quartique ; nous aurons, en supposant que les quatre autres points M5, Mo, M7, Mg coïncident respectivement avec les quatre premiers

^ '2>. TTt -T- /A -i- mB Ui 4- 11-2 -+- «3 -h u-^ = P -\-

Wi -f- W--> -r- TÎT3 -f- TJT^ = R H-

Pour obtenir tous les systèmes de coniques tangentes en quatre points, il suffît de donner aux cinq entiers X, a, v, / et j?i les va-

-hlB

leurs o et i associées de toutes les manières possibles; c'est ce qu'on verrait comme plus haut (p. 497), car les valeurs de Mi, M2, M3 déduites des relations (i4) en fonction de M/,, ne changent pas quand on augmente ou diminue un quelconque des cinq entiers d'un nombre pair; il y a donc 2^ = 82 systèmes de coniques distincts ; mais l'un d'eux, celui qu'on obtiendrait en prenant

X = (Jl = V = l =: 7?l = o,

se composant des droites du plan regardées comme doubles, il y a 3i systèmes de coniques proprement dites tangentes en quatre points à la quartique.

Si l'on coupe la biquadratique par une courbe Q d'ordre 5, non adjointe, on voit de même que les coordonnées des 4-^ points d'intersection sont liées par les trois relations nécessaires et suffisantes

Ui-i- u^-h. . .^ Ui,s= sF -h ilr.i-h lA-h mB,

i^i + ^2 +. • •+ i-'i^s = sQ -h 2 [XTii-h /B 4- mC,

Wi-\- W^-h . . .-h Wi^s = SR -f- 2V Tlî H- /D -h /?2E.

2" Courbes adjointes. — Quand on coupe la quartique par une courbe passant par le point double, ce point compte pour un dans le nombre de points nécessaires pour déterminer la courbe sécante, mais il compte pour deux dans le nombre de points d'intersection de la courbe avec la quartique. D'autre part, l'intégrale 7n devient infinie aux deux points d'intersection confondus avec le point double et la somme des deux valeurs de l'intégrale ttt en ces deux points doit être regardée comme indéterminée. Les relations précédentes doivent alors être modifiées. Mais cette modification est des plus simples : elle consiste à effacer la dernière relation, celle qui contient l'intégrale cî et à ne conserver que les deux premières.

Coupons d'abord par une droite issue du point double; soient Mi et M2 les deux autres points où cette droite coupe la courbe, Ui , U2 et Çi , (^2 les valeurs des intégrales u et ç en ces points, u' et u'\ ç' el v" leurs valeurs aux deux points analytiques superposés au point double. Le théorème d'Abel pour les intégrales de première espèce s'applique toujours et donne

( Mi-+- M2= P'-i- ^X-Âif + /A -H mB,

[ v^ 4- p., = Q'-l- 2;jL7iJH- IB -\- mC,

Uy -+- 11-2 -f-. .

.+ Mg= p'|- p -^2X7:1+ ^A H- mB,

ri -f- P2 -+- . .

,-i- çq = Q'-i- Q-h iiir.i -h IB -^ niC.

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GEOMETRIE. 5o3

P' et Q' désignant les constantes P — «'— u" et Q — v' — v\ Ces relations (i5) doivent se réduire à une, car un des points ^M, et M2 peut être choisi arbitrairement. On a encore là un cas où le problème de l'inversion est indéterminé.

Si l'on coupe par une conique Co passant par le point double, cette conique coupe en six points distincts du point double entre lesquels ont lieu les relations

Sur ces six points, quatre peuvent être choisis arbitrairement; les deux autres sont déterminés par les équations (16), en vertu du problème d'inversion. On a donc obtenu les conditions nécessaires et suffisantes pour que six points de la courbe soient sur une conique passant par le point double. Ces conditions pourraient servir, par exemple, à déterminer les coniques passant par le point double et tangentes en trois points à la quartique. Enfin, pour que ^s — 2 points de la quartique soient sur une courbe Cs d'ordre s, passant par le point double, il faut et il suffit que l'on ait

30. Quartique avec deux points doubles Z etZ' à tangentes distinctes. — Dans ce cas le genre est un\ l'intégrale

OÙ a, |i, V sont des constantes, est de première espèce quand la droite aj^; -f- j3y -f- y ^ o passe par les deux points doubles. Mais si a, J^, v sont arbitraires, cette intégrale est une fonction linéaire de l'intégrale normale de première espèce z^, et de deux intégrales normales de troisième espèce ts et -us' devenant infinies, la première aux points superposés au point double 0, la deuxième aux points superposés en 8'.

L'intégrale u admet les périodes 2 t: « et A sur les coupures a et b\ l'intégrale to admet la période polaire 27:/, la période o sur a

5o4 CHAPITRE XII.

et B sur b] th' admet de même la période polaire 2-/, les périodes 0 et G sur a et b.

Il faudra, pour l'étude des systèmes de points d'intersection, distinguer trois cas, suivant que la courbe sécante ne passe par aucun point double, passe par un point double ou par les deux.

i"" Courbes ne passant par aucun point double. — On trouve comme plus haut les relations suivantes en distinguant par des indices les valeurs des intégrales u^ to, ra' aux points d'intersection.

Droites sécantes :

-f- TTT2

+ THs

-1- 2 [J. Tt i -1-