IC

où p, Q, R sont des constantes, >., u, v, /des entiers. Ces relations se réduisent à deux.

Coniques sécantes:

Ui + M2 H- . . . -h i«8 = 2 P -^ 2 X TT i -i- / A, 757i + TTT2 -+- . . . -h TTTg = 2 Q + 2 [JITÎ J + / B, Txj[ ^- w'^ -+- . . . -f- TTj'g = 2 R -h 2 V T t -h / G .

Cherchons,par exemple, les coniques tangentes en quatre points. Comme actuellement il n'y a plus que quatre entiers 1, a, v, /, on trouve 2"* — I = i5 systèmes de coniques véritables tangentes en cjuatre points.

^'^ Courbes passant par un des points doubles 0'. — H y a alors une relation de moins entre les points d'intersection et deux de ces points sont situés au point double S'. La relation qui contient l'intégrale w^ n'a plus de sens. Il reste alors les relations suivantes, dans lesquelles P' et Q' désignent de nouvelles constantes.

Droites passant par V :

11^ 4- wo = P' + 2X771+ /A, Toi -h 71T2 = Q'+ 2fji7rt + /B.

Ces relations se réduisent à une.

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 5o5

Coniques passant par o' :

iii-{- iio-^. . .-\- uc, = P' -f- P 4- -iX-t + /A,

TUi -+- CJo + • • • -i- ^6 = Q' H- Q -^ 2 {JL- t -+- /B,

et ainsi de suite.

3° Courbes passant paj' les deux points doubles S et o'. — H n'y a plus alors qu'une relation entre les points d'intersection : c'est celle qui est donnée par l'intégrale de première espèce.

Coniques passant par o et o' . — Elles coupent en quatre points variables dont trois arbitraires; ces quatre points sont liés par la relation

(17) Z^l4- Ui-^ U^^ z^- =z P H- 2A-i 4- Ik.

La constante est nécessairement P, car la relation doit être vérifiée en particulier si la conique se décompose en deux droites, l'une joignant les deux points doubles et l'autre quelconque; elle doit donc être vérifiée par quatre points en ligne droite. La relation (17) ainsi obtenue est nécessaire et suffisante pour que les quatre points soient sur une conique passant par 0 et o', car elle donne une seule position pour M, quand Mo, M3, M4 sont choisis arbitrairement.

De même, une cubique passant par les deux points doubles coupe la courbe en 8 points variables dont - peuvent être choisis arbitrairement, le huitième étant alors déterminé et unique. Ces huit points sont liés par la relation

zf 1 4- z«2 -i- • • • H- «8 = îi P -T- 2 X T t -h / A ,

où la constante est 2P, car la relation doit être vérifiée quand la cubique se décompose en trois droites dont une joignant les points 0 et ù' .

On vérifiera en général que, si une courbe Q d'ordre s passe parles deux points doubles, elle coupe la quartique en 4 5 — 4 points dont 4-5 — 5 peuvent être choisis arbitrairement; ce raisonnement est identique à celui de la page 491- Les valeurs de u aux ^s — 4 points sont liées par la relation nécessaire et suffisante

5o6 CHAPITRE XII.

231. Il nous reste à examiner le cas simple où la courbe a trois points doubles à tangentes distinctes ; elle est alors unicursale : les coordonnées d'un point de la courbe s'expriment en fonctions rationnelles d'un paramètre t^ de telle façon qu'à chaque point de la courbe corresponde une seule valeur de t et réciproquement. La courbe étant du genre zéro, il n'y a pas d'intégrale de première espèce correspondante.

Soient B<, 80, B3 les trois points doubles, a^^ b^ les deux valeurs de t qui donnent le point ûi, a^^ b^, et a^, 63 celles qui donnent les points 80 et Ô3. Si Q{oc^ y) = o désigne l'équation de la droite 8283, l'intégrale

est une intégrale de troisième espèce admettant pour points singuliers logarithmiques les deuxpoints superposés aupointdouble 8,. Si donc on l'exprime en fonction de i, en y remplaçant œ al y par leurs expressions en t^ on doit trouver

(.8) .(.,^) = ,„.f-^f..;rl..

Cette intégrale n'a plus qu'une période polaire 271 1.

i" Intersection avec des courbes ne passant par aucun point double :

Appelons ^,, ^2 7 ^3) ^4 les valeurs du paramètre correspondant aux quatre points d'intersection (^^,J'^), (^25^^2)7 (^a^JKs)? (^4, y^ de la courbe avec une droite; d'après le théorème d'Abel appliqué aux intégrales de troisième espèce, la somme

a une valeur constante indépendante des coefficients de la droite considérée ; la partie logarithmique disparaît, car les points singuliers logarithmiques de tîj(^, j/)sont superposés au point double. Remplaçant dans cette somme tïï(^<, J^/^ ), ... par leurs valeurs tirées de (18), on a une relation de la forme

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 607

K, étant une constante et n^ un entier quelconque. La considération des deux intégrales de troisième espèce devenant respectivement infinies aux points superposés en Oo et O3 donne de même les deux relations

lo<

lOî

loî

ti-b,

lo.^

.-^log . -T-lo£r

in^r.i,

Ces trois relations (ig) et (19') se réduisent nécessairement à deux, car deux des points d'intersection d'une droite avec la courbe peuvent être choisis arbitrairement; les deux autres sont alors déterminés sans ambiguïté. Donc, ^3 et ^J étant pris arbitrairement, les valeurs de ti et (2 tirées des deux équations (19') doivent vérifier (19), ce qui exige l'existence de relations entre les constantes K,, Ko, K3 et les quantités «<, b^, «o, ^25 <^'35 ^3- Certaines de ces relations s'obtiennent immédiatement; par exemple, la droite ûoSs, joignant deux des points doubles, rencontre la courbe aux points

ces valeurs doivent donc vérifier l'équation (19); en écrivant ce fait, on a l'expression de K, en fonction de «j, 64, a-i, ^2, «3, ^3.

Ces équations (19) et (19'), dans lesquelles t^, a une valeur arbitraire, fournissent donc un exemple du cas où le problème d'inversion généralisé est indéterminé, car ces trois équations ne déterminent pas tf, 1-2, t-i ; on peut encore y prendre arbitrairement une de ces quantités.

On verra de même que, si huit points de la courbe ?i , ^o? • • • > ^8 sont sur une conique, on a

lo<

ti—bi

ï^ -T- lo

lo<

tî —

-^log.

-ai

-^log

■ at

■ Aog-

= 2Kt-4- iniT.i, = 2K2-T- in^r^i, = 2K3-)- in^rA.

5o8 CHAPITRE XII.

Les trois conditions (20) sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que huit points de la courbe soient sur une conique; elles sont nécessaires, comme nous venons de le voir: elles sont suffisantes, car cinq des points ^4, ^5, Iq, ify, tg étant choisis arbitrairement, la conique de ces cinq points coupe la courbe en trois antres points bien déterminés, et ces trois points coïncident nécessairement avec les points t^^ t^^ t^ définis par les équations (20), qui donnent pour ^,, t^, t^ un seul système de valeurs.

Appliquons, par exemple, ces relations à la détermination des points d'inflexion.

Pour un point d'inflexion t on a, en coupant par la tangente d'inflexion, ^0 = ^3 = ^/i = f- Donc les équations (19') donnent

3l0g — -}-log — = K2+2Al2 7rï,

t — a^ ti— as

3 i^s j rb, + i^s l—Tb, == K3+ 2^37:..

Si l'on passe des logarithmes aux nombres, et si l'on élimine f, entre les deux équations linéaires en ti ainsi obtenues, on a une équation du sixième degré en t : il y a donc six points d'inflexion.

Appliquons de même les relations (20) à la détermination des systèmes de coniques tangentes en quatre points de paramètres ii, ^2, ^3, tf,. Pour obtenir les groupes de quatre points de contact, exprimons que Z^, Iq^ t-j et tg sont égaux respectivement à /< , fo^ ^3, tj^. Les relations (20) deviennent

loff ''"

^3 — ^z,- , h — CLk

K^H- injcizi,

où A-^ I, 2, 3. Ces formules montrent que t,^ peut être pris arbitrairement : ^1, ^25 ^3 sont alors déterminés. On obtiendra huit systèmes difl'érents de coniques quadruplement tangentes en donnant à /11, /Zo, n^ les valeurs o et i associées de toutes les manières possibles. Mais la combinaison

/ij == 722 = ^3 = o

APPLICATIONS DU THÉORÈME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. DOg

donne des groupes de quatre points en ligne droite; c'est une solution fournie parles droites du plan regardées comme doubles. Il ne reste donc que sept systèmes de coniques tangentes en quatre points.

On obtiendrait de même les trois relations nécessaires et suffisantes pour que douze points de la courbe soient sur une cubique ne passant pas par un point double, et l'on pourrait en déduire les cubiques ayant en trois points un contact du troisième ordre, ou en quatre points un contact du second ordre, etc.

2° Courbes passant par un ou plusieurs points doubles :

Si une courbe sécante passe par un point double, il y a entre les points d'intersection une relation de moins, celle qui contient l'intégrale de troisième espèce infinie au point double.

Si la courbe passe par deux points doubles, il disparaît les deux relations contenant les intégrales de troisième espèce devenant infinies en ces deux points : il ne reste donc alors qu'une relation.

Par exemple, une conique passant par deux points doubles coupe la courbe en quatre points variables, dont trois arbitraires.

Si la courbe sécante passe par les trois points doubles, il n'y a plus aucune relation entre les points d'intersection. Ainsi une conique passant par les trois points doubles coupe la courbe eu deux points variables que Ton peut prendre arbitrairement.

Remarque. — Si certains des points doubles devenaient des rebroussements, il suffirait de remplacer fintégrale de troisième espèce devenant infinie au point double par l'intégrale de seconde espèce admettant le point de rebroussement comme pôle du premier ordre.

232. 2'angentes doubles des quartiques. — Le problème des tangentes doubles des quartiques présente des difficultés particulières qui tiennent à ce que les droites sont des courbes de degré m — 3 (/?i = 4) et que les équations exprimant que quatre points sont en ligne droite sont surabondantes.

Si l'on coupe une quartique sans points singuliers par une tangente double, les quatre points d'intersection sont deux à deux confondus avec deux points M, et Mo. Les équations (lo), p. 49^)

qui expriment que quatre points sont en ligne droite, deviennent alors

P H- 'îlizi^ /A -1- ?nB" -h nB'

lll -+- 11-2 —

Wi -j- iV2

Q-h iixr.i-{- IB" -h m A' -+- nB

R H- 2V7:f -h IB' 4- ?nB -f- 7i X"

On a ainsi trois équations pour déterminer les deux points de contact M| et Mo. Les lettres /, m^ n, )^, |j., v désignent des entiers. Il est certain d'avance que l'on pourra donner à ces entiers des valeurs telles que les trois équations ci-dessus soient compatibles, car on sait qu'il existe des tangentes doubles, mais la difficulté est de savoir comment il faut choisir ces valeurs des entiers. Tout d'abord il suffit de donner à chacun des entiers une des valeurs o et i, car, en augmentant ou diminuant un des nombres /, m, n, )v, tx, V de deux unités, on ajoute ou retranche des périodes aux seconds membres des équations. 11 reste alors à savoir comment il faut associer les valeurs o et i données aux six entiers; Riemann a démontré (^), par des considérations tirées de l'évanouissement des fonctions 0, qu'il faut et qu'il suffit que les entiers /, m^ /z, X, |j., v vérifient la condition

(23) Il -]- m [j. -i- nv = un nombre impair.

Comme l'étude des fonctions 0 ne rentre pas dans le sujet que nous avons voulu traiter, nous admettrons le théorème de Riemann. Il correspondra une tangente double à chaque système de valeurs des nombres /, m, n, À, p., v vérifiant la condition (aS), ces nombres ayant chacun la valeur o ou i. Pour évaluer le nombre des tangentes doubles, supposons d'abord deux des nombres /, m, n nuls, le troisième étant i ; ce qui peut se faire de trois manières. Par exemple, supposons 1= m = o^ n = i . Alors ). et [J. peuvent prendre chacun les deux valeurs o et i , mais v doit être égal à i, ce qui donne 4 systèmes de valeurs pour )., tji,

(') Zwr Théorie der Abelsclien Functionen fiXr den Fall p = 3 {Œuvi-es complètes, p. 457 )•

APPLICATIONS DU THEOREME D ABEL A LA GÉOMÉTRIE. 5ll

v; on a, de cette façon, 12 systèmes de valeurs pour /, /??, /?, A, a, V en supposant deux nombres /, m, n nuls. Si un seul des nombres /, m, n est nul, / par exemple, X peut prendre la valeur o et I , puis [JL -H V doit être impair, ce qui exige a = o avec v ^= i , uL =: I avec V =^ o; on a donc encore 4 systèmes de valeurs de X, a, V, en supposant / nul, m et n égaux à i , ce qui donne, en prenant un seul des nombres l, m, n nul, 12 systèmes de valeurs des 6 entiers. Enfin, supposons l = m = n =^ i -^ alors X -1- ui -f- v doit être impair; donc, ou bien les trois nombres X, tx, v sont égaux à I ou un seul d'entre eux est égal à 1 : ce qui fait 4 systèmes de valeurs. On a ainsi en tout 28 tangentes doubles conformément aux formules de Pliicker. Désignant par (Imn, A[av) une tangente double correspondant à un choix déterminé des six entiers i, m, n, X, [Ji, V, on a le Tableau suivant des 28 tangentes doubles :

(100.100) (oTo,oio) (001,001) (OTI,OIO) (toOjIio) (010,110) (001,011) (011,001)

(101,011) (110, ou) (111,111)

Nous ne nous occuperons pas ici de la réalité de ces tangentes doubles, en nous bornant à remarquer qu'elles peuvent être toutes réelles, comme l'a montré Pliicker (voir Salmon, Courbes planes). Nous indiquerons quelques théorèmes relatifs au groupement de ces tangentes doubles, théorèmes que Hesse et Steiner ont démontrés par voie algébrique et que Glebsch a établis comme application du théorème d'Abel (Journal de C relie, t. 63) (').

Nous avons trouvé (n° 228) qu'il existe 63 systèmes de coniques tangentes en quatre points à la quartique. Dans chacun de ces systèmes figurent six couples de tangentes doubles; les points de contact de deux couples appartenant au même système sont situés sur une conicjue.

(*) Voyez aussi Leçons sur la Géométrie^ par Clebsch, traduites par Benoit, t. III, p. 345 et suivantes.

5l2 CHAPITRE XII.

En effet, les qualre points de contact Mi, Mo, M3, M4 d'une conique tangente en quatre points sont liés par les trois équations

2 P -h 2 Xît j + / A + m B" -h nB'

Ui -\- U2 H- Ui + W4 =

(24) { Çi -i- V2 -\- i^3 -h Vf,

WPi H- W2 + W3 H- Wi,

2 Q -t- 2 [JL-JT f + / B" + /?l A' -h /Z B

2 R -f- 2 V Tc i -t- IB' -h mB -^ n A"

it.

où /, 7?z, /z, X, [x, V prennent les valeurs o et i associées de toutes les manières possibles, ce qui donne 2^ = 64 systèmes de coniques. La combinaison l = m = fi ^=k^ ^kz^ y = o donnant les droites doubles du plan, il reste 63 systèmes de coniques tangentes en quatre points.

Prenons, pour fixer les idées,, le système de coniques correspondant au choix / = m = o, n ^ ij\= i^ pL=z:v = o. On a

Soient alors deux tangentes doubles caractérisées par les nombres

appelons Mi , M2 les points de contact de la première, nous aurons

, „. P -\- iV T. i ^ r X -h 7n' B" -^ n' B'

(26) Ml + ii2 = ; j

et deux relations analogues pour ^^^ -\- ^2^ t^i -H ^2 ', appelons de même M3, M., les points de contact de la deuxième, nous aurons

et deux relations analogues pour P3 -j- P4 et w-^ + w^. Pour que l'ensemble de ces deux tangentes doubles forme une conique qua-

APPLICATIONS DU THEOREME d'aBEL A LA GÉOMÉTRIE. 5l3

druplement tangente du système (25), il faut et il suffît qu'en ajoutant les relations telles que (?6) et (27) on trouve les relations (26) à des multiples des périodes près. Il faut et il suffit pour cela que À'-}-X'', n' -\- n" soient impairs, ^' -{- u!' ^ v'-f-v'^, i'-\-l"-, m' + m" pairs. Les six couples suivants de tangentes doubles remplissent ces conditions :

I (010,010) (oii,iio)

II (011,010) (010, no)