Soit maintenant proposée l’équation
y = Ax Bx 1 + Jf* »
dans laquelle on demande l’expression de x en y. Cette expression peut s’obtenir par la formule connue pour la résolution des équations du troisième degré i voici comment on y peur parvenir par la théorie des fonctions.
En prenant les fonctions primes et secondes , on aura
y 1 = A 4” i Bx 4~ 3 * 1 , y n = i# 4~ 6x } si donc je forme la quantité y 4~ ( m 4- nx ) y 1 4~ ( P 4~ qx 4~ rt l )y" , où m , n , p , q y r, sont des coèfficiens arbitraires , j’aurai un quatrinome qui contiendra les puissances x, x 1 et x 3 , et je pourrai faire évanouir les termes multipliés par chacune de ces puissances ; j’aurai ainsi une équation du second ordre de la forme y x) y' -\-(p-*rqx-\- rx*)y" = C , où C sera une quantité constante ; et cette équation renfermera encore deux coèfficiens indéterminés.
Je pourrai donc encore faire en sorte qu’étant multipliée par a y', elle
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 77 ait une équation primitive ; car , pour cela , il suffira de faire q = x m, r = n , et l’équation primitive sera ,
y 2 + (p + “xrnx 4~ nx 2 )y t2 = xCy + a, a étant une constante arbitraire qu’on déterminera , comme nous l’avons dit , en supposant x = o , et mettant pour y et y' , leurs valeurs tirées de l’équation proposée. Or , elle donne , dans ce cas , y =5= o , y 1 = A ; donc , faisant ces substitutions dans l’équation précédente , elle donnera a p A 2 = a.
Ainsi on aura cette équation en y , du premier ordre ,
y 2 + ( p 4- x m x nx 2 ) y 11 = x Cy -| - p A 2 , ou x ne monte qu’au second degré ; circonstance sans laquelle on n’aurait rien gagné pour la détermination de x en y.
Mais avant d’aller plus loin , il faut satisfaire aux conditions nécessaires pour que la quantité y + (m + nx)y'-f-(p + xmx -}- nx 1 ) y H , après la substitution des valeurs de y , y 1 , y" , devienne égale à une constante C. Cette substitution donne la quantité Ax + Bx 2 4~ ** + ( m -j- nx ) (A + xBx + 3 x 2 ) + ( p + xmx + nx 2 ) ( %B + bx ) ; développant , ordonnant les termes suivant les puissances de x, et égalant à C le terme sans x , et les autres à zéro , on aura
m A 4- x p B = C , ( 1 n) A -*r 6 mB-\- 6 p = o ,
d’où l’on tire n = — { , m
et C =
i B' 9 AB
Retenons , pour plus de simplicité , les quantités p et C , et substituons celles de 772 et n dans l’équation ci-dessus , elle deviendra , en tirant la valeur de y' ,
t V ( p A' 4~ * Cy — y* ) V(9/> — * — *’ )
Il faut maintenant en déduire l’équation primitive en x et y ; mats pour éviter les imaginaires , on doit distinguer deux cas , l’un où les radicaux sont réels , l’autre où ils sont imaginaires ; car puisque toute valeur réelle de x donne pour y et y' des valeurs réelles , il est visible que les deux
radicaux de l’équation précédente seront réels ou imaginaires ensemble.
Supposons donc en premier lieu que (p A* + x Cy — y J ) soit une quantité réelle, il faudra donc que p A 1 -j- C 1 > (y — C 1 ); par conséquent on pourra supposer y — O = V ( p A 1 -f- C* ) sin. j , ce qui donnera V ( p A 1 + x Cy — y* ) = V ( p A 1 O ) cos. ^ , et prenant les fonctions primes y' = V ( p A' ■+• C 1 ) cos. ç ( n.° gz ) ; substituant ces valeurs dans l’équation précédente , elle deviendra , en divisant par 3 ,
et l’on trouvera de la même manière que cette équation donne celle-ci , qu’on peut vérifier aisément,
* + -j- = V ( 9 P + ) sm. ( + a ) ,
a étant une constante arbitraire , qu’il faudra déterminer en sorte que x = o donne y = o , conformément à la proposée. Soit a la valeur de { lorsque y = o , on aura donc les deux équations
— C = V (pA* + C* ) sin. a, et —■ = V ( 9/» + ) sin. ( -y- + * ) »
par lesquelles on déterminera d’abord a , ensuite et. Après quoi on déterminera 1 par l’équation
si0 -T = -i •
et l'on aura
x = + V ( 9 P + "7") sin * ( “3“ + « )•
Et comme au même sinus de f répond aussi l’angle { , augmenté d’une ou de deux circonférences , on aura les trois valeurs de x , en prenant pour { ces trois valeurs f + c,{ + i c , c dénotant la circonférence du cercle.
C’est le cas qu’on appelle irréductible , et où les trois racines sont réelles. Supposons en second lieu que le radical V ( pA* -f- x Cy — y' ) soit imaginaire , il n’y aura qu’à multiplier le numérateur et le dénominateur de l’expression de y' par V ( — 1 ), et l’on aura
3 V ( — p — 1 Cy + >•' ) .
DES FONCTIONS ANALYTIQUES, quantité toute réelle.
Ici j’observe que si on fait «
Y = — C -j- y + V( — p A — ify + y z ) >
et qu’on prenne les fonctions primes , en regardant toujours y comme fonctions de x , on aura
A" = X ( — 9 p + -if- x + )-i,
Y 1 = y' Y ( P A 1 iCy + "y 1 ) ~ S*
de sorte qu’on pourra réduire l’équation précédente à cette forme
— — — = -r=- , dont les deux membres ont pour fonctions primitives
IX et j / Y (n.° ji ). On aura donc cette équation primitive I X = \ l Y + / b , b étant une constante arbitraire ; et passant des logarithmes aux nombres , on aura X = b yj ( Y). Pour déterminer b , on
fera de nouveau x = o et y = o. Or , X devient — j- V — SP »
et Y devient — C + V — p A ; donc on aura
Maintenant , ayant la valeur de X en x , il est aisé d’en-tirer x ; car en
carrant l’équation V ( — 9 p 4 x x 1 ) — X — -f- x,
1/1 • 1 1 ( x - — i gy 4-9?
on en déduira sur-le-champ x = — j-yr — , par conséquent ,
en mettant pour X la valeur trouvée en y , savoir b ÿ (Y) , on aura
(iK- \B)‘ + 9 p
nyrn
Cette expression ne peut donner , comme l’on voit , qu’une seule valeur réelle de x ; c’est le cas où l’équation a deux racines imaginaires.
Si on fait B = o , les formules qu’on vient de trouver dans les deux cas , se simplifient beaucoup , et se réduisent aux formules connues pour la résolution des équations du troisième degré , privées du second terme ;
mais nous ne nous arrêterons pas davantage sur ce problème , qui appartient proprement à l’algèbre , et que nous n’avons traité ici qu’en passant , et pour montrer , par différentes applications , la manière d’employer l’algorithme des fonctions.
79. Prenons pour dernier exemple l’équation du premier ordre ,
V— V (A + R y + C y' 4~ Dy' + Ey* ) y V(^ H- ~Bx -H Cx' + Dx' -f Ex 1 ) *
en la divisant par le radical en y , on aurait une équation où les variables x et y seraient séparées ; mais il serait impossible d’obtenir ainsi l’équation primitive , parce que les deux membres ne sont point réductibles en particulier à des fonctions primes.
Voici néanmoins comment on y peut parvenir par le moyen des fonctions dérivées. 1
Je suppose d’abord que x et y soient fonctions d’une autre variable t ,
il faudra pour cela substituer - ■ à la place de y' (n.° 63 ) ; x 1 et y
seront alors les fonctions primes de x et y , regardées comme fonctions de t. Or , je puis supposer que x soit une fonction quelconque de t , et l’équation me donnera pour y une fonction déterminée de t ; ainsi je puis supposer que-x soit une telle fonction de t , que l’on ait l’équation
x 1 — ^ (A + Bx + Cx 1 + Dx 3 + Ex*) ,
l’équation précédente , où l’on a mis — y ,— pour y', donnera pareillement
y = y/ (A -}- B y -f* Cy 1 + -Dy 3 4 " Ey 1 ').
Qu’on fasse disparaître les radicaux dans .ces deux équations , qu’ensuite on prenne les fonctions primes , on aura , après avoir divisé l’une par x' , l’autre par y' ,
x x" = B + x C x 4 ~ 3 D x z -f- 4 Ex 3 , x y" = B -f- xCy 4 “ 3-Dy* -j- 4 Ey'.
Faisons x 4 ~ y = p , x — y = q , ce qui donne x =
y — 'V ; les deux équations précédentes ajoutées et retranchées,
donneront
DES FONCTIONS' ANALYTIQUES. 8r
donneront
?" = c? +-2£- pq + - f- ( 3 r? + V).
De plus , comme p' q 1 — x' J — y' 1 , si on substitue les valeurs de x 1 et de y ’ , tirées des premières équations , on aura
pi q ' = Bq +Cpq (3p'q + <? ) H f -</>’ q + pq % )<
Maintenant je fais cette combinaison
qp" — p'q' — 7~r~ f + E pq % »
multipliant les deux membres par — — , ils deviennent les fonctions
primes de —^4 — et de Dp + £/; de sorte que j’aurai d’abord cette équation primitive du premier ordre ,
— — = Dp + Ep 1 + a ,
ou a est une constante arbitraire.
Pour la déterminer , soit m la valeur de y lorsque x = o , on aura dans ce cas., par les équations ci-dessus,
‘ r x' = V » y 1 = V(-4 4“ B m Cm -f- D m' -f- E m!') , quantité que nous supposerons = n , pour abréger.
Ainsi , puisque p=x + y,ÿ = * — y , p 1 =: x 1 + y 1 ,q' = xf — y, on aura , lorsque x — o , p = m , q = — m , p 1 = <J A + n , q' = V A — n. Faisant ces substitutions dans l’équation qu’on vient
de t rouver, on aura a — ( V' ^ ” ) — D m — E m? , où l’on voit
que puisque m est une quantité indéterminée , la constante a demeure aussi indéterminée ; mais les déterminations précédentes seraient utiles , si par d’autres combinaisons on trouvait de nouvelles équations primitives avec des constantes arbitraires.
Nous avons donc l’équation
P 1 = q V (* + Dp + Ep s ) ,
Ri THÉORIE
qui , quoique du premier ordre , peut néanmoins donner tout de suite l’équation primitive en x et y de la proposée , puisque la valeur de p ‘ , qui est x 1 + y', est déjà connue en x et y. En effet.., substituant les valeurs de p , q et p' , on aura
V {A + Bx + Cx 2 + Dx* -f Ex*) + yj {A -f By + Cf .
+ Df + Ey*)=(x — y) V [a + D {x + y) + E(x +y) 5 ], où a est la constante arbitraire.
Cette équation en x et y est , comme l’on voit , sous une forme assci simple , et la méthode par laquelle nous y sommes parvenus est tort remarquable ; mais cette équation n’est pas la seule qu’on puisse obtenir par les formules que nous venons de trouver.
Et effet , si on substitue la valeur précédente de p' dans l’équationtrouvée plus haut , pour la valeur de p 1 q 1 , on en tirera
, n 4 - £>+ Hip* +?')-)-- E( P ' + r /l ♦
Ici remettant pour p et q leurs valeurs x y et x — y r et pour q‘ savaleur x 1 — y' = V ( A -f- B x -f- C x 2 + D x 1 + Ex*)' — \J ( A -J- B y -f- Cy 2 + D y 2 + Ey*), on aura une nouvelle équation en x et y avec la constante arbitraire a , qui sera également l’équation primitive de la proposée ; ensuite ajoutant ou retranchant, on en aura deux autres qui seront , à quelques égards , plus simples , et qui seront toutes équivalentes.
* 80. L’équation du premier ordre , dont nous venons de trouver l’équation primitive ; peut toujours , par des transformations convenables , se réduire à la forme
i 1/ ( -t 4- fl cos. ^ y
î V { -i -J- H cos. u ) *
% étant ici une fonction de u. Comme cette équation , traitée directement de la même manière , est susceptible d’une analyse beaucoup plus simple et plus élégante , j’ai cru qu’on ne serait pas lâché de la trouver ici.
On regardera u et ^ comme fonctions d’une autre variable t ; et après
avoir substitué en conséquence — V- à la place de Gy ) , on fera ces deux équations séparées, u' = V ( A -fc- B cos. //), ç'= y (y? -f- B cos. ;
après les avoir carrées , on en prendra les fonctions primes , on aura , en divisant l’une par u! et l’autre par f', ces deux-ci do second ordre , x u" = — B sin. u , x f " = — B sin. £.
Soit maintenant { + u = xp, ç — u = x q , les deux équation» précédentes, ajoutées et retranchées, deviendront par les théorèmes connus, x p" — — B sin. p cos. q, x q" = — B cos. p sin. q.
Il est d’abord visible que si on ajoute ces deux équations après avoir multiplié la première par q' , et la seconde par p' , le premier membre deviendra la fonction prime de x p 1 q 1 , et le second la fonction prime de — B sin. p sin. q ; de sorte qu’on aura d’abord cette équation primitive du premier ordre ,
. x p‘ q 1 = — B sin. p sin. q -f- a
a étant la constante arbitraire.
Pour la déterminer , supposons que u = o donne j = m
on
aura donc dans ce cas u' = ^ { A B) , ç 1 = V ( A -j- B cos. m ) ,
— - «'* D ( cos. m 1 )
P — ~ — > q — — 1 — donc
xp' q' =
■ , sin. p sin. q = ( sin.
1 cos. m ■ 1,
= ; de sorte que 1 on aura
a = x p' q' B sin. p sin. q = o.
. On aura donc simplement l'équation
x p' q 1 = — B sin. p sin. q ;
d’où l’on peut conclure que cette équation primitive ne renfermant point de constante arbitraire , doit être comprise dans les équations primitives d’où nous sommes partis. En effet , on a
xp 1 q 1 — 1 = — r~ ( cos - { — cos - u ) »
ce qui se réduit par la substitution des quantités je et q à — B sin . p sin. inéquation identique avec celle que nous venons de trouver.
Divisons maintenant , par cette équation du premier ordre , les deux équations ci-dessus du second , on aura ces deux-ci ;
p" __ cos. q <7 ' COS. P
o q' sin. q ’ p q sin. p
dont la première étant multipliée par q' , et la seconde par^ , donneront ces équations primitives.,
lp' = l sin. q + la , Iq 1 = / sin . p -+• Ib y ou bien , en passant des logarithmes aux nombres , p 1 = a sin. q , q' = b sin. p ,
g. et b étant des constantes arbitraires , qu’on déterminera par les même# suppositions que ci-dessus ; d’où l’on aura
V ( A -f- B cos. m ) +• V ( A -j- B )
i sm. — —
^ V ( A 4~ B cos. m ) V ( A -p B )
i sm. — —
Ces deux équations pourraient donner chacune une équation primitive' en u et ^ par la substitution des valeurs de p , q , p' , q' ; on aurait ainsi
V ( A -J- B cos. f) + -f- B cos. u) = ra sin. ^
V ( A -f~ B cos. ^ ) — y ( A -f- B cos. u ) = i b sin. 1 “■
Comme les valeurs de a et b renferment l’indéterminée m , chacune de' ces valeurs pourra être regardée aussi comme indéterminée en particulier ; ainsi dans chacune de ces équations à part , on pourra regarder a ou b comme constante arbitraire ; mais si on voulait faire une combinaison quelconque de ces équations , il faudrait employer les valeurs de a et b trouvées ci-dessus, et alors la quantité m serait la seule constante arbitraire..
Mais comme ces équations sont compliquées de radicaux , il sera à propos de chercher encore une autre équation primitive d’après les deux équations du premier ordre qu'on vient de trouver , savoir p‘ = a sin. q >>
q' = b sin. p ; or , en divisant l’une par l’autre , on a -A- = ■ a , Sl . n ‘ q - ; 7 r r ? bsm.p *
et multipliant en croix bp' sin. p = aq' sin. q r d’où l’on tire tout de suite l’équation primitive
b cos. p = a cos. q + c ,
a étant une nouvelle constante arbitraire qu’il faudra déterminer comme ci-dessus. Or , en faisant u = o et ^ = m , on a p = q = ; donc
Téquatlon précédente donnera
c = ( b — a ) cos.
V { 4 + B ) cos.
sin.
Substituant les valeurs de a , b , c , ainsi que celles d ç p = ,
et 2 = — T 7 '' dans I,éc I uat ‘on précédente , et faisant les réductions de*
sinus et co-sinus , elle prendra certe forme très-simple ,
eos. — x cos. -f sin. -i- * sin. — — x — A + B ^ m)
11 * 1 V GîT+b)
c est 1 équation primitive de la proposée du premier ordre en u , ^ et ^ t et l’angle m en est la constante arbitraire.
8i. On peur regarder les angles-^- , et— comme les trois côtés d’un triangle sphérique ; il est visible qu’alors , dans l’équation précédente , la quantité — ^ m) sera le co-sinus de l’angle
compris entre les côtés et , et par conséquent opposé au côté -"î-
par les formules connues de la trigonométrie sphérique ; c’est la valeur de lorsque u= o et { = m. Ainsi cet angle sera constant en même
temps que le côté - , tandis que les deux autres côtés varient.
Soit Afcet angle constant , on aura donc V ^ d- B cos. m )
— cos.
d’où l’on tire ~4~ ~
B sin. fll‘
sin.
= — i. si
' sm. M
on fait cette substitution dans l’équation proposée en u et et qu’on suppose , pour abréger , = M ,elIeseréduiraàcetteforme { '=
V [' m’ (sin. -S-Y 1
y ^ t u . ^ - fl » y j > dont ^ équation primitive sera la relation entre
les côtés — " — et — ^ — d’un triangle sphérique , dans lequel /u sera
le rapport des sinus des angles aux côtés opposés , rapport qu’on sait être le même pour tous les angles et les côtés opposés ; de sorte que ce rapport seul étant donn£ , il restera l’angle ou le côté pour arbitraire.
La considération du triangle sphérique peut servir à faire voir plus facilement comment cette équation primitive satisfait à celle du premier
ordre. Cette équation étant cos. — cos. — — -j~ cos. M sin. — ^ ~
sin. — — = cos. ~ , si on prend les fonctions pjimes , en regardant {
comme fonction de u , et m , M comme constantes , on aura
( cos. M cos. -j— sin. — ■ “ — sin. —j— cos. ) {' + cos. iVf
sin. — cos. — cos. — ï— sin. = o :
substituons à la place de cos. M, sa valeur tirée de la même équation, il viendra celle-ci ,
Maintenant, si dans le même triangle sphérique, dont — 7—, — ™ — sont les trois côtés , et M l’angle opposé au côté — , on désigne par l ^ et Z les angles opposés aux côtés— et , on aura également cos.— — -
7 m , jr • 7 • m ï u
= cos. — 1 — cos. h cos. V sin. — — sin. , et cos. — = cos. — »
cos. - ^ co sfZ sin. sin. — ,* je donne à cos. Z le signe — , parce
que je suppose l’angle Z obtus. Donc , faisant ces substitutions, et divisant toute l’équation par sin. — ^ — , elle deviendra ^ cos. V — cos. Z = o ,
d’où ^ =2= — Mais , par la propriété générale des triangles
sphériques , on a
sin. V sin. Z sin. M .
sin. —j— sm. —r— sin.
donc sin. V = sift. — — , sin. Z = /x sin. — ■[ — , et de- là ,
cos. F = v [ I — M* ( sin. y ] , cos. Z = V [ 1 — /** ( sia. y ] ;
substituant ces valeurs > on aura l’équation du premier ordre qu’il s’agissait de retrouver.
Si l’angle Z , que nous avons supposé obtus , était aigu , ainsi que l’angle V , alors , au lieu de l’équation on aurait celle-ci ^
+ cos. y" == 0 , qui ne diffère que par le signe de ^ , et dont l’équation primitive sera la même.
Si. Voici encore une considération essentielle sur ces sortes d’équations :
l’équation du n.° 80 étant mise sous cet{e forme - 7 7" . , ,, -r »
= y ' cû s~ û 7 ~ ’ s,, l-P osons 1 ue f “ s °i £ fonction primitive de
y\ â. -j- u cos. u )
, sera pareillement la fonction primitive de
■y' { A -(- B cos. \ )
, ^ étant regardé comme une fonction de « , dont ÿ
est la fonction prime. Ainsi , en repassant aux fonctions primitives , on aura sur-le-champ cette équation primitive
a érant la constante arbitraire.
Cette équation devra donc coïncider avec celle que nous avons trouvée dans le numéro cité , et où la constante arbitraire est m ,-par conséquent sa constante arbitraire ne pourra être qu’une fonction de la constante arbitraire m. Soir donc a = F ru , on aura f? = fu -j- Frn ; mais m est la valeur de ç , lorsque u = o ; supposant donc , pour plus de simplicité , que la fonction fu soir prise de manière qu’elle soit nulle , lorscpje u = o ,
il faudra qu’en faisant u = o,on ait aussi ^ = m , par conséquent on aura fm = Fm ; donc l’équation primitive qu’on vient de trouver deviendra r=.fu fm , à laquelle satisfera cette relation algébrique
cos.
cos.
sin.
sin.
-f-VC
cos. m
