COS
Ainsi , quoiqu’on ne puisse pas trouver la forme algébrique des fonctions/!/, f{,fm, 011 P eut néanmoins trouver une relation algébrique entre trois quantités [ , u , m , telle que l’on ait =fu -}- fm. Donc aussi , si dans
l’équation précédente on change f en y , et u en \ , on aura cos. cos. -~- + sin. -^-sin. -i- V ( m ) = cos. -J- , et fy =/{ + fm.
Et changeant encore y en x , ^ en y , ce qui donnera cos. — cos. -*£-
sin. — ~ - sin.
y . j A -f~ B ros. m
cos.
on aura
de même fx = fy -J- f m > et ainsi de suite.
On aura donc successivement // = fu -f- fm , fy = fu -J- zfm , fx = fu -f- 2fm , &c. ; et les relations entre y , u et m , entre x , u et m , &c. se tireront des relations précédentes , en éliminant d’abord ensuite y , &c.
On peut appliquer cette théorie à la forme générale de l’équation que nous avons considérée dans le n.° 79 , et en tirer des conclusions semblables ; mais si on rapporte , comme dans le n.° 81 , les formules précédentes aux triangles sphériques , il en résulte une construction élégante que voici :
Soit formé un triangle sphérique , dont les trois côtés soient f , u , m ( pour éviter les fractions , je substitue les quantités zp , zx, z/n, à la place de { , u , m dans les formules du numéro cité ), et où l’angle entre u et m soit obtus , l’angle compris entre les deux côtés u et f demeurant constant ; qu’on transporte successivement le côté m le long de ces mêmes côtés prolongés , de manière qu’il en résulte une suite de triangles , dont chacun ait toujours un côté commun avec le triangle précédent, et qui aient tous ^ même côté ni , et l’angle commun M opposé à ce côté, alors ,
si
si les côtés qui comprennent cet angle sont successivement pour ces
differens triangles u et ç , f et y , y et x , &c. on aura
f{ = fu fai , fy = fu ■+■ ifm ,fx =fu + 3 f m > &c - »
fu étant la fonction primitive de la fonction — - — ; — , et ainsi
J 1 ÿ l 1 stn. u )
des autres fonctions semblables, où u= ■ Ml1 ' M ■.
r sin* m
De-là on peut trouver facilement les valeurs des côtés y , x , &c. des nouveaux triangles ; car , en considérant les triangles isocèles formés par le même côté m transporté alternativement , les perpendiculaires abaissées de leurs sommets couperont les bases en deux parties égales, et les triangles rectangles formés par ces perpendiculaires et par les côtés qui comprennent l’angle commun M , donneront tout de suite , par l’analogie connue pour les triangles rectangles , ces équations
rang. = cos. M tang. { ,
tang. — = cos. M tang. y ,
Et si on fait u =? m , en sorte que le premier triangle soit isocèle , on aura de plus l’équation
tang. — = cos. M tang. m ,
et l’on aura alors
fl — ^f m > fy — 3 f m > f x — 4 f m y &c -
Nous remarquerons ici que cette construction est pour les triangles sphériques , ce que la 'construction du problème 19 des questions géométriques de l’arithmétique de Newton , est pour les triangles rectilignes.
En effet , si on rend rectilignes les triangles sphériques dont les côtés sont m , u , f , y , &c. les équations ci-dessus deviennent j = rm cos. M , u + y = 2. ^ cos. M , x ■+- ^ = xy cos. M , &c. ; et il est facile de prouver qu’alors la fonction fu devient proportionnelle à l’angle dont
le sinus est ■ ,• de sorte qu’en prenant le côté m pour le sinus
de l’angle opposé M , on aura
{ = sin. a M , y = sin. 3 M , &c.
83. Nous nous sommes un peu étendus sur les propriétés des fonctionsde la forme fu , parce que les géomètres s’en sont beaucoup occupés , et que ces fonctions se présentent dans la solution de plusieurs problèmes.
Si on demande , par exemple , le mouvement d’un pendule qui oscille d'une manière quelconque , nommant r la longueur du pendule , -\J- l’angle dont il est éloigné de la verticale dans un instant quelconque , et la plus grande valeur de , $ la plus petite , supposant la gravité égale à l’unité , et faisant
sin. u = V (
COS. ,fl cns. -I
eus. COS. a.
cos. /S* c os. <t »
( cos. fS cos. a )"-f- sin. *’ ' *
2 ( cos. ras, g ) v
( eus. ^ -t- eus. CL )*-t-sin. '*
on aura X V rfu pour l’expression du temps depuis le point le plus bas* en supposant , comme ci-dessus ,
P U = y. TT — .
J V ( 1 — sul * “ )
La vitesse angulaire de rotation autour de la verticale , sera exprimée
par
y 2 . sîn. a sin. p
y r* sin. 4' * V(cos- * -j- cos. ) 0 *
et sera par conséquent nulle lorsque le pendule passera par la verticale * dans lequel cas on a @ = o ; c’est le cas des oscillations ordinaires.
84. On peut appeler analyse directe des fonctions , la manière de trouver les fonctions et les équations dérivées , parce qu’elle n’est fondée en effet que sur des méthodes directes , et qu’elle n’emploie que des opérations qu’on peut toujours exécuter par les règles que nous avonsexposées. Mais la manière de revenir de ces fonctions et de ces équationsà celles d’où elles peuvent être dérivées , et qu’on peut regarder comme leurs primitives , forme une autre partie de l’analyse des fonctions , qu’on peut appeler analyse inverse , parce qu’elle dépend des mêmes méthodes et des mêmes règles , mais prises inversement , et qui , par cette raison , nes’appliquent pas toujours avec la même Facilité ni le même succès. Il en
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 9 i est de ces deux parties de l’analyse des fonctidhs, comme de celles de J’arirhmétique et de l’algèbre qui ont pour objet les opérations directes de la multiplication et de l’élévation aux puissances , et les opérations inverses de la division et de l’extraction des racines. Les opérations de la première espèce sont toujours possibles par les règles connues , et donnent toujours des résultats exacts ; celles de la seconde espèce , au contraire , ne le sont que dans certains cas , au moins rigoureusement , et dans tous les autres elles ne peuvent donner que des résultats approchés.
L’analyse directe des fonctions est donc renfermée dans les règles que nous avons données pour trouver les fonctions dérivées , du moins pour ce qui regarde les fonctions d’une seule variable. Quant à l’analyse inverse, elle dépend aussi des mêmes règles ; mais la difficulté consiste dans leur application aux différens cas.
Nous avons indiqué les méthodes connues pour les principales formes de fonctions ou d’équations , et nous nous sommes sur-tout appliqués à bien établir les principes généraux de cette analyse inverse.
Comme notre dessein n’est pas d’en donner un traité complet , nous n’ajouterons point ici d’autres détails ; mais ceux qui savent le calcul différentiel , ne peuvent manquer d’appercevoir déjà la conformité de l’analyse des fonctions avec ce calcul , et la correspondance des analyses directe et inverse avec les deux parties de ce calcul qu’on appelle calculs différentiel et intégral. Ainsi, il leur sera aisé, s’ils le jugent à propos, de transporter aux fonctions les différentes méthodes d’intégration trouvées jusqu’à présent. Nous démontrerons plus bas cette conformité , d’une manière directe et rigoureuse. Nous aurions même pu comrftencer par là , et rappeler ainsi tout de suite notre analyse des fonctions au calcul différentiel ; mais la marche que nous avons suivie , nous a paru plus propre à remplir l’objet que nous nous sommes proposé , et qui consiste uniquement à lier cette branche de l’analyse avec l’analyse élémentaire, sans la faire dépendre ni même rien emprunter d’aucune considération étrangère.
8j. Nous n’avons encore traité que des fonctions d’une seule variable ; il n’est pas difficile d’étendre la théorie de ces fonctions aux fonctions de deux ou de plusieurs variables.
9 z THÉORIE
Soi tf(x, y ) une fonction quelconque de deux variables x et y , qu’on regarde comme indépendantes l’une de l’autre. Si , dans cette fonction , on met à- la-fois x 4- i à la place de x , et y o à la place de y , i et o étant deux quantités indéterminées , qu’ensuite on développe la nouvelle fonction^ (x-f-i,y+o), suivant les puissances ascendantes de i et o , il est clair que le premier terme , sans i ni o , sera f ( x , y ) , et que les autres seront de nouvelles fonctions de x et de y , multipliées successivement par i, o , i 1 , ioj o' , i’ , &c. ; ces fonctions dérivent de la fonction primitive x , y ) > et c’est la loi de cette dérivation qu’il s’agit de déterminer. Pour y parvenir de la manière la plus simple , on commencera par supposer qu’il n’y ait que la variable x qui devienne x -f- i , la variable y demeurant la même. Dans ce cas , désignant , comme on l’a fait jusqu’ici , par f , f y f 1 " , &c. les fonctions primes , secondes, tierces, &c. relativement à x seul , on aura
/(*+i > y ) — /( * r y ) 4 - if ( * > y ) 4 - --f" (*>y) 4 - ~/ ,w ( * >y > ) +
Substituons maintenant par tout y -f- o à la place de y , on aura f ( x 4- i , y + o ) = / ( .r , y -f- o ) -f if ( x , y + o ) -7- /"(*» y + o) + /"[(x^y + o) -h &c.
Or , si on désigne maintenant par f ,f„ , f.„ , &c. les fonctions primes , secondes , tierce» , &c. relativement à y , il est clair que la fonction /( * » y -h o ) , considérée comme fonction de y -}- o , et indépendamment de x , deviendra
/( * , y ) + y ) + ( * , y ) + — ~fm (*,>) + &c.
De même , en supposant toujours que les traits appliqués au bas de la lettre f, indiquent des fonctions primes , secondes , &c. relativement ày, des fonctions déjà désignées par f , f " , &c. on aura
f 1 j y 4- o)=f'(x ,y) 4- of'(x,y) +-~~/' t (x,y) 4- & c.
4 - o) = f'(x ,y ) 4- o/ r /(ar,y 4 - ~ f! (x,y) 4- £<c. r et ainsi de suite.
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 9 j Faisant donc ces substitutions, et ordonnant les termes par rapportaux puissances et aux produits de i et o , on aura
/(* + i- y y + o) — f(x , y) + if'(x , y) + o f, (x ,y)
H — q— /"(*,y) + io f! (*>y) +-^-/*(*»y) +—/"(*> y) + ( x y y ) + -T~ fn (* » y ) + xy/w (* » y ) + &c - ?
où la forme générale des termes est
«mu*
l O s*rt * *
S6. Dans le procédé que nous venons de suivre pour avoir le développement de/’(* + i, y + o) nous avons commencé par substituer dans/( x , y ) , x + i pour x , et nous avons développé suivant i , nous avons ensuite substitué dans tousles termes de ce développementy + o pour y, et nous a\ons ensuite développé suivant o. Or, il est visible qu’on aurait identiquement le même résultat , si on commençait par la substitution de y -j - o pour y , et par le développement suivant o , et qu'on fît ensuite la substitution de x + i pour x , et le développement suivant i. De cette manière , on aurait d’abord les fonctions primes , secondes , &c. relativement à y , savoir ,f (*,y) ,f„ ( x , y ) , &c. ; ensuite on aurait les fonctions primes , secondes, &c. de celles-ci, qui suivant la notation que nous venons d’établir , seraient représentées par f,' (.v,y) y /'/(x,y), &e. yf,/ (x,y) ,/'/ (.v,y), &c.; et on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus , comme cela doit être. Or , dans le premier procédé, la fonction f/ (x, y ) s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de f ( x , y) relativement à x , ce qui donne f (x,y) , et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à y; et dans le second procédé la même fonction s’obtient en prenant d’abord la fonction prime de f (x, y) relativement à y , ce qui donne f, ( x , y ), et ensuite la fonction prime de cdle-ci relativement à x. D’où il suit qu’il est indifférent dans quel ordre se fasse la double opération nécessaire pour passer de la fonction primitive f(x, y) à la fonction dérivée //(■*•, y) ; et comme on doit dire la même chose des autres fonctions marquées par des traits placés au haut et au bas do
la caractéristique f , on en peut conclure en général que les opérations indiquées par ces traits sont absolument indépendantes entre elles , et qu’elles conduisent aux mêmes résultats , quelqu’ordre qu’on suive , en prenant les fonctions primes relativement et à x et à y , indiqués par chacun des traits supérieurs ou inférieurs. Ainsi , par exemple , on aura également la valeur de f", (x, y), en prenant la fonction seconde de /(x, y) relativement à x, et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à y, ou en prenant d’abord la fonction prime de /(x,y ) relativement à y, et ensuite la fonction seconde de celle-ci relativement à x, ou bien en prenant la fonction prime de /(x, y ) relativement à x, ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à y, et enfin la fonction prime de cette dernière relativement à x; et ainsi des autres.
87. Soit, par exemple, /(x, y) = xV( 1Jf y + y*)> on aura la fonction prime relativement à x, (x, y) = ^ (xxy -j- y 3 )
+ t — ~ ; — , et sa fonction prime relativement à y sera
VI **jr+y) v J
v u J + y )"" = f'( x > y) » ensuire Ia fonction prime de f (x , y )
relativemet à y, sera
■±JL
VU'J'-hjr*) (z X j +y)i
tr-i -y
et la fonction prime de f(x, y) relativement à x sera ~ ÿ ^ l x ^. T y ^
— — — — j...., J J — __ y;(x, y). Quoique ces deux expressions de ( 1 x y + y‘ Y
fl (x, y) paraissent différentes, elles sont cependant identiques ; car elles
Ensuite, en prenant ••
la fonction prime de f‘{x,y ) relativement àx, c’est-à-dire, la fonction seconde de /(x, y) relativement àx, on aura f" (x, y) = ~ ÿ~Çi * ■ )
; et prenant maintenant la
se réduisent l’une et l’autre à ,r } . j~ ■>'
Ci xy -f-y'
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 9 y
fonction prime de celle-ci relativement à y, on aura; après les réductions ,
3 x' y' ~f- 3 xy*
(ixy + y )*
De même , en prenant la fonction prime de/' ( x , y) relativement àr, on trouvera
( lx y + y J 1
et ainsi de suite.
88. Il résulte de-Ià, que pour que des fonctions données dexety puissent être prises pour des fonctions dérivées d’une même fonction primitive, il faut qu’elles satisfassent à certaines conditions.
Ainsi , si F (x,y) et <p (x,y) représentent des fonctions données de x , y : pour qu’on puisse supposer F (x, y ) =f (x , y ) , et <p ( x , y ) —fi C x » y ) » ‘1 faudra que l’on ait f l (x,y) = F / (x J y)=cp'(x,y).
Et, en général, pour qu’on puisse supposer F(x , y) = /” (x, y) » et <p(x, y)=/ p ? (x,y), il faudra que l’on ait/”* J (x, y) = F' (x,y)
= fA x >y)>
Par exemple , si F( x , y ) = » P(*»y) = IT +y »
on pourra supposer F (x,y) — /' ( x ,y) , 9 (* , y) = / (* , y) ; car on trouve F, ( x , y ) = y py - = ç' ( x , y ) ,• mais on ne pourrait
pas supposer F (x, y ) ==/' (x ,y), et <p(x,y) =f" (x, y),- car alors il faudrait que F ( x , y ) = cp, ( x , y ) , ce qui n’est pas.
89. Les fonctions de deux variables engendrent donc differentes sortes de fonctions dérivées relatives à chacune de ces variables. Comme nous avons distingué ces fonctions dérivées par des traits supérieurs qui se rapportent à l’une des variables x , et par des traits inférieurs qui se k rapportent à l’autre variable y , nous nommerons fonctions primes , secondes , &c. selon x ou y , les fonctions marquées p 3 r de seuls traits supérieurs ou inférieurs , et nous nommerons simplement fonctions primo-
qG THÉORIE
primes , seœnJo-prinres , primo-secondes , &c. les fonctions marquées à la fois par des traits supérieurs et inférieurs ; en énonçant le trait supérieur le premier et l’inférieur le second.
9c. A l’imitation de ce que nous avons pratiqué pour les fonctions d’une seule variable , si on regarde ç comme une fonction de x er y , on pourra dénoter par ^ , {" , {/, , &c. ces différentes fonctions
dérivées, en appliquant à la lettre ç les mêmes traits qu’on appliquerait à la caractéristique f de la fonction J\x , y) , qu’on suppose représenter la valeur de ç , et on nommera ces fonctions de la même manière.
Ainsi , x devenant x -j- i , et y devenant y -}- o, la quantité ç, fonction
de x , y , deviendra ( n.° 8$) { + if' + i\, H ç" + roç/ +
le terme général de cette série étant , comme dans l’endroit erré ,
91. A l’égard de la manière de trouver ces différentes fonctions, il est clair qu’il n’y a qu’à suivre les mêmes règles que pour les fonctions d’une seule variable ; les traits supérieurs de la caractéristique indiquant l’ordre de la fonction dérivée relativement à x seul , et les traits inférieurs indiquant l’ordre de la fonction dérivée relativement à y seul.
Ainsi, en prenant les fonctions primes de selon x et y , on aura les valeurs de et f, ; et de-là , en prenant encore les fonctions primes relativement à x et à y , on aura les fonctions dérivées du second ordre , fy ; et ainsi de suite.
Il est bon de remarquer ici que pour les fonctions de deux variables , il y a deux fonctions dérivées du premier ordre 7' et ^ , trois du second ordre j" , {/, ç n , &c. de sorte que pour l’ordre m m, il y aura un nombre m H- 1 de fonctions dérivées..
91. Si la fonction ^ n’était donnée que par une équation entre x, y , on considérerait que , comme cette équation doit avoir lieu, quelles que soient
les
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 97 les valeurs de x et y , elle aura aussi lieu en y, mettant x -f - 1 et y -f- o à la place de x et y , quelles que soient les quantités i et o ; de sorte qu’en développant , après cette substitution , l’équation suivant les puissances et les produits de t et o, il faudra que les termes multipliés par une même puissance ou produit de i et o, forment des équations séparées. Mais nous venons de voir que dans le développement d’une fonction de x et y, les termes multipliés par i donnent la fonction prime selon x , ceux
multipliés par o donnent la fonction prime selon y, ceux multipliés par
la fonction seconde selon x , &c. Donc , ayant une équation quelconque entre x, y, q , et regardant { comme une fonction de x et y donnée par cette équation , on pourra , en prenant les différentes fonctions dérivées de tous ces termes , en déduire autant d’équations dérivées de différons ordres , qu’on appellera de même , équations primes , secondes , &c. selon x ou y , équations primo-primes , secondo-primes , &c. et en général , équations dérivées du premier ordre , du second ordre , &c. Ces équations serviront à trouver les valeurs de q 1 , q , , q^ , &c.
Si donc on représente par F (x , y, ^) = o l’équation proposée pour la détermination de et qu’on désigne simplement par F' (x), F' {y) , F' ( q ) les fonctions primes de F ( x , y , q ) , prises relativement à x , y , q , considérées séparément et comme des variables indépendantes , il est aisé de voir, par les principes établis (n.’ yt) pour les fonctions d’une seule variable, que t [F' (x) -f- q 1 F 1 ({)] sera le terme affecté de i, et o [F' (y) -J- f F'(ç)] le terme affecté de à dans le développement de F(x, y , {) , après la substitution de x -f- i et y + o pour x et y, q étant regardé comme fonction de x et y.
Ainsi , F' ( x ) + {' F' (.{) sera la fonction prime relative à x , et F 1 (y) -1- q, F' ( ç ) la fonction prime relative à y de F(x, y, ç); de sorte qu’on aura ces deux équations primes
F' (-v) + F 1 (q) = o, F' (y) + q f F'(q) = o; d’où l’on tire
Ayant ainsi les valeurs de q- et q , on en déduira celles de q* f q' , q , &c.
N ' ff
en prenant de nouveau les fonctions primes de celles-ci relatives k x et y ; et ainsi de suite.
93. On peut aussi rappeler immédiatement cette théorie à celle des fonctions d’une variable , en regardant ç comme donné en x et y , et y comme une fonction indéterminée de x. Ainsi , en regardant d’abord ^ comme fonction de x , la fonction prime de F (x , y , f ) sera , par les principes du n.° 31 , F (x) + y 1 F (y ) -f- ç 1 F ({) ,• mais { étant considéré comme fonction de x et y , et y comme fonction de x , la fonction prime de f sera représentée par f -f- y 1 ç, ; mettant cette valeur à la place de ^ , on aura F ( x ) -f- F (f )x -f- y [ F (y) + ^ f ) ] pour
la fonction prime de F ( x , y , ç ).
Donc , ayant l’équation F(x , y , ç ) = o , on aura l’équation prime F (x) -f {' F ({) + y 1 IP {y) + {, F ({)] = o.
Mais y étant regardé comme une fonction indéterminée de x , l’équatiot* précédente doit avoir lieu , quelle que soit la fonction y* ; elle se décomposera donc en ces deux- ci ,
F (x) + î 'F( î ) = o,F(y) -I- ï,F{î> = o, comme plus haut.
On pourrait trouver de la même manière les équations dérivées dess ordres supérieurs.
94. Puisque les fonctions dérivées de deux variables se forment de la brème manière , et par les mêmes règles que celles d’une seule variable , en considérant chaque variable séparément et successivement il s’ensuit que tout ce que nous avons démoutré sur les fonctions d’une seule variable , peut s’appliquer dé même aux fonctions de deux variables.
Ainsi , il sera facile d’étendre aux fonctions de deux variables , la méthode générale que nous avons exposée pour le développement en série rationnelle de toute fonction d’une variable , et d’eD déduire des résultats semblables. ( Voye ^ la seconde Partie ).
Enfin , il est visible qu’on pourra traiter aussi par les mêmes principes les fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables, puisqu’il
ne s’agira que de répéter les mêmes opérations séparément pour chaque variable.
Nous nous contenterons donc ici de présenter les observations les plus importantes sur la nature et l’usage des fonctions et des équations dérivées entre # trois variables.
95. Considérons en général l’équation F (x , y , ç ) = 0; elle donne ( n.° 52 ) les deux équations primes F 1 ( x ) + {' F' ( ^ ) = o et F 1 (y ) -h F 1 ( ç ) = o , qui auront par conséquent lieu en même temps que la proposée. Donc une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi , et pourra par conséquent tenir lieu de l’équation primitive.
Soient a et b deux constantes quelconques contenues dans la fonction F( x , y j ç ) , ces constantes seront les mêmes dans les fonctions dérivées F 1 {x) , F' (y) , F 1 ({) ; ainsi on pourra , au moyen des trois équations dont il s’agit , éliminer ces deux constantes , et l’équation résultante sera une équation du premier ordre entre x , y , f , y' et ^ qui renfermera deux constantes de moins que l’équation primitive. Donc, réciproquement, si on n’a pour la détermination de £ en x et y qu’une équation du premier ordre entre x , y , ^ , ç' et ^ , l’équation primitive entre x , y et { devra contenir deux constante^ arbitraires.
Ceci est analogue à ce que nous avons vu relativement aux fonctions d’une seule variable ( n.* 55 ); mais nous avons vu aussi (n* y x ) que la quantité arbitraire qui doit se trouver dans l’équation primitive , peut n’être pas constante , et donner cependant par l’élimination la même équation du premier ordre. La même chose peut donc avoir lieu ici ; et il est aisé de concevoir qu’on aura encore la même équation du premier ordre par l’élimination des deux arbitraires a et b , quoiqu’elles ne soient pas constantes , pourvu que les deux équations primes soient encore de la même forme.
Désignons simplement par P ( a ) et F 1 (b ) les fonctions primes de F ( x , y , j ) , prises relativement aux quantités a et b contenues dans cette dernière fonction ; il est aisé de voir , par les principes établis , que si a et b sont regardés comme des fonctions de x et y , la fonction prime de F ( x , y , { ) relative à x., devra être augmentée , à raison des deux nouvelle*
variables a et b , de la quantité a' F ' (a) 4 - b 1 F 1 ( b ), et que la fonction prime, relative à y , devra être augmentée pareillement de a, F 1 (a ) -f- b, F 1 (b).
Supposons b = fa , on aura b 1 = a'f'a ( n.* ) , et par conséquent
aussi b , = a, f a ; donc les quantités à ajouter aux deux fonctions primes seront a' [F 1 (a) + f'a x F (b ) ] , et a, [-F' ( a ) + f' a * F 1 ( b ) ] ; par conséquent elles disparaîtront à la fois en prenant a telle qu’elle satisfasse à l’équation JP ( a ) + f'a x F' (b) = o ; la fonction fa de a r qu’on a prise pour b , demeurant absolument arbitraire»
De-là résultent donc ces conclusions importantes : i.® Que l’équation primitive qui satisfait en général à une équation da premier ordre , doit renfermer une fonction arbitraire ;
i.® Que si pour une équation donnée du premier ordre on trouve une équation primitive F(x,y,{) = o , qui renferme deux constantes arbitraires a et b , il n’y aura qu’à faire b=fa , et prendre n de manière qu’elle satisfasse à l’équation F' ( a ) 4 * f'a x F' (b) = o ; la fonction» désignée par fa sera la fonction arbitraire \
3.® Qu’ayant une équation quelconque entre x , y , ^ qui renferme une' fonction donnée , on en peut déduire une équation du premier ordre où* cette fonction ne se trouve plus» En effet y si est la fonction qu’on veut faire disparaître , p étant une fonction donnée de x , y , ç , il n’y aura qu’à prendre les deux équations primes , suivant x et suivant y , de l’équation proposée ,on aura trois équations qui renfermeront <pp et 1 p'p , en désignant par <p'p la fonction prime de <pp prise relativement à p; d’où , éliminant ces deux fonctions , il résultera une équation du premier ordre où la» fonction <pp ne se trouvera plus»
9 5 » Soit , par exemple , { — ax — by — c = o une équation, donnée ; les deux équations primes seront f — a = o , 7, — b = o ’ y éliminant a et b de ces trois équations , on aura l’équation du premier ordre f — x ç 1 — y — c = o , dont f — ax — by — c = o sera» l’équation primitive , a et b étant les constantes arbitraires.
Maintenant , en supposant % — ax — by — c = F(x,y,f), on aura F' (a) = — x , F 1 (b) = — y. Donc , faisant b = fa T l'équation pour déterminer a sera — x — y f a = o » d’où l’a»
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. xo-i lire f a = — —y— ; ce qui donne a = 9 ( — * - ) , 9 désignant la fonction inverse de/ 7 . Ainsi la fonction l’étant indéterminée , la fonction 9 le sera aussi; donc a et# seront deux fonctions indéterminées de - y - f
ou plutôt dépendantes d’une même fonction indéterminée de — — ;
et £ -f yy — sera par conséquent une fonction indéterminée de — y — ,
Désignant donc cette fonction amplement par 9 ■- * - , l’équation primitive deviendra *
Si o» prend les deux équations primes de celle-ci , on aura ï—y<P'--j~x-jr — 0 r et î( — p -y- +y9'-y-*~r = ov Éliminant de ces trois équations les deux inconnues 9 — - et 9' — ~ — , 0» aura , comme plus haut , { — xç' — y — c = o pour l’équation
dérivée du premier ordre , délivrée de la fonction 9 -y— r
97. Cette propriété des équations primes de pouvoir servir à faire disparaître une fonction quelconque , est très-utile dans beaucoup d’occasions, et sur- tour pour les développemens en série.
Pour en donner un exemple , soit proposée i’équation
? = x + y fi
pour la détermination de ç étant une fonction quelconque de et supposons qu’on demande la valeur de ^ en série suivant les puissances de y, il est visible que les deux premiers termes seront x yfx ; et si , pour trouver les termes suivans, on suppose ç = x -f- yfx -j- A y 1 -j- By 3 -}- &c. , il faudra développer la fonction f f suivant les puissances de y , et comparer ensuite les termes pour pouvoir déterminer les valeurs de A, B, &c.; mais» de cette manière , on n’aurait pas la loi de ces valeurs 1 il y aura doue de
loi
THÉORIE l’avantage à employer , au lieu de l’équation proposée , une équation du premier ordre où la fonction /{ne se trouverait pas.
Prenant donc les éqnations primes suivant * et suivant y , on aura {' = i 4 ~ y/{ x {' , et {, = /{ -fayf'î * {/ , en dénotant par f { la fonction prime d e/{ relativement à { ; d’où , éliminant /{ , on
tire d’abord {, — {'/{ = o. Mais l’équation primitive donne /{ = ^ ;
donc , substituant cette valeur dans la dernière équation , on aura cette équation du premier ordre , délivrée de f \ :
Comme le premier terme de l’expression de { en série de y est évidemment x, nous supposerons en général
{ = x -f- Ay -j- By * 4- Cy 3 + &c. ,
A y B , C , &c. étant des fonctions de x , nous aurons {' = i 4 • A' x
4- B'y 1 C'y 3 + &c. , A 1 , B' , &c. étant les fonctions* primes
de A , B , &c. , regardées comme fonctions de x , ensuite {, = A + B y
+ 3 Cy 1 4 ~ + &c. ; donc on aura , en substituant ces
valeurs ( i -f* A'y ■+■ B'y' 1 4 - C'y* 4~ &c. ) ( A 4- By 4- Cy* 4" &c. ) ■ — A — %By — 3 Cy* — &c. = 0 ; savoir ,(A A' — B)y 4 - ( B A' 4- AB' — xC)y z +(C A' + B B' AC - — 3 J5 ) y 3 4" &c. = o;
d’où l’on rire tout de suite
B =? AA' ,C = — ~ ( AB' 4 - BA'),D = -y- ( AC' + BB' 4- CA 1 ), &c.
Ici la quantité A demeure indéterminée ; mais nous avons déjà vu que les deux premiers termes de { dans l’équation proposée sont x 4 - yfx, par conséquent on aura A = fx , et de-Jà A' = f'x , B = fxf'x ,
B' —fxf'x 4- ( fx )* ; donc C = - ( ifxf x * 4 ~fx'f"x) , &c.
Mais en examinant les expressions de B , C , &c. on voit d’abord qu’elles
peuvent se mettre sous cette forme B = ( — - — )' ,C = — — ( AB )',
D = —y—(AC 4 \ — B* y, £ = ~— {AD 4 -BC'),&c.cn
dénotant en général , par le caractère ( y , la fonction prime selon x ,
ce la quantité renfermée entre les deux crochets ; et si on fait les substitutions successives , on trouve que ces expressions sont réductible*
à celles-ci plus simples, B = — - — (A* y, C = {A 3 y,
D = a ^ - ( A' y", &c. , en marquant par un trait , deux traits , &c.
les fonctions primes, secondes, &c. des quantités renfermées entre les crochets, relativement à la variable x; de sorte qu’en substituant la valeur de on aura enfin
98. Supposons maintenant qu’on demande la valeur d’une fonction quelconque de ç, développée de même suivant les puissances de y, on
fera u = <pj, et prenant les équations primes pour faire disparaître la
fonction p, on aura u 1 = x y, et u, = x ç , d’où l’on tire — - — •
= — * — . Substituant la valeur de — | — , tirée de l’équation y ( { — x )
— y ^ = o du numéro précédent, on aura cette équation du premier ordre
«'(î — x) — yu, = o.
Supposons ici
P, Q, P, &c. étant des fonctions de x, substituant cette valeur, ainsi que celle de ç trouvée ci-dessus, on aura
(p/ + Q> y + P'y> + sy + &c.) (/x + -f- (A 7 +
C/* 3 )" + &c. ) — Q — 1 Py — 3 S’y* — &c. = o ; d’où l’on tire
Ç = F/x,aP== Q/x + -J
et ainsi de "suite
io 4 THÉORIE
Or , -en substituant successivement les valeurs de Q , R , &c. , il est aisé de reconnaître que les expressions de ces quantités peuvent se réduire à cette forme simple
Q = P'fx , r= — ( f/v y, P'fx* y 1 &c.
La fonction P demeure indéterminée , à cause de l’élimination de la fonction p ; mais , puisque a = p ^ = p ( X -f- y f x + &c. ) » il est visible qu’on aura P = p x , et par conséquent P' = p'#.
Donc , enfin , on aura
Pï = px + yp'x/x-f -£-(p'*/V)' +-£j-(<p l xfx 3 ) a + &c.,
formule très-remarquable , et d’un grand usage dans l’analyse , sur-tout pour le retour des suites.
99. On pourrait parvenir immédiatement à ce dernier résultat par la formule du numéro 45 ; car il n’y aurait qu’à regarder a comme une fonction de y , et chercher les fonctions primes , secondes , &c. de a relatives à y , c’est-à-dire , les valeurs de u, , u„ , &c. ; faisant ensuite y — o t
on aurait u , u , , — — u„ , u m , &c. pour les coèfficiens P, Q,R, «S,& c. de la série.
Tout se réduit donc à trouver ces fonctions dérivées , et à les mettre cous une forme simple et régulière. Pour cela , nous reprendrons les deux équations primes trouvées ci-dessus ( n.°’ g y , g 8 ) , — \'f\ — o ,
et — - — = — ^ — , lesquelles donnent celles-ci , a, = a'/ç,et ^ = ff{'
On aura donc , i.° u, = u' f V ; a.” en prenant les fonctions primes selon y , u„ = u\f ç -j<- a' ^ , ( f % dénote la fonction prime de ^ relativement à ; or, de la première équation , on tire aussi cette équation prime relative à x , u', = a" /{ + a' ^ f { ; donc , substituant , on aura u n = u" f f -j- 1 u' ^ f = ( u'f l*)'* 3 -° en prenant encore les fonctions primes relatives à y, on aura a„, = (u'f {*)',; or (u'fÇ), = u \f + 2. a' {,/' \f\ i substituant les valeurs de a', , et de f, , données *i-dessus , on aura ( u'f f ), = u" f ■f +,3 u' \'f {f£ — ( u'ff y ; donc ,
prenant
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. ic* •prenant les fonctions primes relatives à x , on aura ( u' f\‘ )', = ( u> )" = u m ; et ainsi de suite.
Donc , puisque u = <p ç , on aura u' = ^ tp' { , par conséquent
“i — tflfl » u » = (?V f/f )'» u m = ( ?' 9' î/fy'* &c - - 9' I étant
la fonction prime de ^ j relativement à ^ seul.
Faisons maintenant y = o, l’équation proposée ç = x -f- y/{ donnera x; donc {' = i , cpç — <p x-, — ç'x , et /f = fx ;
donc P = Q = p'jr/x, il == -j- ( <p'xfx*y , S = -~y- (<p' xfx 3 )", 8cc.
Pour montrer , par une application , l’usage de cette formule , soit proposée l’équation ^ = x + yj", r et y étant des quantités données , et qu’on demande la valeur de en série suivant les puissances de y ; on fera donc J'r = { = {" ; donc aussi f x = x™ , cp x = x n ,
<p' x = nx n ~ *, et l’on aura sur-le-champ
■ P = x n 3 Q = ,ix m *’'-',R = -? r (»»■♦■ nUm ^ n — 'ï
ar 1 ™*”"- 1 , 5 = ï 1 ’ ,t "'“ 3 J &c. ;
( m + n — i yi __ Q (yrt-f-w z)
de sorte qu’on aura j" = x" -j- n x m + "
i nUw-f-n O (l”i + »i i) + B — ï ï j
xoo. Nous avons vu comment on peut faire disparaître toute fonction arbitraire contenue dans une équation donnée , au moyen de ses équations primes ; mais il y a , pour y parvenir, un moyen plus simple à quelques égards, fondé sur la considération que nous avons employée plus haut (»•* 93 )■
Considérons en général l’équation F {x, y, {, <pp) = o, dans laquelle p soit égale à f (x , y, {), les deux fonctions désignées par les caractéristiques F et f étant données , et la fonction marquée par la caractéristique <p étant arbitraire, on peut supposer y une fonction de x,
telle que la fonction prime de/? soit nulle ; alors p pourra être traitée comme constante dans la fonction F(x , y , ç , <p p) ; pourvu qu’on détermine y*’ par la condition que la fonction prime de /( x , y , f ) soit nulle.
Désignons simplement par F' ( x ) , F' ( y ) , F' ( £ ) , et de même par f ( x ) » f ( y) »/' ( { ) les fonctions primes de F(x , y , ç , cpp) , et de
x , y , | ) , prises relativement à x , y , f isolées , et regardées comme indépendanteSj.onaura, comme dans l’endroit cité, les deux équations primes
F 1 (x) + F 1 ( { ) + y 1 [ F 1 ( y ) + F ( { > ] xsa o ,
dont la première contiendra 9 p , et dont la seconde ne contiendra’ point p. Celle-ci servira à éliminer l’inconnue y 1 ; et on aura deux équations qui contiendront 9 p , et par lesquelles 011 pourra éliminer cette inconnue.
Cette méthode a l’avantage de pouvoir s’appliquer aux équations qui contiendroient plusieurs fonctions arbitraires de la même fonction p.
En effet , »i l’on avait l’équation .F ( x , y , ^ , 9 p , p ) = o , oa trouverait d’abord , comme ci-dessus , une équation du premier ordre sans la fonction 9 p , mais qui contiendrait encore la fonction -\J , p ; ensuite , appliquant à cette équation le même procédé , et éliminant de nouveau la fonction y 1 qui paraîtra dans son équation prime par la même équation ci-dessus , on aura une équation du second ordre qui contiendra \j, p , et d’où on éliminera cette fonction par le moyen de l’équation du premier ordre ; et ainsi de suite , quel que puisse être le nombre des fonctions arbitraires de la même quantiré p.
Mais si l’équation proposée contenait les fonctions 9 p et a , p et q étant des fonctions differentes de x , y , £ , on ne pourrait pas parvenir à une équation du second ordre , débarrassée des fonctions 9 p et p r et de leurs dérivées ; il faudrait alors passer à des équations d’un ordre supérieur.
101. Considérons les équations du premier ordre qui peuvent résulter de l’élimination d’une fonction arbitraire <p p , et supposons , peur plus de simplicité , ce qui est toujours possible r que l’équation primitive soit
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 107 Je la forme F (x , y , ç) — <p p , p étant = /( x , y , j ) , on aura alors les deux équations primes
qui seront délivrées d efp ; et il ne s’agira plus que d’éliminer y.
Le résultat de cette élimination est
F (x)'+ k'F (?) F (y) + iF (O- . '
ï (*) 4 \) U) / (?) -H ï//' U! * d’où résulte cette équation du premier ordre
qui ne contient que x , y , % avec les fonctions primes ^ et Cette équation pourra donc être mise sous cette forme
en faisant
M — F (*) — F(i)xfÇx)
F U)*/ (y) — F (y)xf(O ’
A r F {x )xf (y ) — F (y) xf(r) .
. F(i)Tny) — P(/)x7TÔ '
d’où l’on peut conclure
i.° Que toutes les équations du premier ordre entre x , y , % , ÿ et £ qui ne seront pas réductibles à la forme précédente , ne pourront pas être dérivées d’une équation primitive entre**, y, f et p p,p étant une fonction de x, y ;
z.° Que toutes les équations du premier ordre réductibles à la forme m précédente , pourront toujours avoir pour équation primitive une équation de la forme supposée F (x , y , {) = <p p , g étant = f(x,y,^).
Car les valeurs des coèfficiens M et N étant données en fonctions de x , y , f , on aura deux équations par lesquelles on pourra déterminer les deux fonctions marquées par les caractéristiques F et f ; et la fonction marquée par <p demeurera arbitraire.
Ce problème étant l’un des plus intéressans de la théorie des fonctions, je vais en donner ici une solution directe.
ic* THÉORIE
» ioï. Si on regarde de nouveau y et ç comme fonctions de x , dont les fonctions primes soient y' et ^ , et qu’on considère les deux quantités -f- et 4- N y 1 , ces quantités deviendront , par la substitution; des expressions précédentes de M et de N ,
f(.y) [F'Uh '-f F' MI — F'(.y)r/-(rW4-/(*)]
F 'UW 00 — F (jO*/U) ’
F'(*)[f(rW+S v (.y)y] —f(x)[F(f>ï+F’(y)y‘ 1 F' U )*fy — F fyW'U)
Si on ajoute , êr qu’on retranche en même temps du numérateur de la» première la quantité F' (y) *f' ( y )y' > et du numérateur de la seconde ta quantité F' ( x ) x f ( x ) , et qu’on lasse attention que ( n. e ji ) F 1 ( x )■ 4- F' ( y )y' 4 - F 1 ( { ) {' est la fonction prime de F(x,y,f), que nous dénoterons simplement par F ( x, y, \ )', que de même f ( x- y 4 ~ f ( y ) y' 4- /' ( { ) ^ est la fonction prime de/( x, y , ç ) , que nous, dénoterons pareillement par f ( x , y , \ )' , on aura
„/ i AT f (,)') *F(x,y, ;)' — F' (.y) */(*, y, t)'
M?' -I- N\‘ F ( *)*/(*» y, t V — .TM* F(*,y>iY'
-^iMy — > 40 / (J).— F uw (O
Si donc on regarde les variables y , ç comme des fonctions de xr déterminées par les équations du premier ordre
y N = o , My 4 ' N y 1 =■ o , il est clair que ces équations se réduiront à ces deux-ci ,
F( x , y , i y = o , et /( x , y )' = o dont les équations primitives sont évidemment
A et B érant des constates arbitraires ; de sorte que ces équations primitives seront complètes à cause des deux constantes arbitraires A et B..
Mais il est possible qu’en cherchant les équations primitives des équations ç' 4~ N = o , Mj 1 4“ N y 1 = o , où M et N sont des fonctions données de x , y , ç , on ne les trouve pas sous la forme précédente. Cependant, sous quelque forme qu’elles puissent se présenter, si elles renferment deux constantes arbitraires a et b j elles douent être
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. ic?
comprises dans les précédentes , et les constantes A et ü r.e pourront qu’être fonctions des constantes a et b. Si donc on rire de ces équations primitives les valeurs des constantes a et b , en x , y , { , et que ces valeurs soient P et () , en sorte que les équations dont il s’agit soient réduites à la forme P = a , Q === b , il s’ensuit que les fonctions F ( x , y , ç ) et f ( x , y , ^ ) ne pourront être aussi que des fonctions de P et Q. Donc , puisque l’équation primitive d’où l’équation du premier ordre î' + + N = o est dérivée , est de la forme F ( x , y , ç )
= (ppz=(p [ f(x,y , j) ] , cette équation primitive deviendra fonct.(P,'Q ) = <p (fond. P , Q ) > la fonction marquée par <p demeurant arbitraire : d’où il résulte que inséra une fonction quelconque de Q ; de sorte que l’équation primitive de l’équation dont il s’agit , du premier ordre pourra être réduite en général k-cette forme très-simple , P =<p Q , la fonction marquée par la caractéristique <p étant arbitraire. Cette méthode réduit, comme l’on voit , la détermination de la fonction de deux. variables à celle de deux fonctions d’une seule variable ; et elle est sur-tout remarquable par la simplicité et la généralité du résultat. J’ai donné l’analyse précédente , parce qu’elle me paraît plus directe et plus naturelle que celles qui avaient été données jusqu’ici pour ce même objet , et j’ai cm qu’elle ne serait pas déplacée dans un écrit dont le but est de donner a l’analyse des fonctions toute la rigueur et la clarté dont elle est susceptible,.
103. La méthode précédente peut s’étendre aussi aux fonctions de plusde deux variables. Ainsi si u est une fonction de trois variables x , y , ^ , déterminée par l’équation F ( x , y , { , u) = <p(p,q.),p et q étant des fonctions données de x , y , ç , // , et <p ( p , q ) étant une fonction quelconque de p , q , on trouvera , par une analyse semblable à celle du n.* 101 , en regardant y er*^ comme des fonctions de x, dont on déterminera les fonctions primes y 1 et ^ , par la supposition que p et q demeurent constantes on trouvera , dis-je , une équation du premier ordre , délivrée de la fonction <p , de la forme situ ante , u 1 —J— L U/ -J— M,u -J- N = o ,
M , N , L étant des fonctions données de x , y , ^ , u , et u' , u, , ,u , étant
mo THÉORIE
les fonctions primes de u relativement à x , y et ? ; de sorte que toute équation entre x , y , $ , u et les fonctions primes de u , qui ne serait pas de cette forme , ne pourra pas être dérivée d’une équation primitive de la forme ci-dessus.
Pour les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente , on trouvera aussi , par une analyse semblable à celle que nous venons de citer, que si on regarde y , ^ , u comme des fonctions de x déterminées par ces trois équations du premier ordre
u 1 -f- N = o , Lu 1 -|- Ny 1 = o , Mu 1 -{- N f = o ,
et qu’on en cherche les équations primitives qui ^vront renfermer trois constantes arbitraires a, b ,c, qu’ensuite on tire de ces équations les valeurs de ces constantes, de manière que l’on ait a = P, b = Q , c = R; P , Q, R étant des fonctions données de x , y , f , u , on aura sur-le-champ P = <p( Q, R) pour l’équation primitive de l’équation proposée , dans laquelle <p ( P , Q) sera une fonction arbitraire de P et Q.
104. Mais si l’on avait , par la détermination de j en fonction de x et y, une équation quelconque du prejnier ordre entre x , y , ^ et ?, non réductible à la forme du n.° toi , la méthode du n.® toi ne servirait plus. Cependant on peut toujours , quelle que soit la forme de l’équation proposée , la ramener à la forme du n.° 103 , en y introduisant une variable de plus.
Soit donc proposée l’équation
la fonction indiquée par la caractéristique F étant donnée ; je suppose 7, = u, et comme 3 est fonction de x, y, il est clair que u sera aussi fonction de x , y ; donc , prenant les fonctions primes relativement à x seul , on aura 3', = u 1 . Maintenant* l’équation proposée deviendra ^ = F (x , y , { , u) ; prenant les fonctions primes relativement à y seul , et observant que ç et u sont fonctions de x , y , on aura = ■F’(y) + h F (?) + F (u), où les quantités F ( y ) , F (^) , F (u) dénotent les fonctions primes de F( x, y, ?, u), prises relativement aux variables isolées y, ç, u , ainsi
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. ni
que nous l’avons pratiqué jusqu’ici ; donc , substituant y et y' pour et , on aura l’équation
dans laquelle les quantités F (y) , F (f), F (u) seront des fonctions données de x , y , ç et y.
Cette équation serait donc susceptible de la méthode du n.° 103 , si « était une fonction des variables x , y , ç regardées comme indépendantes entre elles ; mais rien n’empêche de les regarder comme telles , et de regarder en même temps y comme une simple fonction d eï,y, pourvu qu’on exprime , d’une manière conforme à cette supposition , les fonctions primes u 1 fer u, qui se rapportent aux seules variables x et y.
Qu’on dénote par u' , u, et ,« les fonctions primes de y relativement; à x , y , 3 , et il est facile de voir , par les principes établis pour la formation des fonctions primes, que, puisque ^ est essentiellement une fonction de * et y , dont 3' et sont les fonctions primes relativement à chacune.de ces variables isolées , la valeur complète de la fonction prime de y relativement à x sera u 1 4“ ,u^ , et que la valeur complète de la fonction prime de u relativement à y sera u , -j- ; ces valeur»
sont celles qui , dans l’équation ci-dessus, sont représentées simplement par u 1 et u, ; mais on a supposé 3,= « , et par l’équation proposée on a 3' = F(x , y , 3 , y ) ; donc les valeurs à substituer à u et y , seront u' 4 " ,u F (x , y , ^ , u) , et u, + ,uu. Faisant donc ces substitutions , et ordonnant les termes suivant les quantités u' , y, et ,u , on aura «' — y ( F(y) + ,« [F(x,y,ç,y) — «FC")] — F(y ) — a F( ? ) = 0 , équation qui, étant comparée à la formule générale du n.° 103, donne L = — P (u ) , M = F(x, y , 3 y u) — u P {u) c t N= — F (y) - — u F ({); de sorte que les trois équations par lesquelles il faudra déterminer y , { , « en fonctions de x , seront
Ainsi la difficulté est réduite à trouver les équations primitives d’où.
i.ii THÉORIE
celles-ci peuvent ctre déduites ; mais il suffira d’en trouver une , et il serait même inutile de trouver les deux autres.
105. En effet, supposons qu’on ait trouvé les trois équations primitives avec les trois constantes arbitraires a, b, c , et soient P , Q, R les valeurs de ces constantes qui en résultent, on aura P = <p (Q, R) pour la forme générale de l’équation primitive en u ( n.° cité ).
Cette équation , où la caractéristique <p désigne une fonction arbitraire, satisfera dans toute son étendue à l’équation du premier ordre en u , dans laquelle u est regardée comme fonction de x, y , ç; mais u a été supposée égalé à et j doit être, d’après l’équation proposée, une fonction de x et y; donc l’équation P = <p ( Q, R) est trop générale , et il fatidrà encore .chercher les limitations qu’on doit donner à la fonction arbitraire relativement aux deux quantités P et Q, pour que cette équation réponde exactement à l’équation proposée.
Mais , sans entrer dans cette recherche , j’observe que , quelle que puisse être la vraie forme de la fonction arbitraire , on peut la supposer égale à une constante ; de sorte que P = a, c’est-à-dire, une des équations primitives des trois équations ci-dessus , avec une constante arbitraire , donuera une valeur de u , qui satisfera à l’équation en «.
Maintenant , en remettant pour u dans cette équation , on aura une équation du premier ordre entre x, y , ^ et , dans laquelle ^ devra être regardée comme fonction de x et y ; mais , puisque cette équation ne contient que la fonction prime , relative à y, , on pourra regarder * comme constante , et ^ comme une simple fonction de y ; on trouvera donc son équation primitive par l’analyse des fonctions d’une seule variable , et puisque .v est regardée comme constante , la constante arbitraire qui entrera dans cette équation primitive pourra être aussi une fonction quelconque de que nous nommerons p.
On aura ainsi une valeur de f en x et y avec les deux quantités a et p, qui satisfera à l’équation proposée. La constante a demeurera arbitraire; mais la fonction p devra être déterminée conformément à cette équation. Po’ir cela , il n’y aura qu’à y substituer l’expression de ^ dont il s’agit ; tous les termes qui renfermeront y se détruiront , et il ne restera que des
termes
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. u 3 termes qui contiendront x , p et p 1 ; de sorte que l’on aura de nouveau une équation du premier ordre entre les variables x et p, dont l’équation primitive donnera la valeur de p en x, avec une nouvelle constante arbitraire b.
De cette manière , on aura enfin une valeur de { en x et y, avec deux constantes arbitraires a et b, qui satisfera à la proposée indépendamment de ces constantes. Cette valeur ne sera que particulière ; mais on pourra , par la méthode du n.° 95 , trouver la valeur générale de { , qui contiendra une fonction arbitraire.
En effet, si/(x, y, 3 , a , b) ■= o est l’équation trouvée pour la détermination de ^ , on fera b = cp a , et on égalera à zéro la fonction prime de f(x , y , % , a , <pa) , prise relativement à la quantité a , regardée comme seule variable ; on aura une équation qui servira à déterminer a , et l’équation f (x , y , { , a , <p a) = o sera l’équation primitive cherchée de la proposée du premier ordre , la fonction marquée par la caractéristique cp demeurant arbitraire.
J’ai cru devoir exposer cette méthode avec tout le détail nécessaire pour la faire bien entendre, parce qu’elle est nouvelle et qu’elle réduit toute l’analyse inverse des fonctions de deux variables qui ne passent pas le premier ordre, à l’analyse des fonctions d’une seule variable.
10 6. Pour éclaircir cette méthode par un exemple dont le calcul soit assez simple , supposons que l’équation proposée soit de cette forme
?' = Ay + -f- /(*, [,),
A et B étant des constantes, etf(x, {,) une fonction quelconque donnée de x et de En rapportant cette équation à la formule générale du numéro précédent, on aura F (x , y , f , f , ) = Ay + B? + /(*, {,); donc F(x, y, ç, u ) = Ay + Bç u), et de-là, en prenant
les fonctions primes relativement à y et F‘ (y) = A, F 1 ( ç ) = B ,• de sorte qu’en faisant ces substitutions dans les trois équations du premier ordre entre x, y, f, u, la première d’entre elles deviendra u‘ — A — B u = o ; laquelle ne contenant que la variable u , qu’on suppose fonction de x , aura une équation primitive indépendamment des deux autres. En effet, si on multiplie cette équation par C **, e étant le nombre
dont le logarithme hyperbolique est l’unité, son premier nombre deviendra
la fonction prime de i/f‘" 4* ——g , comme il est aisé de s’ei»
assurer , en cherchant la fonction prime de cette quantité par les formulesdu numéro 32.
Ainsi , comme le second membre est nul , on aura , en passant aux
fonctions primitives ( u 4 ) e~ M * = a y a étant une constante
arbitraire.
Cette équation donnera donc u ^ a e* x , et substituant?
pour u sa valeur , on aura l’équation prime 4- tft' 1 ;
dans laquelle étant la fonction prime de { relativement à y seul , on* pourra regarder x comme constante , er 3 comme fonction de y. Ainsi r comme le second membre ne contient ni y ni j , sa fonction primitive
dans cette supposition sera simplement ( — —g 1- ae’ x ) y donc r
passant des fonctions primes relatives à y seul aux. fonctions primitives r en aura l’équation primitive
\ =(— V ae* x )y + p y
f étant une fonction quelconque de x qui peut être ajourée comme? constante , puisque sa fonction prime relativement à y esr nulle.
De cette expression de f on tirera celles des deux fonctions primes et 3, relatives à x et y ; et l’on aura
^ = aBe* x y p' T ?/ — £* +
ces valeurs étant substituées dans l’équation proposée , elle deviendra?
*Be’ x y 4 - p 1 = A y 4 “ B (
