m ( m + 1 ) y> 1 m ( w + 1 ) ( w + i ) y. + 1 1 g cc

où l’on voit qu’il a disparu un facteur du dénominateur de chaque terme.

Je multiplie maintenant l’équation précédente par x m '“", j’ai celle-ci :

y 1 x m ~ 1 4- ( n — 1) yx"-‘ = (n — 1 ) x m “ 2 + mxT ~ 1

I «(« + 0 m I w (wj-i) </n + z) ^ m + , , £, c

Je fais le premier membre =p' (p 1 étant la fonction prime de p), et je prends l’équation primitive , j’ai

P — — — x m ~ J + xT A — + I -| x 1 "* 1 + &c.

Je n’ajoute point de constante arbitraire ici , parte qu’elle peut être censée

renfermée dans p.

Maintenant , en comparant cette nouvelle sérié avec la proposée qu’ôn a supposée égale à y , il est visible qu’on aura l’équation p = * ••

x m — x 4. x*>y. prenant les fonctions primes, et substituant pour p 1 sa

valeur y‘ x m ~* -f* (n — 1) yx”* - " 2 , ou aura cette équation du premier ordre linéaire en y,

( n — i ) x m ~~ 1 -f- y'x m -f- y = y'x m “ * + ( n — 1) yx m ~~,

laquelle se réduit à cette forme ,

Cette équation étant susceptible de la méthode du n.° 67 , on pourra donc trouver la valeur de y en x, qui sera par conséquent la somme de la série proposée. Mais cette valeur devra contenir une constante arbitraire, qu’on déterminera de manière que y soit = 1 , lorsque x = o, comme il résulte de la série donnée.

Si la série n’avait contenu que des facteurs simples 1 , comme

m + 1 î I m -h 2 nfi * " r /1-+-1

on eût trouvé , par les mêmes opérations ,

__ . n — - L y» - » -f- x™ + AT m + l + *”*’ + &C.

Or , on sait que i x + x 3 + &c. = t 1 ; donc on aurait , dans

ce cas ,

prenant les fonctions primes , et substituant la valeur de p 1 , on aurait

y'x m ~ l + (n — i )yx m ~ i =(n — i)x m “*4- , ^ + m (\ — x y *

savoir ,

équation également linéaire du premier ordre.

Cette méthode s’applique à des séries plus compliquées , et peut conduire à des équations linéaires d’un ordre supérieur au premier. J’ai cru devoir au moins l’indiquer , étant presque la seule méthode générale pour la. sommation des suites.