SECONDE PARTIE
Application de la Théorie à la Géométrie et à la Alccaiique.
ioB. LjBs opérations ordinaires de l’algèbre suffisent pour résoudre les problèmes de la théorie des courbes , qui ne consistent que dans des rapports de lignes tirées d’une certaine manière et terminées aux courbes j. mais la détermination des tangentes , des rayons de courbure des aires ,, &c. dépeud essentiellement des opérations relatives aux foncrionsv
Suivant les anciens géomètre» une ligne droite est tangente d’une: courbe , lorsqu’ayant un point commun avec 1a courbe r on ne peut mener par ce point aucune droite entre elle et la courbe ; c’est par ce principe qu’ils ont dérerminé les tangentes dans le petit nombre des courbes qu’ils ont considérées. Mais , depuis que , par l'application de l’algèbre à la géométrie les courbes ont été soumises à l’analyse y on a envisagé les tangentes sous d’autres points de vue ; on les a regardées comme des sécantes dont les deux points d’intersection sont réunis , ou comme le prolongement des côtés infiniment petits de la courbe considérée comme un poligone d’une infinité de côtés ,, ou comme la direction du mouvement composé, par lequel la courbe peut être décrite; et ces différentes manières de considérer les tangentes ont donné lieu aux méthodes algébriques fondées sur l’égalité des racines des équations * et aux méthodes différentielles fondées sur le rapport des différence»
xi8 THÉORIE
infiniment petites , ou des fluxions des coordonnées. Ces méthodes ne laissent rien à désirer pour la généralité et la simplicité ; mais ceux qui admirent avec raison l’évidence et la rigueur des anciennes démonstrations, regrettent de ne pas trouver ces avantages dans les principes de ces nouvelles méthodes. La théorie des fonctions que nous avons développée dans la première partie , nous met en état de traiter le problème des tangentes , et les autres problèmes du même genre , d’après les notions et les principes des anciens , et de donner ainsi aux résultats de l’analyse le caractère qui distingue leurs solutions.
109. Pour considérer ces questions d’üne manière générale , soit y = fx l’équation d’une courbe quelconque proposée , et q = Fp l’équation d’une ligne droite ou d’une autre courbe qu’on veut comparer à celle-là , x et y sont l’abscisse et l’ordonnée de la première courbe,/? et q sont aussi l’abscisse et l’ordonnée de l’autre courbe , rapportées aux mêmes axes que x et y.
Pour que ces deux courbes aient un point commun relatif à l’abscisse x , il faut qu’en faisant p = x , on ait q = y ; donc y = Fx , et par conséquent Fx=fx.
Pour comparer maintenant le cours de ces courbes au-delà de ce point, on mettra dans leurs équations x -f- à à la place de x et de p , et l’on aura f(x -F i) et F( x + i ) pour les ordonnées répondant au même point de l’axe des x , et éloignées de la quantité i de l’ordonnée qui passe par le point commun. Donc la différence de ces ordonnées sera f (x + i) — F(.v-j-i), savoir , en développant les fonctions et observant que
l’on a déjà fx — Fx = o, i(f'x — F'x) H — '—(/"x — F ! 'x)
-j- - (f" x — F 1 " x) -j- &c. , et cette différence exprimera la distance
des points des deux courbes qui répondent à la même abscisse x -f- i.
On voit d’abord en général que cette distance sera d’autant plus petite , et que par conséquent les courbes se rapprocheront d’autant plus qu’il y aura plus de termes qui disparaïtrout au commencement de cette série.
Ainsi le rapprochement sera plus grand , si l’on a f'x = F' x , c’est-àdire , si les fonctions primes des ordonnées des deux courbes deviennent
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. rr?
égales pour la même abscisse x ; il sera plus grand encore si de plus les fonctions secondes f" x , et F " x des mêmes ordonnées dev iennent aussi égales, et ainsi de suite.
iio. Mais, pour voir de plus près en quoi consistent ces différent degrés de rapprochement , nous considérerons une troisième courbe quelconque , rapportée aux mêmes axes par les coordonnées r et s , et dont l'équation soit s = <pr, et nous supposerons d’abord qu’elle ait aussi avec les deux autres un point commun pour la même abscisse x , ce qui exige que les ordonnées à cette abscisse soient égales , et par conséquent que l’on air aussi <p x = f x = Fx.
Soir D la différence des ordonnées des deux premières courbes pour In même abscisse x 4 ~ i , et A la différence des ordonnées de la première courbe et de la troisième pour la même abscisse x -f- i , on aura
«t de même
Il est clair que la troisième courbe ne pourra passer entre les deux: premières , à moins que pour une valeur quelconque de i , aussi petite qt»’on voudra , la valeur de D ne surpasse celle de A , abstraction faite des signes. ;
Développons les fonctions f(x 4- i) , F(x -f* * ) > <p(x -f- i ) partiellement , suivant la formule du n.° 53 , et arrêtons-nous d’abord aux deux premiers termes. Nommant/ une quantité indéterminée, mai» renfermée entre les limites o et i , on aura par cette formule
et de même
F(x + / ) = Fx + i Fx 4 — P' C x 4- /) ,,
<p(x 4- i) = fx 4- iç>'x 4 <p" (x 4 ~j),
cr& la quantité j pourra n’érre pas la même dans les trois fonctions r pouryu qu’elle soit renfermée entre les mêmes limites.
xi» THÉORIE
Faisant ces substitutions dans les expressions de D et À , on aura , à cause de fx = F x = fx , en vertu du point commun aux trois courbes,
D = i(fx — F'x ) -h -f- [/"(x + y ) — F"(x +/’)]»
Supposons maintenant que les deux premières courbes soient telles que l’on ait f'x = F'x, la valeur de D se réduira à
et il est aisé de se convaincre que tant que le terme affecté de t dans l’expression de A ne sera pas nul , on pourri toujours prendre i asse^ petit pour que la quantité A devienne plus grande que la quantité D, abstraction faite des signes. En effet , en divisant ces deux quantités par i ,
il suffira que la quantité f'x — f'x soit plus grande que — —■ [ f" ( x -j- y )
• — F" (x -f- y) ] , ce qui est évidemment toujours possible, en prenant i aussi petit qu’on voudra ; et il est visible aussi qu’aussitôt que cette condition aura lieu pour une valeur déterminée de i , elle aura lieu , à plus forte raison , pour toutes les valeurs plus petites de i. *
Donc la troisième courbe ne pourra dans ce cas passer entre les deux premières, à moins que la quantité fx - — f'x ne devienne nulle, c’est-àdire, qu’on n’ait f'x = f'x, auquel cas la conclusion précédente cessera d’avoir lieu,
lit. Supposons ensuite que l’on ait à la fois F' x =fx et F" x z=f'x, en prenant trois termes dans le développement des fonctions, nous aurons par la même formule du n.° 53 ,
/(* + O *=/* + ifx + ~~f'x + /"'(* +/),
F(x + i) = Fx + iF'x -f F" x + F '" ( x + y),
f (x + i) = fx + if'x + -F- f"x + -~y f"'(x +y>
Cca
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. m Ces valeurs , substituées dans les expressions générales de D et A , à cause d a fx = Fx = cpx , et fx = F x , f" x = F" x , donneront
A = i (fx — fx) + (f'x — f'x) + ~j- [f" (x + j ) <P M (x +>)].
Ici , il est aisé de voir que , tant que les termes affectés de i et de t 1 dans l’expression de A ne seront pas nuis , on pourra prendre i assez petit pour que la quantité A devienne plus grande que D , abstraction faite des signes. Car divisant ces deux quantités par i , il suffira que
la quantité f'x — fx H (f'x — fx) soit plus grande que-^-y
[ f " (x -f- j) — F" (x +'/)]» ce qui est évidemment possible lorsque f'x — f x n’est pas nulle ; et si f x — fx est nulle , alors, en divisant encore par i , il suffira qu e f" x — f'x soit une quantité
plus grande que — ^ — [f (x -f j) — F" (x + ;)]; ce qui est encor»
visiblement possible , en diminuant la valeur de i tant qu’on voudra , pourvu que f" x — f x ne soit pas nulle.
Donc # dans ce cas , la troisième courbe ne pourra passer entre les deux premières , à moins qu’on n’ait à la fois f x =/ ? x et f x = f' x.
On prouvera, delà même manière, que si l’on a pour les deux premières courbes f x F x, j" x = F" x , et f" x = F" x , la troisième courbe ne pourra être menée entre les deux premières , à moins que l’on n’ait aussi fx = f x , f'x = f" x , f x = f" x; et ainsi de suite.
1 1 z. On peur conclure de-là en général , que si l’on a une courbe quelconque , et qu’une autre courbe donnée ait un point commun avec celle-là , ce qui exige que leurs ordonnées pour la même abscisse soient égales ; que , de plus, les fonctions primes de ces ordonnées pour la même abscisse commune soient aussi égales , alors il sera impossible qu’aucune autre courbe qu’on mènerait par le même point commun passe entre les deux courbes, à moins que la fonction prime* de son 01 donnée pour
iiî. THÉORIE
la même abscisse , ne soit aussi égale aux fonctions primes de leurs ordonnées.
Et si , outre les fonctions primes de ces ordonnées , leurs fonctions secondes pour la même abscisse étaient aussi égales , alors il serait impossible qu’aucune autre courbe qui passerait par le point commun , passât entre les deux courbes, à moins que les fonctions prime et seconde de son ordonnée ne fussent respectivement égales aux fonctions prime et seconde de l’ordonnée commune aux deux courbes , et ainsi du reste.
A proprement parler, ces courbes ne coïncident que dans le point où les ordonnées sont égales, et l’égalité des fonctions primes , secondes, &c. de ces ordonnées ne les rend pas plus coïncidentes dans d’autres points mais elle les fait approcher de manière qu'aucune autre courbe pour laquelle la même égalité n’aura pas lieu ne puisse passer entre elles.
C’est -là l’idée nette qu’on doit se faire de ces différens degrés de rapprochement des courbes , que l’on appelle communément contact , osculation , &c. et que la manière ordinaire de concevoir le calcul différentiel fait regarder comme des coïncidences plus ou moins rigoureuses , ou plus ou moins étendues.
1 1 3. Ayant donc une courbe quelconque représentée par l’équation y = fx, comparons-Ia d’abord avec une ligne droite quelconque. Puisque nous avons représenté en général par q = Fp l’équation de la courbe à laquelle on veut comparer la proposée ( n.° 10g), on aura, pour la ligne droite , Fp = a + bp , a et b étant deux constantes qui déterminent la position de cette droite.
La condition d’un point commun donne d’abord fx = Fx = a + b x et on pourra y satisfaire au moyen d’une des indéterminées a ou b.
Supposons ensuite fx = F' x, il est clair qu’en changeant dans a + bp , p en x, et prenant la fonction prime , on aura F' x = b ; donc fx = b.. Ainsi les valeurs de a et b seront déterminées par ces deux conditions ; car on aura b = f'x, et a =fx — x f x. Donc l’équation à !<j ligne droite deviendra q = fx — xf'x + pf x J P et <} étant les deux, coordonnées , et l’abscisse .v étant regardée comme constante.
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. ' iz 3 Je dis maintenant que cette droite a la propriété qu’aucune autre droite ne pourra être menée entre elle et la courbe.
Car , soit s = r = g -f- hr l’équation d’une autre droite quelconque ( n° t 1 o ) , pour qu’elle passe par le même point commun , il faudra que l’on ait aussi <px = fx ; et pour qu’elle puisse passer entre la courbe et la droite que nous venons de déterminer, il faudra déplus que l'on ait q>' x = f‘x(n. c iii ) ; ces deux conditions donnent g-\- hx =Jx et h = f x ; d’où l’on tire pour g et h les mêmes valeurs que nous venons de trouver pour a et b ; de sorte que cette dernière droite coïncidera avec la première.
Donc la droite déterminée par l’équation q = a -f- bp, où a = fx — .v f x et b = f x sera tangente de la courbe représentée par l’équation y = fx , au point qui répond à l’abscisse p = x ( n.° 108 ).
Puisque y = f x , on aura , suivant la notation employée dans la première partie , y' =f x ; donc les expressions de a et b seront plus simplement a = y — xy 1 et b = y'.
1 14. Dans l’équation à la ligne droite q = a -f- b p , il est aisé de voir que b exprime la tangente de l’angle que cette droite fait avec l’axe ,
et que 1 — est l’abscisse qui répond au point où la même droite
coupe t’axe. Donc cette droite étant tangente à la courbe au point où p = x , y 1 sera la tangente de l’angle qu’elle fait avec l’axe, et x
+ — b - = -y~ sera ce qu’on appelle la soin- tangente.
De plus , si on représente par s = a. + (ir une autre droite qui passe par le même poiur de la courbe , r et s étant les deux coordonnées de cette droite , on aura pour ce point r = p= x , s = q == y ; donc a -(- b x = «. + fix; et si on veut que cette droite coupe la première sous uti angle dont la tangente soit m , comme b et /3 sont les tangentes des angles que ces deux droites font avec le même axe , on au t'a
par les formules connues de la trigonométrie /3 = — m
b ni
- ; donc a~Ï2
où il n’y aura qu’à .substituer les valeurs de a et b.
Si on veut que cette seconde droite soit perpendiculaire à la tangente „
on fera m = 00 , c’est-à-dire , — ^ — = o , et l’on aura simplement
* = * + x ( b + -j~) — y + “y- » et 3 = ~ = y-.
Ainsi A — sera la tangente de l’angle que cette perpendiculaire
qu’on appelle communément normale , fera avec l'axe , et x -j
= — y y 1 sera la partie de l’axe comprise entre le point où elle coupe l’axe et l’ordonnée , c’est-à-dire , la sous-normale.
Si les deux coordonnées x, y de la courbe étaient exprimées en fonctions d’une troisième variable quelconque, alors prenant x' et y' pour les fonctions
primes de x et y relativement à cette autre variable , il n’y aurait qu’à
mettre par-tout dans les formules précédentes -~r- à la place dey'Çn.* 6 y).
Il serait superflu d’appliquer ces formules à des exemples ; car, pour peu qu’on sache les premiers élémens du calcul différentiel , on ne peut manquer d’appercevoir l’identité des formules précédentes avec les formules différentielles connues.
n j. Prenons maintenant le cercle pour le comparer avec la courbe proposée. L’équation générale du cercle rapportée aux coordonnées rectangles p et q est (/> — a)* -j- ( q — b) 1 = c 1 , où a et b sont les coordonnées qui répondent au centre, et c est le rayon du cercle. De-là on rire q = £ + V [ c 1 — (/> — a) 1 ] = Fp ; donc F x
Faisons donc jFx = f x = y, et F 1 x = f'x = y' , et tirons de ces équations les valeurs de a et b , la seconde donne V [ c 1 — ( x — a )*J
d’où l’on tire x — a =
V ( 1 *hy" )
; ensuite la
première donne y — b = V [ c* — ( x — a )* ] =
= . d onc
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. itç
v (*'+/•) ’ b==y + vc+/ : r;
Si on regarde le rayon c comme donné , il ne reste plus d’arbitraires dans l’équation ; et l’on en conclura que le cercle donné , dont le centra est déterminé par les coordonnées a et b, est tel qu’on ne pourrait mener entre lui et la courbe aucun autre arc de même rayon , mais placé différemment.
Car, pour une autre cercle du même rayon c , rapporté aux coordonnées r et s , et dont les coordonnées du centre seraient g et h, on aurait l’équation s = <pr = h -f- V [ — ( r — gY ] ; et pour que ce cercle eût le même point commun avec la courbe proposée , et pût passer entre cette courbe et le cercle déjà déterminé, il faudrait que l’on eût aussi <p x = fx = y et p' x =p x = y' ; équations qui serviraient à déterminer les deux quantités g et h or , il est visible que ces équations sont de la même forme que les précédentes , les quantités g et h étant à la place de a et b donc elles donneront pour g et h les mêmes valeurs que l’on a trouvées pour a et b ; par conséquent le nouveau cercle se confondra avec le cercle déterminé par ces valeurs.
Donc , suivant la même notion des tangentes , le cercle de rayon c , dont le centre sera déterminé par les coordonnées a et b , sera tangent à la courbe proposée dont x et y sont les coordonnées.
Comme cette conclusion a lieu , quelle que soit la valeur du rayon c ,, on peut regarder c comme indéterminé dans les expressions de a et b ; alors ces coordonnées a et b appartiendront à une ligne droite donc l’équation résultera de l’élimination de c , et qui sera par conséquent
Cette droite sera donc le lieu des centres de tous lès cercles qui peuvent être tangens de la courbe ; elle sera donc normale à la courbe ; en effet , en voir que l’équation de cette droite , où a et b sont les coordonnées , coïncide avec celle de la normale trouvée plus haut ( n.° 114. ).
xi 6. Maintenant, parmi ces différent cercles qui satisfont aux conditions. F x =/ x — y , F x = f' x = y' , on peut en trouver un qui satisfasse de plus à la condition F 11 x = f"x = y".
ii 6 THÉORIE
En effet , ayant trouvé ci-dessus F 1 x =
en déduira F"x = — -
, on
[ f ‘ (* a yy endroit V [ c 1 — ( * — a) 1 ] =
r ; ainsi on aura I équation
[c'—^x — ayy
p ; or , on a déjà trouvé dans le même
— j -, — -, — — / donc
on
aura y" = ^ ,• et de-là c =
Substituant cette valeur dans les expressions de a et b , on aura
Les trois constantes a , b , c qui entrent dans l’équation générale du cercle étant ainsi déterminées , on en peut conclure qu’aucun autre cercle ne pourra passer entre la courbe proposée et celui qui est déterminé par ces valeurs de a , b , c. En effet , pour qu’une autre courbe quelconque rapportée aux coordonnées r , s , et représentée par l’équation s = r, pût passer entre la courbe et le cercle dont il s’agit, il faudrait que l’on eût <p x =fx = y , f 1 x = f 1 x = y 1 et <p" x = f"x = y" ( n .* i i i ) ; or , si cette courbe est un cercle , prenant les quantités g ,h , k , à la place de a , b , c , on aura pour <p x , (f, 1 x , <p"x les mêmes expressions que pour F x, F 1 x , F"x, en substituant seulement dans celles-ci g , h , k, au lieu de a , b , c ; donc les trois équations que l’on aura pour la détermination de g , h , k , seront les mêmes que celles par lesquelles on a déterminé a , b , c ; donc les valeurs de g , h , h seront nécessairement les mêmes que celles de a , b , c ; par conséquent le nouveau cercle qui devrait passer entre la courbe et le cercle déjà déterminé , coïncidera avec celui-ci et n’en formera qu’un avec lui.
Donc ce cercle aura , relativement aux cercles , la même propriété que îa tangente à l’égard des lignes droites ; ce sera ce que les géomètres appellent cercle oscillateur ou cercle de courbure , parce qu’il sert à mesurer la courbure de la courbe.
ï-3 quantité f sera le rayon de ce cercle , qu’on nomme simplement rayon
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. n 7
de courbure , et les quantités a , b seront les coordonnées de la courbe qui sera le lieu de tous les centres de ces cercles.
117. On peut maintenant présenter cette théorie d’une manière plus générale.
Soient x , y les coordonnées de la courbe proposée , qui peut être quelconque , et p , q les coordonnées de la courbe qu’on veut lui comparer , et qui est supposée donnée.
Supposons que l’équation de cette courbe renferme , avec les variables p et q , des constantes indéterminées a , b , c , &c. , et représentons- la par F(p ,q, a, b , c... ) = o.
Si dans cette équation on change p en x , q en y , on a F (x , y , a , b j c... ) = o , équation qui donne la condition nécessaire pour que la courbe donnée ait un point commun avec la courbe proposée.
Dénotons par F( x , y , a , b , c... )' la fonction prime , par F(x , y , a , b , c... y la fonction seconde , &c. de la fonction F( x , y , a , b , c... ) en regardant y comme fonction de x , et a, b , c , &c. comme des constantes.
Cela posé , s’il n’y a que deux constantes indéterminées a et b , et qu’eu les détermine par les deux équations
alors la courbe donnée , dont l’équation est F (p , q , a , b) = o , serst tangente de la courbe proposée , au point où p = x.
S’il y a trois constantes indéterminées a , b , c , et qu’on les déterminer par les trois équations
la courbe donnée , dont l’équation est F ( p , q , a , b , c) = o , sera osculatoire de la courbe proposée , c’est-à-dire , aura même courbure, au . point qui répond à l’abscisse p = x ; et ainsi de suite.
Cela suit immédiatement des principes établis ci-dessus , car l’équation prime F ( x, y,a,b, c... )' = o , donne la valeur dey' en x, y , a, b,c..., l'équation seconde F ( x , y > a , b , c... )" = o donne celle de y" , en x , y , y' et a , b , c... ; et ainsi de suite.
On peut en général appeler contact du premier ordre le rapprochement
n8 THÉORIE
de deux courbes qui se touchent dans un point ; contact du second ordre t lorsqu’elles ont de plus la même courbure ; et ainsi de suite.
On peut appeler aussi les constantes a , b ,c , &c. , qui déterminent le contact , élémens du contact ,
Ainsi, le contact d’un ordre quelconque m dépendra de m-f- 1 élémens a , b , c y &c. : et la détermination de ces élémens se tirera de l’équation F( x , y , a , b , c... ) = o de la courbe donnée qui forme le contact , et des équations dérivées de celle-ci jusqu’à celle de l’ordre m nf .
La propriété analytique de ces contacts est donc que , lorsque deux courbes ont entre elles un contact d’un ordre donné , leurs ordonnées et les fonctions primes , secondes , &c. de ces ordonnées jusqu’à l’ordre du contact , sont les mêmes ; et leur propriété géométrique consiste en ce qu’aucune autre courbe , qui n’aura pas avec elle un contact du même ordre , ne pourra être menée entre l’une et l’autre ( n‘ i tz).
ii 8 . La courbe donnée qui forme le contact , étant par exemple une ligne droite dont l’équation la plus générale est y — a — b x = p , elle ne sera susceptible que d’un contact du premier ordre, puisqu’il n’y a que deux élémens a et b ; et l’on aura pour la détermination de ces élémens les deux équations y — a — b x == o , y' — b == c , d’où l’on tire
b = y' et a = y — xy' , comme ci-dessus ( n. ê i 1 3 ),
Prenons pour la courbe du contact un cercle dont l’équation la plus générale est ( x — -- a )* (y — b ) ? — c* = o , elle ne sera susceptible que d’un contact du second ordre , puisqu’il n’y a que trois élémens a , b , c. On déterminera donc ces élémens par les trois équations ( x - — a )* -f- (y — ^ T — ç* = o , * — a + ( y — b ) y' — o , et
ï -J— ( y — b) y 11 -f- y ' 1 = o , dont la seconde et la troisième sont
les équations prime et seconde de la première. De ces équations on
tire tout de suite y — b
comme plus haut ( n.° 1 1 6 ).
Si on prenait l’équation à la parabole y = a -J- bx + ex qui n’a gMssi que trois constantes arbitraires , on aurait de même , pour la
détermination
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. ng détermination de ces constantes , regardées comme élémens d’un contact
du second ordre , les équations y — a — b x — c x 1 = o , y' — b —
l'cx = o , y" — 2 c = o , lesquelles donnent c = — — , b = y' — xÿ>, a = y — xy' +
Mais si on prenait l’équation à la parabole cubique y = a -f- bx + ex’ + d x 1 , elle pourrait avoir un contact du troisième ordre , dont les élémens seraient a, b, c , d , et se détermineraient par les équations y — a — b x — ex* — d x’ = o , y 1 — b — i ex — 3 d x 1 = o ,
y — ic c =
6 dx = o , y'" — 6 d = o ; on aurait ainsi d = —
-, b = y — xy " -b
• , a = y — xy -f-
*Lz__
Et ainsi de suite.
11 g. Enfin, si on demande la courbe la plus simple qui aura avec une courbe proposée un contact d’un ordre quelconque m , prenant x et y pour l’abscisse et l’ordonnée de la proposée , p et q pour celles de la courbe cherchée , et regardant y comme fonction de x, q comme fonction de p , on fera
en prenant dans le second membre autant de termes qu’il y a d’unités dans m -f- 1 .
Car en prenant les fonctions dérivées relativement à p , et faisant ensuite p = x, on aura q = y, q' == y', q " = y", &c. , jusqu’à y = y ra ; donc ces deux courbes auront dans le point commun qui répond à p =x, les conditions nécessaires pour un contact de l’ordre m me ( n.°‘ iiz et h 7 ).
La courbe représentée par l’équation précédente , et qui est , comme l’on voit , du genre parabolique , aura ainsi dans le point commun à la courbe proposée , le cours le plus approchant de celui de cette courbe ,
ï 3 o ' THÉORIE
de manière qu’aucune autre courbe du même genre ne pourra passer eurre ces deux , si elle n’esr pas d’un degré plus haut.
no, La théorie que nous venons de donner sur le contact des courbes,, n’est qu’une suite de la théorie générale du développement des fonctions exposée dans la première partie. Maïs nous avons vu ( n* 40 et suiv. ) qu’il y a des cas particuliers où ce développement échappe à la forme générale , et que ces cas sont ceux où une valeur donnée de x rend infinies les fonctions dérivées &c. Alors le développement de f{ x -f- i) contiendra nécessairement, pour cette valeur de x, d’autres puissances de i que les simples puissances i , i 1 , &c. : et l’analyse des n.°* 1 ioet in se trouvera en défaut. Quoique ces exceptions ne portent aucune atteinte à la théorie générale , il est nécessaire , pour ne rien laisser à désirer , de voir comment elle doit être modifiée dans les cas particuliers^ dont il s’agit.
Supposons donc qn’en faisant x-=.m , la fonction /(x i ) développée en une série ascendante de i , soir de la forme f m + A ï -f- B + C *>+*••+» -+• &c. : fx, r, &c. étant toujours des nombres positifs.
Je remarque d’abord qu’on peut trouver les coèfficiens A , B, C , &c. r ainsi que les exposans À , /u , v, &c. , par une méthode semblable à celle 1 du n.° 11. On fera d’abord f {m -j- i) = f m + i x P, et on prendra pour i* la plus haute puissance de i qui divisera f ( m -+* i) — fm % après les réductions convenables , de manière que le quotient P ne devienne ni nul, ni infini , en faisant i = o. Lorsque m = o , l’exposant A pourra être négatif ; dans tout aurre C 3 s , il sera évidemment toujours positif. On fera ensuite P = A + r'' Q, A étant la valeur de P lorsque i = o H et on prendra pour i ' 4 la plus haute puissance positive de i , qui divisera- P — A , de manière que le quotient Q ne devienne ni nul , ni infini lorsque i = o. On continuera en supposant Q = B P R , B étant la valeur de Q lorsque i = o , et i’ la plus haute puissance positive de i > qui divisera Q — B , en sorte que le quotient R ne soit ni nul , ni infini , lorsque i = 0 ; et ainsi de suite. On aura , de cette manière /( m + i) =fm + ï P =fm + i' A + Ï + * Q=fm + l 'Ai +•£*!• B + R = & c.
On a , pour trouver les termes successifs d’une série , des méthodes plus <courtes ou d’un calcul plus facile, mais la précédente a l’avantage dp ne «développer la série qu’autant que l’on veut , et de donner la valeur du reste. Nous n’aurons pas besoin , pour notre objet , de connaître ces restes , il nous suffira de savoir qu’ils peuvent toujours s’exptijpaer pat , des quantités de la forme que nous venons de trouver.
Cela posé , considérons la courbe représentée par l’équation y = f x , x étant l’abscisse et y l’ordonnée ; supposons qu’elle ait un point commun avec une autre courbe dont l’ordonnée soit F x , et que ce point réponde à l’abscisse m , en sorte que l’on ait Fm = f m. Au-delà de ce point les ordonnées des deux courbes seront f(m + 0 » F ( m -f- t ) pour une abscisse quelconque m + i ; et leur différence , que je désignerai par D , sera f(m + i) — F {m + i ).
Développons la fonction F(m + i) comme la fonction f(m + t), et soit F( m + i ) = Fm + i> p, p = a -J- i' q , q = $ + ? r, &c. , <r , r , &c. étant des nombres positifs, et 3, &c. étant les valeurs de p , q , &c. lorsque i = o ; on aura d’abord , à cause de F m = f m , U = i* A — ii a -f- i' + * Q — i f * w q.
Les deux premiers termes du développement de f (m + O étant f m + i 1 A , et ceux du développement de F(m -f- i) étant F m -j- i' a., supposons qu’ils deviennent égaux, en sorte qu’on ait aussi p = \ et a. %= A; la première de ces deux conditions dépendra de la nature des fonctions désignées par f et F, mais la seconde pourra toujours être remplie comme la condition de Fm = f m par le moyen des constantes arbitraires a, b, c, &c. , qui entreront dans la fonction F x. On aura < 3 onc, dans ce cas, D = t**'* Q — i** r q; et il sera impossible qu’aucune autre courbe passe entre les deux courbes dont il s’agit, dans le même point qui répond à l’abscisse m , à moins que les deux premiers termes du développement de ) , <px étant l’ordonnée de cette
autre courbe , ne soient aussi les mêmes que ceux du développement de /(/n + i).
Car s’ils sont différens, ils ne pourront pas se détruire dans l’expression de la différence A des deux ordonnées et q> (m + i) , et l’on aura
en général A = i K A — i 1 a. -f- i x * Q — i f * r u , à cause de f m
= f n par la condition supposée de la coïncidence des courbes dans lepoint qui répond à x = m. Cette expression de A étant comparée à celle de D = + Q — i v+ ' q , il est facile de voir qu’a cause quelles
éxposans /x , a- , nr sont nécessairement positifs par la nature du développemental sera toujours possible de prendre i assez petit pour que la valeur de A surpasse celle de D , abstraction faite des signes , tant qu’on n’aura pas p = A et a. = A , comme dans les deux premières courbes. Donc , dans tout autre cas , la troisième courbe passera nécessairement en dehors des deux autres.
En poussant plus loin le développement des fonctions f(m -f- i)et F {m + «) , on prouvera , de la même manière , que si les trois premiers termes du développement de ces fonctions sont les mêmes , aucune autre courbe ne pourra passer entr’elles , à moins qu’elle n’ait aussi les mêmes*, termes communs avec celles-là ; et ainsi de suite.
On pourra donc appeler aussi , comme dans le n.° 117 , contact du premier ordre , du second , &c. , le rapprochement de deux courbes pour lesquelles les deux premiers termes , ou les trois premiers , ou , Sic. seront les mêmes dans les développemens des fonctions qui représentent les* ordonnées.
Ainsi , la courbe dont l’équation est y =fx étant donnée , la courbe la plus simple qui aura avec elle un contact du premier ordre au p&nt où. x = m sera représentée par l’équation y = fm 4- A ( x — m ) y et celle qui aura un contact du second ordre le sera par y = fm A {x — m f + B(x — tn f ** et ainsi de suite. Car en substituant m i pour .y, on aura simplement les deux premiers termes fm -f- A d, ou les trois premiers fm + Ad + Bd** , ou , &c. du développement de/( m 4- i). Ces courbes auront donc aussi dans le même point le cours le plus approchant de celui de la courbe proposée , et pourront par conséquent servir à err faire connaître les propriétés comme les points singuliers , les points de rebroussement , Si c. ; sut quoi \ oyez Y Analyse des-
lignes courbes de Cramer.
ni. Supposons maintenant que, dans l’équation y 4 " f x de la courbe.
proposée, on substitue —y— à la place dex, et qu’on développe la fonction
f x en une série ascendante de la forme A i K D C -f- Sec.
Si on fait la même chose pour l’équation y = F x d’une autre courbe ,
et que les premiers ternies du développement de F — j — soient les mêmes que ceux du développement de/ — , on pourra prouver, par un raisonnement semblable à celui qui a été fait ci-dessus , qu’on pourra toujours prendre i assez petit pour qu’aucune autre courbe , représentée par
l’équation y = <p x , et dont la fonction — développée de même en
série ascendante n’aurait pas autant de termes identiques avec ceux de ces courbes, ne puisse passer entre ces mèmescourbes dansles poinrs qui répondront à l’abscisse x = — 1 — -, et à toutes les abscisses plus grandes à l’infini,
puisque dès que la condition qui peut empêcher que cette courbe ne passe entre les deux autres , aura lieu pour une certaine valeur de i , elle aura lieu , à plus forte raison T pour toutes les valeurs de i plus petites.
D 'où l’on peut conclure que la courbe dont l’équation sera simplement y = A x~’ , ou y= Ax~ y -f -B x~ x ou , &c. ira en s’approchant conri-
nullement de la courbe proposée , à mesure que les abscisses x deviendront plus grandes , mais sans pouvoir jamais l’atteindre , de manière qu’elle parviendra à un terme passé lequel aucune autre courbe du même genre parabolique ou hyperbolique , qui ne sera pas d’un degré plus haut , ne pourra passer entre les deux courbes. Cette seconde courbe sera donc une asymptote de la première ; et cette idée de l’asymptote me paraît la plus simple et la plus générale qu’on en puisse donner , en même temps qu’elle est aussi la plus propre à caractériser la nature du rapprochement qui constitue le vrai asymptotisme.
1 u. Les problèmes qu’on peut proposer sur les tangentes, les rayons de courbure, &c. , et en général sur les contacts des courbes, sont de deux sorres , directsxou inverses. Les problèmes directs se réduisent toujours à trouver quelques-uns des éiémens du contact d’un certain ordre (né 1 1 7) ,
et comme ils ne dépendent que de l’analyse directe des fonctions , ils sont toujours résolubles analytiquement. Danslesproblèmes inverses , on suppose qu’il y a une relation donnée entre quelques-uns de cee élémens et les coordonnées x , y , avec les fonctions dérivées y 7 , y", &c. ; et cette relation en y substituant les expressions générales des élémens en x , y , y' , y" , &c. , devient une équation dérivée d’un certain ordre , dont il faut trouver l’équation primitive pour avoir celle de la courbe cherchée en x et y. Ces problèmes cônduisent donc immédiatement à des équations dérivées , et leur solution dépendant essentiellement de l’analyse inverse des fonctions , ss trouve sujette à toutes les difficultés de cette analyse.
Il y a cependant des cas où l’on peut les résoudre directement par des considérations particulières qui méritent d’autant plus d’attention , qu’elles tiennent à des finesses d’analyse qu’il est intéressant de connaître.
Ces cas sont ceux où la relation donnée n’est qu’entre les élémens mêmes du contact , sans que les coordonnées x , y , y entrent.
Pour donner d’abord par un exemple une idée de ces sortes de problèmes , supposons qu’on demande la courbe dont chaque tangente coupera deux ordonnées ( prolongées s’il est nécessaire ) répondant aux abscisses x = m et x = n , de manière que le produit des parties de ces ordonnées comprises entre la même tangente et l’axe des abscisses , soit toujours constant et égal à K;
Puisque l’équation à la tangente est q = a -f- bp (n* 113), en faisant successivement p = m et p = n , on aura les deux valeurs de q , dont leproduit devra être égal à K ; on aura donc entre les élémens du contact a et b l’équation
(a m b) (a -f- nb) = K.
La rftarche naturelle et directe serait donc de substituer à la place de a et b leurs valeurs y — x y 1 et y ' , (n.° cité); on aurait alors cette équation du premier ordre
[y + (m — x) y'] [y + ( n — x) y 1 ] — K, dont il ne serait pas aisé de trouver l’équation primitive par les méthodes
Ordinaires.
Mais si on prend les fonctions primes de cette équation , il vient celle-ci ly + (n — x)y'](m+x)y" ±[y + (m — x)y'] ( n — x)y H =o, dont tous les termes se trouvent multipliés par y" ; de sorte qu’elle peut se décomposer dans ces deux
y" =o.et [y-d-(n — *)y'](« — *) + [y + C™ — •*')/](« — *)=o.
La première , qui est du second ordre , donne sur-le-champ celle-ci du premier y 1 = A, où A est une constante arbitraire ; ainsi par les principes établis dans le n." 59 et suivans , on aura l'équation primitive complète de la proposée , en y substituant simplement cette valeur de y'.-
Cette équation sera donc de la forme (y — Ax -f- m A)(y — Ax-\~n A) = K ; savoir , en développant les termes (y — Ax y + Cy — Ax) ( m -\- n) A + mn A 1 — K = o. D’où , en extrayant la racine , on tire y = Ax — B ; en prenant pour B ■ , la racine de l’équation B 1 -f- ■+■ n) AB -+■ mn A z — K o. D’bù l’on voit que l’on n’a de cette manière qu’une équation à la ligne droite.-
En effet , l’équation y" = o ayant donné y' = A, celle-ci donnera l’équation primitive y = Ax -f - B , A et B étant deux constantes arbitraires ; mais par la théorie des n. 01 cités ci-dessus , ces deux constantes ne peuvent pas être arbitraires à la fois ; car il faut que l’équation trouvée coïncide avec la proposée , pour une valenr de x ; or , faisant x = o on a y = B , y' = A donc on aura entre A et B cette équation de condition ( B + mA) (Ji -\r nA ) = K , qui est la même que celle que nous avons trouvée ci-dessus , pour la détermination de B en -A.-
Venons maintenant à l’autre équation qui n’est que du premier ordre.- Celle-ci servira également à trouver une équation primitive de la proposée
par l’élimination de y 1 . En effet , elle donne y' = — .
valeur qui étant substituée dans la proposée , la réduira à celle-ci . . 4 K(m arï(n x)
Équation pour l’ellipse ou pour l’hyperbole , suivanr que K sera une quantité positive ou négative. Le grand axe sera m — n , le petit axe V K , et les deux sommets seront aux points où x = m et où x = n r
La propriété des tangentes qui nous a conduits à cette équation , est démontrée dans la proposition XLII. èm * du troisième livre des coniques d ’ Apollonius ; mais l’analyse précédente a l’avantage défaire voir que cette propriété appartient uniquement aux sections coniques.
113. Si on examine maintenant les deux solutions qu’on vient de trouver , il est facile de voir que la première ne donne que la ligne droite même qu’on a supposée tangente , en regardant les deux élémens a et b com me constans ; car l’équation y = Ax B ne diffère point de l’équation
q = a -f- bp de cette tangeote , l’équation entre les deux constantes A et B étant évidemment la même que celle que l’on a supposée entre les quantités b et a.
En effet , il est visible que toute droite peut résoudre le problème , pourvu qu’il y ait entre ses deux constantes , la relation donnée par les conditions du problème ; et comme il reste une constante arbitraire , il s’ensuit que l’équation de cette droite doit être l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre donnée par le problème. Donc , analytiquement parlant , le problème est résolu complètement par l’équation même y = a + bx , a et b étant deux constantes , dont l’une est arbitraire , et l’autre en dépend par l’équation {a -j- m b ) ( a -j- n b ) = K.
A l’égard de la seconde solution , comme elle ne contient point de constante arbitraire , elle est à la rigueur moins générale que la première, et ne peut être qu’un cas particulier de celle-ci , ou bien une solution singuli^e , provenant de la considération que nous avons développée dans le n, # 71.
Il est d’abord facile de se convaincre que cette dernière solution ne peut être un cas particulier de la première ; car il faudrait pour cela que l’équation y = ax -f- b de la première pût satisfaire à l’équation
= o de la seconde , en déterminant conve-
nablement sa constante arbitraire , et par conséquent qu’en éliminant y de ces deux équations , la résultante ne contînt plus que des constantes , ce qui o’esr pas.
Elle
Elle ne peut donc être qu’une solution singulière ; et en effet, nous avons vu ( n." 7 1 ) que le caractère de l’équation primitive singulière de toute équation du premier ordre de la forme y 1 = F (x, y) est de rendre infinie la fonction F 1 (y), c’est-à-dire , la fonction prime de F (x, y) prise relativement à y seul. Or, l’équation de notre problème ly + (.m — *) y'] [y + (n — *)y'] = K, étant mise sous la forme précédente, donne
d’où l’on tire
J a(m x) {n x)V[4K(m x) (n — xj-f -(m n)‘y] *
où l’on voit que F 1 (y) devient infini par l’équation 4 K ( m — x ) ( n — x) (m — n)* y 1 = o , qui est celle de la seconde solution.
1x4. En examinant la manière dont nous sommes parvenus à cette solution , on verra qu’elle dépend de cette circonstance , que les fonctions primes de a et b regardés comme fonctions de x , y , y* , sont entr’elles dans un rapport qui ne contient pas la fonction seconde y"; en effet, ayant b = y et a = y — xy 1 , on a b 1 = y" et a! = — xy" , ce qui
donne ~~ = — x ; de sorte que prenant la fonction prime de l’équation
(a m b) ( a -f - n b) = K , et divisant par b 1 , on a une équation qui est également du premier ordre , et le résultat de l’élimination de y' entre ces deux équations, donne l’équation aux sections coniques trouvées plus haut. Or, je considère que les quantités a et b sont données par les équations y = a -f- b x et y' = b ( n.* 1 18). Ainsi l’équation dont il s’agit est le résultat de l’élimination de a , b et y' entre les équations y = a 4- bx, y 1 = b, {a -f- mb ) (a -f- nb) = K , et l’équation prime de cette dernière divisée par a 1 . On obtiendra donc aussi le même résultat en éliminant d’abord une des deux quantités a ou b entre les deux équations y = a -f- bx et (a + mb) (a -f- nb) = K, et ensuite éliminant l’autre par le moyen de l’équation résultante et de son équatio*
i 3 8 THÉORIE
prime prise en faisant varier cette dernière quantité. Ainsi éliminant d’abord a op a l’équation
Prenant l’équation prime relativement à b , et divisant par b on a [y + (m — x) b] (n — *) + [y + (ra — x ) (m — x) = o,
d’où l’on tire b = - f x -~ n — valeur qui , substituée dans
l’autre équation, donnera comme ci-dessus l’équation (m — n) 1 y* -|- 4 K (m — x ) ( « — x ) = o , qui renferme la seconde solution.
On peut encore considérer que l’équation (a -f mJ) (a + = K
qui contient la relation entre a et b , dans laquelle consiste la condition du problème , donne, par la résolution, a = fb, valeur qui étant substituée dans l’équation y = a -J- bx, la réduit à celle-ci y =fb -f ■ b x, qui ne contient plus que la constante arbitraire b, qu’on éliminera par l’équation prime prise relativement à b, savoir, f'b -f- x = o, ce qui donnera encore le même résultat. Or , par ce qu’on a vu ci-dessus , l’équation y = fb + bx est l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre donnée par le problème ; donc l’équation résultant de l’élimination de b entre celle-ci et l’équation fb-\-x = o , sera précisément l’équation primitive singulière , d’après la théorie du n.° 71.
D’un autre côté, comme l’équation y = f b -f- bx est l’équation générale des tangentes de la courbe cherchée ( n.° 1 zz) , on en peut conclure que pour avoir l’équation de cette courbe , il n’y a qu’à regarder la constante arbitraire b qui différencie les tangentes , comme variable , et la déterminer par la condition que l’équation prime relative à cette seule variable ait lieu en même temps. Et de-là on voit aussi que l’équàrion primitive singulière que nous avons trouvée pour l’équation du premier ordre donnée par le problème , n’est autre chose que l’équation de la courbe formée par l’intersection continuelle des droites représentées par l’équation primitive complète de la même équation du premier ordre.
115. Après avoir ainsi éclairci la matière par un exemple, nous allons la traiter d’une manière générale. Soit, comme dans le n.° 117*
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 139 F ()f, y , a , b) = o l’équation de la courbe du contact , que nous avons supposée ci-dessus une ligne droite , et soit 9 ( a , b ) = o l’équation qui détermine la relation entre les deux élémens a et b , donnée par la nature du problème proposé ; suivant la théorie donnée dans ce même numéro , il faudra déterminer a et b par les deux équations F ( x , y , a , b) = o et F (x , y , a , b) 1 = o.
Or , nous avons vu (n." 53 ) que si on élimine a et b des trois équations F (x, y, a, b) = o,F(x,y,a,b)' = o et F (x,y, a, b)"— 0,0a a une équation du second ordre entre x , y , y 1 et y" , que nous désignerons par V = o , et dont F (x, y , a , b) = o sera l’équation primitive complète , a et b étant les constantes arbitraires ; nous y avons vu aussi que si on élimine a oui des deux premières , les deux résultantes seront des équations primitives du premier ordre de la même équation V = o , et dont celle-ci sera le résultat, en prenant de nouveau les fonctions primes et éliminant la constante qui y était restée ( n.° 60 ). Donc , si de ces deux premières équations on tire les valeurs de a et‘b , que nous désignerons par P et Q, en sorte que l’on ait a = P, b = Q, P et Q étant des fonctions de x , y et y 1 ; qu’ensuite on prenne les fonctions primes de ces équations , en y regardant toujours a et b comme constantes , on aura les équations du second ordre P 1 = o , Q 1 = o , qui devront coïncider avec l’équation V = o ; de sorte qu’on aura nécessairement P 1 = M F", Q 1 = N V, M et N étant des fonctions de x , y et y' sans y" ; car si , par exemple , M contenait encore y " , alors l’équation P' = o donnerait , outre y — o , cette autre équation du second ordre M= o , qui ne serait pas comprise dans la même équation y = o ; ce qui ne se peut.
Substituant donc ces valeurs de a et b dans l’équation du problème <p (a , b) = o,on aura 9 ( P, Q) = o ; prenant ensuite l'équation prime , on aura P' <p' ( P ) -j- Q <p' ( Q) = o , en dénotant par <p' ( P ) ■et <p' ( Q) les fonctions primes de 9 (P, Q) prises relativement à P et Q isolés ; donc mettant pour P' et Q 1 les expressions ci-dessus , cette dernière équation deviendra V [M 9' (P) + N <p‘ (Q)] = o , laquelle se décompose naturellement en ces deux-ci , V = o et M 9' (P) -fiY9'(Q) =0.
i 4 o THÉORIE
La première V = o , sera du second ordre et aura pour équation primitive complète , F (x, y , a , b) = o , c’est-à-dire , l’équation même de la courbe du contact , dans laquelle une seule des deux constantes a et b sera arbitraire , l’autre étant déterminée par l’équation même dit problème <p (a , b) = o.
L’autre équation M ç 1 (P) + N <p" ( Q ) = o ne sera que du premier ordre et sans constante arbitraire ; mais étant combinée avec l'équation ç (P, Q) = o, elle donnera, par l’élimination dey 1 , une équation entre* et y qui sera l’équation primitive singulière de cette dernière <p(P ,Q) = o.
Cette équation sera donc le résultat de l’élimination des quantités a , b et y' entre les quatre équations F(x, y, a,b) = o ,F( x, y, a, by = o, ç> (a , b) et M tp 1 (a) -f- N <p' (b) = o. Or , en regardant a et b comme des fonctions de x et y , les équations a = P , b = Q résultant des deux premières , donnent ces deux équations primes a 1 = P 1 = M V
et b 1 = Q 1 = NV , donc = — J — ; de sorte que la dernière
équation se réduira à celle-ci 9' ( a) + — — — = o , qui n’est autre
chose que l'équation prime de <p (a , b) = o , divisée par a 1 . D’un autre côté , dans la supposition de a et à variables , il est évident que la fonction prime de F(x,y,a, b) n’est pas simplement F (x , y , a , b ) 1 , mais qu’il y faut ajouter les termes dus à la variation de a et b , qui sonr a' F {a) + b 1 F ( b ) j en désignant par F (a) et F (b) les fonctions primes de F(x, y , a ,b) prises relativement à a et à à regardés comme seules variables. Donc prenant les fonctions primes de l’équatioo F (x , y , a , b ) = o , on aura
F ( * , y , a , b y + a' F {a) + b' F (b) — o; mais on a déjà l’équation F(x , y , a, b)‘ = o ; on aura donc nécessairement dans la supposition de a et b variables , l’équation a' F (a)
-f - b 1 F {b) = o , d’où l’on tire — - — = fT — , c’est la valeur
de —jq — , qu’on peut trouver directement de cette manière , et qu’ort
voit clairement ne pouvoir être qu’une fonction du premier ordre , puisqu’elle ne contient que les quantités x , y et a , b.
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 141 Donc l’équation dont il s’agit sera , en dernière analyse , le résultat de
l’élimination d ea,b,et — ~ — entre les quatre équations F(x, y, a, b) = o,
dont les deux dernières sont les fonctions primes des deux premières prises relativement à a et b , et divisées par a! ; l’équation F (x , y , a , b) = o n’est plus nécessaire ici , et se trouve remplacée par l’équation F {a) -j-
— - — F ( b ) = o , qui en est une suite. Donc , si on réduit d’abord les
deux premières en une seule par l’élimination de b , il ne s’agira plus que de prendre l’équation prime de celle-ci relativement à a seul , et d’éliminer ensuite a par le moyen de ces deux , le résultat sera nécessairement le même qu’auparavant.
Si donc on tire de l’équation 1 p (<z , b) = o , donnée par les conditions du problème entre les élémens du contact a , b , la valeur de b en a, et qu’on suppose b = \J, a ( étant aussi la caractéristique d’une fonction) , qu’on substitue cette valeur dans l’équation F(x ,y , a , b) = ode la courbe du contact , qu’ensuite on prenne la fonction prime de F (x , y r a , yf a) relativement à a seul , fonction que nous désignerons par a' F (a , \J/ a ) ; a' étant la fonction prime de a regardé comme fonction de x , on aura ces deux équations F (x, y , a , -J, a) = o , et F ( a r = o , d’où il faudra éliminer a ; et il est visible que le résultat ne sera autre chose que l’équation primitive singulière de l’équation du premier ordre , dont F (x , y , a, yf a) = o sera l’intégrale complète <«•*
La courbe représentée par cette équation singulière sera proprement celle qui résout le problème , et qui aura la propriété d’être touchée dans chaque point par une des courbes représentées par l’équation F (x , y, a , ■J, a) = o , a étant constant pour la même courbe , mais variable d’une courbe à l’autre.
1 16. La manière dont nous sommes parvenus à cette dernière solution est la plus directe , analytiquement parlant ; mais on y peut parvenir plus
i4i THÉORIE
simplement par la considération suivante. Puisque le problème consiste à trouver la courbe qui aura , dans chaque point, un contact du premier ordre avec la courbe représentée par l’équation F(x , y , a a) = o , a étant un paramètre indéterminé , il s’ensuit (n.° 1 1 7 ) que l’équation de la courbe cherchée doit donner pour y et pour y' des fonctions de x de la même forme que celles qui résultent des équations F(x,y ,a,-^a) = o, et F (x, y, a, -^ay = o , en désignant par F ( x , y , a , a ) la fonction prime de F(x, y, a, yf,a) relative à x et y. Or , a étant une quantité indéterminée , on peut la supposer telle que la courbe cherchée , soit représentée par la même équation F ( x , y , a , a) = o , pourvu que l’équation prime de celle-ci soit aussi de la même forme F ( x , y , a , ^ a y = o. Mais si a est une quantité variable , la fonction prime complète deF (,x, y, a, -J,a) sera , comme nous l’avons vu ci-dessus ,
F 1 (x, y, a, ^a) a' F 1 ( a , -J, a ). Donc la condition dont il s’agit sera remplie si on détermine a par l’équation F 1 ( a , \f, a ) = o ; ce qui donnera la dernière solution que nous venons de trouver.
Toute équation entre x ,y et un paramètre indéterminé a , que nous dénoterons , pour plusde simplicité , par j ( x , y , a ) = o , représente , en donnant successivement à a toutes les valeurs possibles , une famille d’une infinité de courbes qui varient de forme ou de position , ou de l’une et de l’autre à la fois , à raison des variations du paramètre ; et si on élimine ce paramètre par le moyen des fonctions primes ( n.° 55 ) , l’équation résultante du premier ordre appartiendra à toute cette famille de courbes. Elle appartiendra donc aussi à la courbe formée par toutes ces courbes , et qui les enveloppera , ayant avec chacune d’elles un contact du premier ordre. La même équation / ( x , y , a ) = o , ainsi que son équation prime f(x t y,a )' = 0, prise relativement à x et y seuls , devront donc avoir lieu aussi pour chaque point de cette courbe enveloppante , en regardant le paramètre a comme une quantité variable.
Or , dans cette hypothèse, la fonction prime complète de f( x ,y , a) est f( x , y , a y + a'f ( a ) , etl dénotant par f (a) la fonction prime prise relativement à a seul , et par a 1 la fonction prime de a , regardée comme une fonction quelconque de x ; donc il faudra que la valeur de a /soit telle que l’on ait /' ( a ) == o , ce qui donnera l’équation primitive
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 143 singulière de l’équation du premier ordre qui répond à l’équation f( x , y , a) = o , dans laquelle a est regardée comme une constante arbitraire ( 7a ).
D’oii l’on peut conclure , en général , que l’équation primitive singulière d’une équation du premier ordre représente toujours la courbe enveloppante de toutes les courbes qui peuvent être représentées par son équation primitive complète , en donnant à la constante arbitraire toutes les valeurs possibles.
117. Considérons encore les contacts du second ordre , et prenant F{ x ,y , a , b , c ) = o pour l’équation de la courbe du contact, supposons qu’il y ait entre les trois éléniensa,é,c la relation donnée par l’équation f ( a , b , c ) = o. Comme les valeurs de ces élémens doivent se tirer des trois équations F ( x , y , a >b , c) = o , F (x , y , a , b , c y = o , F(x,y,a,b,cy = o ( n.' 1 i 7 ) j si on désigne ces valeurs par P , Q , R , l’équation du problème sera <p ( P , Q t R ) = o , qu’on voit être du second ordre. Les trois équations a = P, b = Q , c = R donneront , en prenant les fonctions primes dans la supposition de a , b , c constantes , la même équation V = o , du troisième ordre qui sera le résultat de l’élimination de a , b , c , au moyen des trois équations précédentes , combinées avec l’équation tierce F ( x , y , a , b , c y" = o ( n° 55 ) ; par conséquent on aura nécessairement P 1 = M V , Q' = NV 9 R' = LV, M , N , L étant des fonctions de x , y, y et y" sans y"' ; de sorte qu’en prenant les fonctions primes de l’équation cp ( P, Q, R) = o , on aura P'f 1 ( P ) Q' ç>' ( Q ) -f- R'<p' (R) = o ; savoir t
V[M<p' (P) + Ntff (Q) -f L 9 ' (R)] =z o, équation qui se partage naturellement dans ces deux- ci , V = o et M<p' (P) + N<p'{Q) -f L<p' (R) =: o,
dont la première est du troisième ordre , et la seconde n’est que du deuxième.
L’équation V = o a , comme nous l’avons déjà vu , pour équation primitive complète , l’équation même F { x , y , a , b , c) = o de la courbe du contact, dans laquelle a, b, c sont les trois constantes arbitraires^
mais comme l’équation du problème (p ( P , Q , R) = o n’est que du second ordre , il doit y avoir une relation entre ces trois constantes , qui les réduise à deux arbitraires ; et cette relation est donnée par l'équation <p ( a , b , c ) = o qui résultent de la précédente , en substituant les valeurs de P, Q, R , tirées des équations a = P , b = Q , c = R.
L’autre équation étant du second ordre , on pourra par son moyen éliminer la fonction y 11 de l’équation ( P, Q , R) = o , et la résultante sera une équation primitive de celle-ci du premier ordre , mais qui ne contiendra point de constante arbitraire. Cette équation sera donc le résultat de l’élimination des quantités a , b , c.et y" au moyen des équations F(x,y, a, b, c) = o , F(x,y, a , b, c)'= o,F( x,y, a, b, c)' ; = o, q> ( a , b , c ) = o , et Mtp 1 (a) -j- Ntp' (b) +■ L<p' (c) = o. Or , en regardant a , b , c comme des fonctions de x , y, la fonction prime d e F ( x , y , a , b , c ) sera F ( x , y , a , b , c y -j - a 1 F 1 (a) b 1 F 1 (b) -j- d F 1 ( c ) , en dénotant simplement par F 1 ( a ) , F 1 (b), F' (c) les fonctions primes de F ( x , y , a , b , c) prises relativement à a , b , c , regardées comme seules variables ; donc les deux équations F( x , y , a , b , c) = o et F ( x , y, a , b , c) 1 — o emporteront celle-ci a' F' {a) + P F' ( b ) + c 1 F' (c) = o. De plus , la fonction prime de F( x , y, a , b , c )' sera , par la même raison , F ( x , y, a , b , c )" + a' F 1 ( a y + b 1 F 1 ( b J + c' F 1 ( c )' , en dénotant de même par F 1 ( a)' , F 1 ( b y , F' ( c )' lés fonctions primes de F ( x , y, a , b , c )' , prises relativement à a,b,c, regardées comme seules variables ; et comme dans la formation de ces fonctions dérivées on regarde les quantités a, b, c comme indépendantes de x et y , il est aisé de prouver , par les principes établis dans la première partie ( n.*86), que les fonctions F 1 ( a )' , F 1 (by , F' ( c )' seront la même chose que les fonctions primes des fonctions F 1 ( a) , F 1 ( b) , F'(c), prises relativement à x et y. Donc les deux équations F(x, y, a, b, c) 1 = o et F( * , y , a , b , c )" = o emporteront encore nécessairement cette autre-ci a 1 F' ( a )' + b 1 F 1 (b) 1 + c' F 1 ( c )' = o.
Si donc on combine les deux équations F 1 (a ) -f- — ^ F 1 (b) -j-
-4- P ( c ) = o , F 1 ( * y + 4- F' (by + F' ( c y = o
avec
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. i 4 *
if y
avec l’équation <p' (n) -| — <p 1 (b) + — j — <p' (c) = o, qui résulte
de ç> {a, b , c) = o , en prenant les fonctions primes, on aura , par l’élimination des quantités — -, — et — , une équation en a,b ,c c t x , y, y 1
sans y", laquelle sera équivalente à celle qu’on aurait déduite des deux équations F (x , y , a , b , c)' = o et M <p' ( a ) -f- N ç>' ( b ) -j- L <p‘ (c) = o , par l’élimination de y". Ainsi , il n’y aura plus qu’à éliminer a , b , c , au moyen des équations F ( x , y , n , i, c) = o , F ( x , y , a , b , c )' = o et <p (a , b , c) = o , et le résultat final sera la même équation primitive du premier ordre de l’équation (p (P, Q,R ) =o, laquelle ne contenant point , par sa nature , de constantes arbitraires , ne pourra être qu’une équation primitive singulière.
En effet , si pour simplifier la solution on commence par tirer la valeur de c de l’équation p ( a , b , c) = o, et qu’on la représente par (a ,b),
alors la solution se réduira à éliminera , b et — ~ — entre les deux équations
et les deux équations primes de celles-ci prises relativement a. a et b seuls et divisées par a' , procédé analogue à celui du numéro 124.
118. En général , si l’on a une équation en x , y et deux constantes arbitraires a et b , que nous représenterons par f(x , y , a , b) = o ; en éliminant ces deux constantes par le moyen des deux équations dérivées /(** y, a , b y = o et/ ( x , y , a ,b) n = o , on aura une équation du second ordre V' = o, qui appartiendra à toutes les courbes représentées par l’équation f{x, y, a , b) = o, en donnant à a et b des valeurs quelconques , et dont par conséquent celle-ci sera l’équation primitive complète.
Donc elle appartiendra aussi à la courbe , ou aux courbes formées par toutes ces courbes , et qui les envelopperont de manière qu’elles aient avec chacune d’elles un contact du second ordre , c’est-à-dire , dans lequel les y, y' et y" soient les mêmes. Mais les quantités a et b étant constantes dans chaque courbe enveloppée , et variables pour les courbes
i4* THÉORIE
enveloppantes , pour que les y, y' et y" soient les mêmes dans les. clercs hypothèses , il faudra que les équations d’où elles dépendent soient aussi les mêmes. Or , dans la supposition de a et b variables , l’équation f (x , y , a , b ) = o donne l’équation prime / (x,y, a , b)' -f- a' f ( a ) b 1 f (b) = o ; donc , pour que cette équation se réduise à f {x y y , a, b)' = o , comme dans le cas de a et b constantes , il faudra que l’on ait a! f' (û) -f* b' f ( b ) = o. De la même manière l’équation f ( x , y , a , b )' = o donne , dans le cas de a et b variables , cette équation dérivée
laquelle ne peut se réduire à f (x , y , a , b)" = o , comme dans le' cas de a et b constantes , qu’en supposant a 1 f 1 ( a )' b' f ( b )' = o.
Ayant ainsi les quatre équations f(x,y>a,b) = o,f(x, y, a , b)'= o T
f (a) ri {b) = o et f (a) 1 H j- f‘ (b)' — o , il n’y
aura qu’à éliminer a , b et — - — , et l’on aura une équation du premier
ordre entre x , y et y ' , qui sera celle des courbes enveloppantes , et qur sera en même temps l’équation primitive singulière de la même équatioa V== o.
On voit par-là comment la théorie des équations primitives singulières peut s’étendre au second ordre et aux ordres supérieurs. On voit en même temps que ces équations représentent toujours des courbes enveloppantes , et qui ont des contacts d’un ordre donné avec les courbes enveloppées , représentées par les équations primitives complètes , dans lesquelles les constantes arbitraires varient d’une courbe à l’autre. Ceci peut servir de supplément et de complément à la théorie des équarions primitives exposée dans la première partie ( n.° y z ).
Au reste , de même que les quatre équations ci-dessus f(x,y, a, b) = o , f(x,y J a,b)' = o,p(a) + -~~/'(6) = o,/'(n)' + ~-f(b)'= o,
donnent, par l’élimination de a, b et , une équation du premier ordre
en x , y et y', ces équations donneront également , par l’élimination de ces
trois dernières quantités , une équation en a , b et — y— , qui renfermera
les relations que doivent avoir entr’elles les deux variables a et b ; d’où l’on voit que ces quantités qui sont indépendantes entr’elles dans chacune des courbes enveloppées , ne le sont plus lorsqu’elles se rapportent à la courbe enveloppante. On trouvera des résultats semblables pour les équations et les courbes des ordres supérieurs.
119. Supposons qu’on demande la courbe qui aura dans chacun de ses points un contact du second ordre avec un cercle représenté par l’équation (x — a) 1 + (y — by = c\ et dont les élémens du contact a , b, c aient entr’eux la relation déterminée par l’équation <p(a,b , c) = o.
La marche naturelle pour résoudre ce problème , serait de substituer dans cette équation les valeurs des élémens a , b , c trouvés plus haut { n.° 118), ce qui donnerait une équation du second ordre , d’où il faudrait remonter à l’équation primitive.
Mais , sans chercher cette équation du second ordre , on peut d’abord conclure de ce que nous venons de démontrer , que l’on aura son équation primitive complète , en supposant les quantités a , b , c constantes , ce qui redonnera la même équation au cercle. On en conclura ensuite que la même équation admettra aussi une équation primitive singulière du premier ordre , qu’on obtiendra en faisant varier les quantités , a , b , c , de manière que les équations primes et secondes de l’équation au cercle soient les mêmes que si ces quantités étaient regardées comme constantes; et que cette équation primitive représentera alors la courbe ou les courbes formées par la réunion de tous les cercles représentés parla même équation, c’est-à-dire , qui envelopperont ou embrasseront tous ces cercles.
Cette équation sera donc , par les principes établis ci-dessus, le résultat
de l’élimination des quantités a , b , c et — y- , — c . - , entre les trois
équations ( x — a) 1 -f- ( y — b y = c 1 , x — a -f- y' ( y — b ) = o , <p(a , b , c ) = o , et les équations primes de celles-ci , prises relativement aux seules variables a , b , c ; savoir , x — a H — (y — -b)
Mais , comme cette équation en x et y pourrait se présenter sous une forme assez compliquée , il sera plus simple de chercher à déterminer les valeurs mêmes de x et y par une troisième variable.
Pour cela , on éliminera d’abord y 1 , au moyen des deux équations x — a + y 1 ( y — b ) = o et i -\ ; — y 1
o ; on aura celle-ci :
o , qui étant combinée avec la première
(x — <0* + ( y — b y = c z , donnera sur-le-champ
De plus j si on substitue ces mêmes valeurs de x et y dans l’équatioa
, on aura celle-ci ,,
laquelle étant combinée avec l’équation <p(a , b , c) = o , donnée par le problème , servira à déterminer deux des trois variables a , b , c par la troisième ; moyennant quoi les valeurs de x et y seront aussi exprimées par cette seule variable.
130. Comme les quantités a et b sont les coordonnées de la courbe qui est le lieu de tous les centres des cercles oscillateurs ( r.” 116), si on suppose cette courbe donnée , on aura une équation entre a et b , par laquelle on pourra déterminer b en a. Soit donc b = <p a , on aura b ' = a' <p' a , et de-là c 1 = a 1 y 1 [ 1 + ( ç' a ) 2 ] ; ainsi , en désignant par A la fonction primitive de a! V [ x -j- ( cp' a )* ] , on aura c = A -}- h , h étant une constante arbitraire; ces valeurs de b et c étant substituées dans les expressions de x , y, on aura la courbe cherchée.
Nous remarquerons maintenant que , quelle que soit la courbe des centres , l’équation c 1 = V ( + b 11 ) fait voir que le rayon c est égal à
l’arc de cette courbe ( V oye\ ci-après , n.° 134 ) ; de sorte que si on. nomme s cet arc , on aura c = s -J- h.
Nous remarquerons de plus que le rayon c sera nécessairement tangent à la même courbe ; car l’angle que la tangente de cette courbe fait avec
l’axe , a pour tangente la quantité — £ — ( n.° 114) , et comme le rayon
du cercle osculateur est perpendiculaire à la courbe dont les coordonnées sont
x et y ( n.° 1 1 5 ), la tangente de l’angle qu’il fait avec l’axe sera = y~
( n.° 114) = ■ — - — , en vertu de l’équation 1 -f- — -2 - — = o ; donc , &c.
Mais , quoique cette propriété soit démontrée de cette manière , il est bon de faire voir qu’eiie est une conséquence nécessaire de l’analyse employée dans la solution de la question. Pour cela , nous reprendrons les deux premières équations ( x — «) l + (y — b )* = i 1 et x — a
C J- et
VC '+y‘)
b = y -j - — ^ — : , et nous observerons que ces expressions de
a et b peuvent représenter à la fois les coordonnées de la perpendiculaire à la courbe dont x et y sont les coordonnées , en regardant x et y comme constantes , et c comme une variable , ainsi qu’on l’a vu n.° 1 1 5 , et les coordonnées de la courbe des centres, en regardant x et y comme variables, et c comme donnée en x et y ( n.° 116 ).
Donc la perpendiculaire dont il s’agir sera tangente de cette dernièrecourbe , si la fonction prime de b , regardée comme fonction de a , est la même pour la droite et pour la courbe ( n.° 1 17 ) ,■ ou , en générai , si les
valeurs de a! et de b' , regardées comme fonctions d’une troisième variable ,
sont les mêmes , et par conséquent aussi , si les valeurs de et — — sont
les mêmes , soit que les quantités x et y soient traitées comme variables ou non , c’est-à-dire , si dans ces valeurs les parties dépendantes des variations de x et y sont nulles ; or , c’est ce qui a lieu en effet , comme on le voit .par les équations a! ( x — a ) -f- b 1 ( y — — b ) = c c‘ et
a' -f- b' y' = o , qui servent à la détermination de — * — et de — — - »
-J- y' ( y — b ) = o , lesquelles donnent a = x —
i 5 o THÉORIE
et qui sont les équations primes de ( x — a )* -j- ( y — b)' — c r et x — a -f- y ( y — b) = o , en y traitant x et y comme constantes , et a , b comme seules variables.
Donc , puisque le rayon osculateur d’une courbe est par-tout tangent à la courbe des centres , et est en même temps égal à l’arc de cette courbe, il s’ensuit qu’il peut être pris pour ce même arc étendu en ligne droite , et qu’ainsi toute courbe peut être regardée comme formée par le développement de celle qui est le lieu des centres des cercles osculateurs. C’est en quoi consiste la théorie des développées d ’Huyghens , qu’on n’avait démontrée que par des considérations géométriques. L’analyse précédente fournit en même temps l’explication d’un paradoxe qui se présente, lorsqu’on cherche, par les formules connues , la courbe formée par le développement d’une courbe donnée.
Si on substitue dans l’équation de cette courbe les expressions de ses coordonnées a et b en x , y , y 1 et y", on a évidemment une équation du second ordre , d’où il paraît s’ensuivre que l’équation en x et y de la courbe cherchée devrait contenir deux constantes arbitraires , tandis que la génération de cette courbe, par le développement de la courbe donnée, n’admet qu’une seule constante arbitraire dépendant du point où commence le développement.
La raison de cette différence consiste , comme nous venons de le démontrer , en ce que l’équation de la courbe produit par le développement , est proprement l’équation primitive complète d’une équation du premier ordre , qui n'est elle-même que l’équation primitive singulière de l'équation du second ordre donnée par les conditions du problème , et qui par sa nature , ne peut point avoir de constante arbitraire ; de sorte qu’il ne peut y avoir qu’une constante arbitraire à raison de la première équation primitive.
1 31. 11 y a un genre de questions qui , quoique indépendantes de la considération des tangentes , peuvent néanmoins s’y rapporter. Ce sont celles qu’on appelle de maximis et minimis , et qui consistent à trouver pour une fonction donnée d’une variable , la valeur de cette variable qui rend la valeur de la fonction la plus grande ou la plus petite. Comme
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 151 les courbes ne sont que la représentation ou le tableau de toutes les valeurs de la fonction de l’abscisse , représentée par l’ordonnée , il est visible que la question de trouver la plus grande ou la plus petite valeur d’une fonction donnée d’une variable , revient à déterminer la plus grande ou la plus petite ordonnée de la courbe dont cette variable serait l’abscisse , et la fonction donnée serait l’ordonnée.
Or, l’inspection seule de la courbe suffit pour faire voir que ces ordonnées ne peuvent être que celles qui répondent aux points dont les tangentes seront parallèles à l’axe des abscisses. Si la courbe est convexe à l’axe , l’ordonnée sera alors évidemment un minimum ; et si la courbe est concave , l'ordonnée est un maximum.
Nous avons vu {n° i i 4) que la tangente de l’angle que la tangente d’une courbe fait avec l’axe, est exprimée en général par y 1 , y étant l’ordonnée qu’on suppose fonction de l’abscisse x ; donc, pour que cette tangente devienne parallèle à l’axe , il faut que l’on ait y' = o ; or , si l’on fait y = o dans les expressions des coordonnées a et b ( n.° 1 1 6 ) , qui déterminent le lieu du centre du cercle osculateur , on a a = x , b =y H
d’où l’on voit que si y" est une quantité positive , ce centre tombera au-delà de la courbe qui sera par conséquent convexe vers l’axe ; et que si y" est une quantité négative , le même centre tombera en-de^à de la courbe , c’est-à-dire, du côté de l’axe , et que par conséquent la courbe sera alors concave vers l’axe. Donc la fonction y sera un maximum , ou un minimum, lorsque sa fonction prime y' sera nulle; et, en particulier, elle sera un minimum , lorsque la fonction seconde y " sera en même temps une quantité • positive; et un maximum , lorsque y" sera une quantité négative : c’est en quoi consiste la méthode connue de maximis et minimis.
131. Mais il n’est pas inutile de faire voir comment cette méthode peut se déduire directement de l’analyse des fonctions , sans la considération intermédiaire des courbes.
Soit fx la fonction de x , dont on demande le maximum ou le minimum. Soit a la valeur de x , qui répond au maximum ou au minimum , il faudra que la valeur de fa soit toujours plus grande ou toujours moindre que la
I5 i THÉORIE
valeur de/(ü + t) > q i,e U e T 16 so ' r quantité i , positive ou négative,’ et quelque petite qu’elle puisse être. Je dis quelque petite que la quantité i puisse être, car une quantité est censée devenir un maximum ou un minimum, lorsqu’elle parvient au terme de son accroissement ou de sa diminution ; de manière qu’en-deçà et au-dela de ce terme , elle se trouve moindre dans le cas du maximum , ou plus grande dans le cas du minimum, que dans le même terme. Conservons x à la place de a , la condition du maximum sera f( x -f- t) <fx, o\if(x + i ) — fx < o, et celle du minimum sera f(x+i)>fx, ou /( x + t ) > o , quelque petit que soit i , positif ou négatif.
Développons la fonction f {x + i) en série , par la formule du n.° 53, et arrêtons-nous d’abord aux deux premiers termes, on aura ainsi
/( * i) ■=. f x + if x H f" (x -f- j ) , j étant une quantité
renfermée entre les limites o et i. Il faudra donc que l’on ait if x -f* — f" {x -j- 7 ) < o pour le maximum , et > o pour le minimum .
Or, nous avons déjà vu ( n.° no) qu’on peut prendre i assez petit pour que la valeur absolue du terme i /' x soit plus grande que celle du
terme — — f'(,x +7), et qu’alors cela aura lieu aussi pour toutes les
valeurs de i plus petites ; donc la quantité if x H — f‘ ( x -f- j)
deviendra alors positive ou négative, suivant que la quantité i f x le sera ; mais celle-ci change de signe avec la quantité i ; donc il sera impossible que la condition du maximum ou du minimum ait lieu , à moins que l’on n’ait f x = o.
Prenons maintenant ^.’*ns le développement àcf(x -f- i) un terme de
plus, nous aurons /(.y -(- i)—fx -f- if x d l — f'x H —
f" (* + 7 ),’ donc, à cause de f x = o, il faudra que l’on ait — ^ — f'x + "T ~ f ( x -J- j ) < o pour le maximum , et > o pour le minimum. On peut aussi prendre i assez petit pour que la valeur absolue du terme — — f'x
soir
soit plus grande que celle de - f" 1 ( x + y ) ; alors la quantité
f x + — ■ f" ( x -j- y ) sera positive ou négative , suivant
que celle de ~~ f" x le sera. Donc , puisque la valeur de ï 1 est toujours
positive , il faudra , pour le maximum , que l’on ait/" x < o , et que , pour le minimum , l’on ait f" x > o.
Si Pon avait f" x = o , alors reprenant le développement de/ ( x -j- i ), et employant un terme de plus , on aurait
/(* + *) =/* + if'x -j- -7-/"* + ~rjf U 'x +
donc , puisqu’on suppose f'x= o et f" x = o , on aurait , pour le maximum , la condition — — - f 1 " x -| — - b — ■ / ,r ( x -\-j ) < o ; et pour le minimum , la condition opposée. Or , on peut prendre i dssez petit pour que la valeur absolue du terme ^ ^ /" x surpasse celle du terme ( x +/),*
alors la valeur de - f" 1 x H — ^ 1 ^ / ,T ( x -j- y ) sera positive ou
négative , suivant celle de f" x ; mais celle-ci change de signe
avec la quantité i ; donc il sera impossible que la condition du maximum oa du minimum ait^ieu , à moins qu’on n’ai t/"' x = o.
Employons encore le terme suivant dans le développement de/( x -f* t)»
/( X + 0 —fx + if x + -J- f X -f- ^ /" x + -- * • ; 4 f n + /’(*■+• y ) » et les conditions du maximum ou du minimum
on aura
z. 3 . 4-S deviendront
— /’ x H /’ ( x + / ) < o ou > o ,
à cause de f x = o ,/" x = o et f m x = o. On prouvera ici , comme 'plus haut , que Pon pourra prendre i assez petit pour que le terme affecté ( de t 4 , pris absolument , c’est-à-dire , abstraction faite du signe , devienne
plus grand que l’autre terme affecté de i 5 , et que , par conséquent , la somme des deux termes soir nécessairement positive ou négative , selon
que le terme f" 1 x le sera. D’où il est aisé de conclure , à cause
que b est toujours une quantité positive , qu’il faudra , pour le maximum , que l’on ait J" x <o,et pour le minimum ,f"' x > o ; et ainsi de suite.
133. Donc , en général , si y est une fonction quelconque de x , on aura d’abord , pour le maximum ou le minimum , la condition y 1 = o , laquelle donnera la valeur de x , ensuite y" < o ou > o , ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé ci-dessus ( n.° 1 31 ). Mais nous venons de trouver de plus que siy" = o , il faudra que l’on ait aussi en même temps y 1 " = o , ensuite y' T < o pour le maximum , et y" > o pour le minimum ; et ainsi de suite. En général , si une fonction dérivée d’un ordre quelconque pair disparaît , il faudra que la fonction de l’ordre impair suivant disparaisse aussi , et que la suivante de l’ordre pair soit négative pour le maximum , et positive pour le minimum.
Si la fonction y n’est donnée que par une équation F ( x , y) = o , i! n’y aura qu’à prendre l’équation prime F'(x) -f- y 1 F 1 (y) = o, ' et faire y 1 = o , ce. qui la réduira à celle-ci F' (x) = o , laquelle combinée avec F(x,y ) = o , servira à déterminer les valeurs de x et y répondant au maximum ou au minimum. Ensuite on prendra l’équation seconde, et faisant de même y' = o , on aura la valeur de y" , dans laquelle on substituera les valeurs trouvées de x et y , et on pourra juger , par cette valeur , du maximum ou du minimum ; et ainsi de suite.
Si la fonction y" , ou f"x , devenait infinie , c’est-à-dire , si — - = o ,
ce serait une marque que le développement de f(x + i) contiendrait, pour la valeur trouvée de x , un terme de la forme A i m , m étant entre 1 et x ( n.° 4.1 ); et en considérant la courbe de l’équation y = f x , on pourrait connaître par la forme de son cours dans le point donné , si la fonction y est un maximum ou un minimum ( n.° 120 ). On pourrait même donner pour cela des règles générales , mais qui nous écarteraient trop de notre objet.
Nous ne nous arrêterons pas à donner des exemples des règles précédentes pour la détermination des maxima et minima ; comme elles s’accordent en tout avec celles que l’on connaît d’après le calcul différentiel , on pourra en faire les mêmes applications.
i 34. Je viens maintenant à la détermination des aires des courbes , qu’on appelle communément quadrature des courbes. Considérons , en général, la courbe représentée par l’équation y = fx , y étant l’ordonnée rectangulaire correspondant à l’abscisse x dont elle est une fonction donnée. L’espace terminé par cette courbe , l’axe des abscisses et une ordonnée quelconque y, sera donc aussi déterminé par une fonction de la même abscisse x, que nous désignerons par Fx. Supposons que x devienne x -ff i , cette fonction deviendra F {x -j- i), et il est clair que F(x + i) — Fx sera alors la portion de l’espace correspondant à la partie i de l’axe, et terminée par les deux ordonnées fx et f(x -f- 2) répondant aux abscisses x et x -j- i. Or , quelle que soit la courbe proposée , il est aisé de se convaincre , même sans figure , que si les ordonnées vont en augmentant , ou en diminuant , depuis f x jusqu’à /(* + Oi l’espace dont il s’agit sera , dans le premier cas , plus grand que l’espace rectangulaire i f x , et moindre que l’espace rectangulaire i f (x -j- i) , et dans le second cas , plus grand que ce dernier , et moindre que le premier. Donc il sera toujours nécessairement renfermé entre ces limites if x et if(x + i ) , lesquelles seront par conséquent les limites de la quantité F( x + i) — Fx qui doit représenter ce même espace.
Développons les fonctions f(x -f- i ) et F{ x + i ) suivant la formule du n.° 53, et arrêtons-nous au premier terme pour la première, et aux deux’ premiers pour la seconde , on aura /(•* + * ) =/•* + * /' ( * + / )
et F ( x -f- i ) = Fx -f- i F' x -j F 11 {x -{- j ) , où j est une
quantité indéterminée qui peut n’être pas la même pour les deux fonctions , mais qui doit toujours être renfermée entre les limites o et i. Il faudra
donc que la fonction Fx soit telle que la quantité i F 1 x - j — F" (x + j )
soit renfermée entre les limites if x et i fx ? f (x -f- i), quelle que soit
i $6 THÉORIE
la valeur de i , et par conséquent en prenant i aussi petit qu’on voudra. Or, l’intervalle entre les deux limites étant ? f'(x + j), la différence de la quantité dont il s’agit et de l’une des limites , savoir i(F‘ x — f x ) -j-
— — — F" (x + j ) devra être moindre que i 1 f (x -j- j) , abstraction
faite des signes de ces quantités. Mais il est aisé de prouver que cette condition ne peut avoir lieu pour une valeur de i aussi petite qu’on voudra , à moins que le terme affecté de i ne disparaisse ; car autrement on pourra toujours prendre i tel que la première quantité soit plus grande
que la seconde , puisqu’il suffira que i soit <
On aura donc nécessairement F x = fx ; et cette condition suffira pour la détermination de la fonction Fx, puisqu’on voit qu’elle ne sera autre chose que la fonction primitive d e f x.
Donc , en général , la fonction prime de la fonction qui exprime l’aire d’une courbe par l’abscisse , est la fonction qui représente l’ordonnée de cette courbe ; et réciproquement , la fonction qui exprime l’aire ne peut être que la fonction primitive de celle qui exprime l’ordonnée. Ainsi % l’équation d’une courbe étant donnée , pour avoir l’expression de l’aire r c’est-à-dire , la quadrature de la courbe , il n’y aura qu’à chercher la fonction primitive de celle qui représente l’ordonnée , et on pourra ajouter à cette fonction primitive une constante arbitraire ( n. e 6z ) , qu’on déterminera par la condition que l’expression de l’aire devienne nulle au point où l’on voudra la faire commencer.
Nous avons supposé dans l’analyse précédente , que les ordonnées allaient en augmentant ou en diminuant depuis f x jusqu’à f ( x -f- i ) S cette condition n’aurait pas lieu s’il y avait entre ces deux ordonnées un maximum ou un minimum ; mais comme on peut prendre l'intervalle i aussi petit que l’on veut , il est clair qu’on pourra toujours faire tomber la seconde ordonnée x -{- i ) en-deçà du maximum ou du minimum ; et que par conséquent la conclusion que nous en avons tirée , demeurera toujoursla même.
Si la fonction f x exprimait l’aire dé la sectiop d’un solide , faire, perpendiculairement à l'abscisse x on prouverait de la même manière:
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 1*7 que la solidité serait exprimée par la fonction primitive de / x. Car désignant par F x la solidité , la différence F(ï-)-i) — F x exprimerait fi portion du solide comprise entre les deux sections /( jc + t ) et f x , et cette portion serait nécessairement intermédiaire entre les deux solides prismatiques ifx et if(x + * ) > en prenant la quantité i aussi petite qu’on voudrait; d’où l’on conclurait , comme ci-dessus , F' x =fx.
135. Le problème de la quadrature des courbes est, comme l’on voit, le problème le plus simple de l’analyse inverse des fonctions, puisqu’il ne consiste qu’à trouver la fonction primitive d’une fonction donnée. Nous avons indiqué , dans la première partie ( n. B 64 et suiv. ) , les moyens par lesquels on peut faciliter cette recherche ; nous ajouterons ici une observation essentielle.
Comme il est souvent avantageux de substituer d’autres variables à la place de celle qui entre dans la fonction , pour simplifier ou décomposer cette fonction en d’autres plus simples , il ne faudra pas oublier alors de multiplier la fonction dont il s’agit par la fonction prime de sa variable. En effet , nommant u l’aire de la courbe donty est l’ordonnée , et regardant y et u comme fonctions de x , nous venons de voir que l’on a u 1 = y ; mais si on suppose x fonction d’une autre variable , et qu’on désigne par x' et u ' les fonctions primes de x et u prises relativement à cette nouvelle
variable , il faudra substituer à la place de uf ( n.° 6j ) , ce qui
donnera u' = y x' ; et ainsi des autres formules semblables.
1 3 6. Après le problème de la quadrature dès courbes , se présente naturellement celui de leur rectification , c’est-à-dire , de la détermination de la longueur même de la courbe.
Nouspartirons,pourla solution de ce problème, du principe d 'Archimède , adopté par tous les géomètres anciens et modernes , suivant lequel deux lignes courbes , ou composées de droites , ayant leurs concavités tournées du même côté et les mêmes termes , celle qui renferme l’autre est la plus longue. D'où il suit qu’un arc de courbe tout concave du même côté , est plus grand que sa corde , et en même temps moindre que la somme des
deux tangentes menées aux deux extrémités de l’arc , et comprises entre ces extrémités et leur point d'intersection. De-!à on peut tirer cette autij conséquence , que la longueur du même arc se trouvera comprise entre celles des deux tangentes menées à scs deux extrémités , et terminées aux deux ordonnées qui répondent à ses extrémités , prolongées , s’il le faut , au-delà de la courbe.
En effet , ayant mené la cordc qui joindra les deux extrémités de l’arc , il est aisé de voir que Fune des deux tangentes rencontrera les ordonnées parallèles sous un angle plus aigu que la corde , et que l’autre les rencontrera sous un angle moins aigu ,' et que par conséquent la corde sera moindre que la première de ces tangentes , et plus longue que la seconde ; donc cclie-ci sera , à plus forte raison , moindre que l’arc de la courbe. De plus , si on considère les deux triangles opposés au sommet , et formés par l’intersection des deux tangentes , il est visible que les deux parties de la première tangente seront respectivement plus longues que celles de la seconde, parce que les côtés formés par ces parties-là se trouvent opposés à des angles plus grands que les côtés formés par celles-ci. Donc la première tangente entière sera plus longue que la somme des deux portions de tangentes comprises entre leur point d’intersection et les extrémités de L’arc. Donc elle sera aussi plus longue que l’arc.
Cela posé j f x étant l’ordonnée qui répond à l’abscisse ,f' x sera (n.* t t 4) la tangente de l’angle sous lequel la tangente de la courbe, à l’extrémité de cette ordonnée , rencontre l’axe des abscisses ; donc V [t* + (1 f x ) s ] = iV[* + (/'* )* ] sera la partie de cette tangente comprise entre l’ordonnée Jxct l’ordonnée x -J- i) éloignée de la première de l’intervalle i. De la même manière , on aura^' ( x z) pour la tangente de l’angle sous lequel la tangente de la courbe à l’extrémité de l’ordonnée f(x i ) rencontre l’axe , et on trouvera i V ï I + [/'(* + * ) P $ pour la partie de cette tangente comprise entre les mêmes ordonnées f x et f(x + i ). Soit , pour plus de simplicité , <p x = V [ x + (/'* y ] , on aura if x et i f (x + i ) pour les deux tangentes menées aux deux extrémités de l’arc de la courbe compris entre les ordonnées f x et /(* + * ) , et terminées à ces mêmes ordonnées; donc la longueur cle cet arc devra être renfermée entre les deux quantités i f x et i ç> ( x H- i ) , __
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. i; 9 en donnant à i une valeur aussi petite qu’on voudra. Donc si $ x est la fonction de x qui exprime l’arc de la courbe, il faudra que la quantité $ ( x -J- i ) — ^ x , expression de l’arc compris entre les ordonnées J x et f(x -j- i), soit comprise entre ces deux-ci i tp x et i <p (x -|-r), quelque petit que soit i ; d’où , par un raisonnement semblable à celui du n.° 134 , on conclura 4 >'x = tp x. Donc , pour avoir la longueur indéfinie de la courbe , il faudra chercher la fonction primitive de la fonction <p x , où V [1 -j- (f 1 x )*]; et comme on peut ajouter une constante arbitraire à la fonction primitive , il faudra déterminer cette constante de manière que l’expression de l’arc s’évanouisse au point où l’on voudra le faire commencer.
Donc , si on nomme s l’arc de la courbe dont les coordonnées sont x et y , on aura , en regardant y et s comme fonctions de x , l’équation s' = V ( 1 + y' z ) » à cause de y = f x , et y' = f‘ x. Et si x et y étaient données en fonctions d’une autre variable , comme t , alors , en désignant par x', y 1 , s 1 les fonctions primes relativement à cette variable , il faudrait
substituer ■ ? , — et — - — à la place de y' et s' ( n ." 63 ) , ce qui donnerait cette équation s 1 = V ( x n + y n ) , entre les coordonnées et l’arc.
137. Si on imagine que la courbe proposée tournant autour de l’axe des abscisses , engendre un conoide , il est visible que les deux ordonnées f x et f (x -f- i) décriront en même temps deux cercles dont ces coordonnées seront les rayons , que l’arc de la courbe compris entre ces deux coordonnées décrira une zone conoïdique , et que les deux tangentes menées aux extrémités de cet arc décriront des zones coniques , entre lesquelles la zone conoïdique sera nécessairement renfermée. Or , on sait , par la géométrie , que la surface convexe d’un cône tronqué est égale à son côté multiplié par la demi-somme des circonférences des deux bases. Donc , si on désigne par tt la circonférence du cercle dont le rayon est = 1 , la surface de la zone conique décrite par la tangente i f x , sera
i p x 7r (/ x -j f'x), puisque les rayons des deux bases sont , l’un
f x , et l’autr cfx + ifx; et la surface de l’autre zone, décrite par la
tangente t p (x -f- i), serai p (x + 0 ’r [/(* + i) j- /'(x + f )]>
car il est facile de voir que les rayons des bases de ce tronc de cône seront /( x + t ) et /( x + i ) — - if {x i ).
Si donc on désigne par 4 > x la fonction de l’abscisse x qui exprime la surface du conoïde , il est clair que la zone conoïde sera exprimée par la différence 4 > ( x -j- i ) — x , et que cette différence devra
être renfermée entre les deux quantités i 7r p x (/* + -T/'*)
et i tt < p (x + i) [/ (x + i) l — /' ( x + i ) ] , en donnant
à i une valeur quelconque aussi petite qu’on voudra. D’où l’on pourra conclure , par un raisonnement analogue à celui du n.° 134 , que cette condition ne pourra avoir lieu , à moins que l’on ait $>' x = tt <p xfx = 7 r f x V [ 1 -f- ( f x )* ]. Donc on aura la surface du conoïde proposé, en prenant la fonction primitive de la fonction 7 rfx V[ 1 +
(f x y], ou TT y V ( 1 + y' 1 ).
. 138. En général , supposons que l’on cherche la fonction F x par cette
condition , que la différence F {x -f- i) — F x doive être renfermée entre les deux quantités i f(x,i) et i f ( x , i) , f et 9 dénotant des fonctions données de x et i telles qu’en faisant i = o , on ait f x = x , et que cette condition doive avoir lieu en donnant à i une valeur quelconque aussi petite qu’on voudra.
En employant le théorème des n.°’ 51 et 53 , on réduira la fonction
F(x + / ) àfr + i F x H — — P 1 ( x -f- j ) , et les fonctions
/(*»*)>? ( * * * ) à/ x + if (x, j), <p x + i <p‘ (x, j) , la quantité j étant indéterminée , mais comprise entre les limites o et i , et pouvant être différente dans les différentes fonctions; les fonctions dérivées, marquées par P, P', se rapportent à la variable x, et les fonctions dérivées, marquées par f , f se rapportent à la variable i. Donc , puisqu’on suppose f x = <p x , la condition dont il s’agit se réduira à faire en sorte que la
quantité t P x H F 1 (x -f~ j ) soit comprise entre les deux
quantités
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. r6i
quantités ifx + i*f‘ (x , j ) et ifx -f- ? <p' (x , j ) , quelque petite que puisse être la valeur dez. Doue il faudra que la différence i(F x — fx )
+ r [ -i- — F' ( x + j ) — f ( x , j ) ] ne soit jamais plus grande que
la différence z l [<p' ( x,j ) — /' (x,y)]; 111315 tant que le terme multiplié par la première puissance de i ne sera pas nul , on pourra toujours prendre i assez petit pour que la première quantité devienne plus grande que la seconde , car il suffira pour cela de prendre i moindre que la
quantité
, abstraction faite du signe de cette
quantité. Donc , la condition proposée emporte nécessairement celle-ci F x — fx = o , et par conséquent F x = fx ; c’est-à-dire , que la fonction cherchée Fx, devra ôîre la fonction primitive def x ; et pour avoir la valeur complète de Fx, il faudra y ajouter une constante arbitraire, qu’on déterminera par les conditions de la question.
139. Lès courbes planes appartiennent à la géométrie de deux dimensions , et ne dépendent par conséquent que de deux coordonnées. Les courbes à double courbure doivent appartenir à la géométrie de trois dimensions , puisqu’elles ne peuvent être tracées que sur la surface des corps solides ; aussi dépendent-elles de trois coordonnées perpendiculaires entre elles, dont deux sont fonctions de la troisième, de sorte qu’elles ne peu\ ent être représentées que par deux équations entre trois indéterminées.
Soit donc pour une courbe quelconque à double courbure y z=fx , ^ = ç x , x, y , \ étant les trois coordonnées rectangulaires. Soit de même pour une autre courbe donnée q = Fp , r = $ p ; p , q , r étant pareillement ses trois coordonnées rapportées aux mêmes axes que les précédentes. Si on veut que ces deux courbes aient un point commun pour l’abscisse x , il faudra qu’en faisant p = x , on ait aussi q = y et r = r; donc y = Fx et ^ = $ x. Pour un autre point quelconque répondant à l’abscisse x -(- i , les ordonnées y et j seront f (x + et les ordonnées q , r seront F(x + i) , (x -f- i) ; et faisant pour abréger d =f(x + i) — F(x + i ), S = 95 (x^+ tj) — <ï>(* + i ),
1 6z THÉORIE
il est facile de concevoir que la distance D entre les points des deux courbes qui répondent à la même abscisse x -f- i , sera exprimée par D = V ( d 1 -f- ). De là , par une analyse semblable à celle qui a
été développée au commencement de cette seconde partie , on prouvera que si f x = F x , ÿ x = <!>' x , il sera impossible qu’aucune autre courbe donnée qui ne satisferait pas aux mêmes conditions , puisse passer entre les deux courbes dont il s’agit.
Si l’on avait de plus f" x = F 11 x et <p" x = 4 >" x , on prouverait , de la meme manière , qu’aucune autre courbe pour laquelle ces équations n’auraient pas lieu , ne pourrait passer entre les mêmes courbes; et ainsi de suite.
Ainsi , en appliquant aux courbes à double courbure les mêmes notions des difFérens ordres de contact des courbes ordinaires , on en conclura que les deux premières conditions détermineront un contact du premier ordre , que les deux suivantes détermineront un contact du second ordre ; et ainsi de suite.
En général , en nommant x , y , ç les coordonnées d’une courbe proposée , et p , q , r les coordonnées de la courbe donnée, pour laquelle on demande les conditions du contact d’un ordre donné avec la courbe proposée , si F ( p , q , r ) = o , et <î> (p , q , r) = o sont les deux équations de la courbe donnée , on aura pour un contact du premier ordre, les quatre équations F(x,y, = o,F(x,y, ç)‘ = o,
( x ,y , f) = o , <P (x, y, %)' = o; pour un contact du second ordre , on aura de plus les deux équations F ( x , y , ç )" = o , 4> ( x, y , ^ y 1 = o ; et ainsi de suite, en regardant , dans ces fonctions dérivées , y et £ comme fonctions de x. On satisfera à ces équations par le moyen des constantes arbitraires a , b, c, & c. , qui entreront dans les fonctions données F (p , q , r) et $ (p , q , r ) , et qu’on pourra appeler comme ci-dessus ( n“ n~j ), élémens du contact , lorsqu’elles seront déterminées en fonctions de x,y, y &c.
140. Prenons poqr la courbe donnée une ligne droite déterminée par les deux éqnations q — a + bp , r = c + dp ; pour qu’elle ait un contact du premier ordre , c’est-à-dire , pour qu’elle soit tangente d’une courbe quelconque proposée et rapportée aux coordonnées x , y , { , on aura ces.
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 163 quatre équations y = a -J- b x , { = c + d x , y' = b , ^ ;
d’où l’on tire a = y — y 1 x , c = ç — • ç 1 x. De sorte que les
équations de la tangente rapportée aux coordonnées p , q , r , seront
Il est facile de voir que ces deux équations représentent les deux tangentes des courbes planes qui forment les projections de la courbe proposée sur les deux plans des x et y et des x et n.° 1 13); de sorte que pour mener une tangente à une courbe à double courbure, il suffira toujours de mener les tangentes à ses deux projections , et la droite dont ces deux tangentes seront les projections, sera la tangente cherchée.
14,1. Supposons qu’on demande le cercle osculateur d’une courbe à double courbure.
Pour avoir , de la manière la plus simple , les équations générales d’un cercle tracé sur un plan quelconque , nous considérerons le cercle comme formé par l’intersection d’un plan qui passe par le centre d’une sphère ; le rayon et le centre de la sphère deviendront alors ceux du cercle , et le plan sera le plan même du cercle.
L’équation générale d’une sphère rapportée aux trois coordonnées p , q , r , est
où a , b , c sont les coordonnées du centre , et d est le demi-diamètre , ou rayon. L’équation d’un plan rapporté aux mêmes coordonnées et passant par le point qui répond aux coordonnées a , b , c , est en général
m et n étant deux constantes arbitraires , qui déterminent l’inclinaison du plan à l’égard des plans fixes des coordonnées. Le système de ces deux équations représentera donc un cercle dont le rayon sera d , dont le centre sera déterminé par les coordonnées a , b , c , et dont le plan dépendra des quantités m et n.
Si donc on change dans ces équations les quantités p,q , r en x , y , { ,
i$4 THÉORIE
et qu’on en prenne les équations primes et secondes , on aura ces six équations :
x -j- my' -f- ni 1 — o ,
dont les quatre premières renfermeront les conditions nécessaires pour que le cercle dont il s’agit ait un contact du premier ordre avec toute courbe à double courbure , dont x , y , ^ seront les coordonnées , y et p étant données en fonctions de x ; et si on y joint les deux dernières , on aura les conditions nécessaires pour un contact du second ordre, c’est-à-dire, pour que le cercle devienne osculateur de la courbe.
Comme il y a dans ces équations six quantités indéterminées , a , b , c, d, m et n, on pourra satisfaire à toutes ces conditions , et le cercle osculateur sera déterminé de grandeur et de position. Mais , si on ne demande qu’un cercle tangent , il restera deux indéterminées , pour desquelles on pourra prendre le rayon d, et une des deux quantités m et n. Dans ce cas donc , l’équation
déterminera le plan dans lequel se trouveront les centres de tous les cercles qui peuvent être tangens ; et comme le rayon du cercle tangent est nécessairement perpendiculaire à la courbe , cette équation sera celle d’un plan perpendiculaire a la courte , en prenant a , b , c pour les coordonnées du plan.
Considérons maintenant le contact du second ordre. Les trois premières équations donneront
en faisant , pour abréger ,
R — Y [( ny' — (#{' )'+.(« — {')* + ( m — y' ) l ] r
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. i6j
Ces valeurs étant substituées dans la cinquième équation , on en tirera
Enfin , la quatrième et la sixième équations donneront
valeurs qu’on substituera dans les expressions précédentes. On aura ainsi , après les réductions ,
( » + y'; + y ) (yy + «y) l
( i + +i -Vy" — /(»+,/■ + Y) (y y +W) t « + y" -h Y ) O' ‘ + t" ) — [y y + n )‘
La quantité d sera le rayon osculateur de la courbe proposée , et les quantités a , b , c seront les coordonnées de la courbe des centres de tous les cercles osculareurs ; mais cette courbe ne sera pas pour cela une développée , comme dans les courbes à simple courbure.
Pour s’en assurer , et trouver en même temps les conditions nécessaires pour qu'elle devienne une développée de la courbe à double courbure , il n’y a qu a employer des considérations semblables à celles du n.° 130.
Reprenons les valeurs de a , b , c , tirées des trois premières équations , nous aurons
„ „ ( nÿ m\) d
Ces expressions , en regardant les quantités x , y , y', ^ , ainsi que
m et n , comme constantes , et la quantité d comme seule variable , donnent les coordonnées de la droite dans laquelle est placé le rayon osculateur ; mais en regardant toutes ces quantités comme variables, et m, n, d comme données en x , puisque y et ^ sont censées données en x , ces memes expressions représentent alors les coordonnées de la courbe des
centres. Or., pour que la droite devienne tangente de la courbe, il faut
que les valeurs de — — et — -j — , en regardant b et c comme fonctions
de a , ou en général a, b, c comme fonctions d’une autre variable quelconque , soient les mêmes dans les deux cas. Donc les valeurs de
— ^ — , -~ 2 — > — ^ — devront être aussi les mêmes, soit que les quantités
a, b,c t d soient seules variables, soit que les quantités x, y, j,raetn varient aussi en même temps ; par conséquent, il faudra que les équations qui déterminent ces valeurs, aient lieu également dans les deux hypothèses.
Or , si on considère les équations qui ont servi à déterminer les quantités a , b , c , d , m et n en x, y, y', y", et qu’on regarde toutes ces quantités comme variables à la fois , il est clair que les deux équations (x — a y + (y — &)* + ({ — c) 2 = d 2 et x — a + y' ( y — b) + ( { — c) = o emporteront encore celle-ci,
— a! ( x — a) — b' (y — b) — c' ( \ — c) = dd 1 ,
qui n’est que l’équation prime de la première, en supposant a, b, c, d seules variables. De même , les deux équations x — a -} - y' (y — b ) -Jt' ( î — 0 = o et i H- y 11 + 0 + y" ( y — O + ?" ( { — c ) = o emporteront celle-ci ,
qui est également l’équation prime de la première , en ne prenant que a,b,c pour variables. Ces deux équations ont donc la condition demandée ; mais comme elles ne suffisent pas pour la détermination des trois quantités
~j~, -j-, ü faudra trouver, de la même manière, une troisième
équation qui contienne les fonctions primes o! , b‘ , d ; or, les deux
précédentes ayant été déduites de l’équation de la sphère , il faudra tirer la troisième de l’équation du plan x — a -} - m (y — £)-!-«({ — c) = o, laquelle , en faisant tout varier, et ayant égard à l’équation i + my‘ 4 ' a ÿ = o , donnera celle-ci
— a' — m b' — ne ' m 1 ( y — b) + n 1 ( ^ — c ) = o ,
qui est , comme i’on voit , l’équation prime de la précédente , en supposant a, b j c, m, n variables à la fois; par conséquent, cette équation n’aura pas la condition demandée , à moins que la partie dépendant de la variation des quantités m et n, ne disparaisse, c’est-à-dire, à moins qu’on n’ait
Si cette condition a lieu , alors l’équation restante a 1 -(- m b 1 -f- ne 1 = o , combinée avec les deux équations qu’on vient de trouver, donnera les
CL b' '
valeurs de ~j~ > ~j~ > qui seront les mêmes, soit que les quantités
a, b, c, d soient seules variables , soit que x, y, ^ , m et n varient aussi à la fois. Par conséquent, la droite dans laquelle est placé le rayon oscillateur , deviendra tangente à la courbe des centres : donc aussi ce rayon sera tangent de la même courbe , puisqu’il est terminé à cette courbe. Dans ce même cas , les expressions précédentes de a , b , c donneront sur-le-champ ces fonctions primes
-/ . («y~ mi)i‘ u — ( m-~y’)d '
d’où l’on tire a n -|- b' 1 + c n = d‘ x , et de-là d 1 = ^ ( a 1 * -j- b' 1 -{- c' 1 ). Or, nous verrons ci-après ( n.’ ij--/-) que cette équation montre que </ est l’arc de la courbe dont a , b , c sont les coordonnées. Donc le rayon osculateur sera non-seulement tangent à la courbe des centres, mais encore égal à l’arc de cette courbe. Il ne sera donc autre chose que le développement de cette même courbe, laquelle sera par conséquent la développée de la courbe proposée , dont x , y , * sont les coordonnées.
143. La condition m 1 ( y — b) -f- n 1 ( ^ — c) = o que nous venons de trouver pour que la courbe ait une développée , a évidemment
lieu , lorsque m et n sont constantes ; ef dans ce cas, la courbe sera toute dans un plan déterminé par ces constantes. Si ces quantités ne sont pas constantes , elles détermineront le plan tangent de la courbe ; et lorsque l’équation précédente aura lieu , les rayons oscillateurs formeront une courbe développable. Car en ajoutant à cette équation l’équation i -f- my‘ -j- n ^ = o, qui est une de celles du n.° 141 , on aura celle-ci ,
1 + m y 1 + n ^ -j- m 1 ( y — b ) -f- n 1 ( ^ — c ) = o , qui n’est autre chose que l’équation prime de l’équation du plan x — a -f- m ( y — b ) -f- n ( ^ — c )•= o ,
en regardant les coordonnées a, b, c du plan comme constantes, et la quantité x qui sert ici de paramètre et dont les autres quantités y m ,n sont supposées fonctions , comme seule variable ; ce qui constitue le principe des surfaces développables, comme on le verra plus bas ( n .* 1 557 ).
Au reste , il y a une manière plus générale de concevoir les développées des courbes, laquelle consiste à prendre le rayon de la développée dans une position inclinée au plan tangent , et qui donne lieu à plusieurs belles propriétés des courbes et des surfaces. Comme les bornes que nous nous sommes prescrites ne nous permettent pas d’entrer dans ce détail, nous ne pouvons qu’inviter nos lecteurs à voir cette nouvelle théorie dans le tome dixième des Mémoires présentés à la ci-devant Académie des sciences.
144. Si on trace la projection d’une courbe à double courbure sur le plan des x et y, on peut regarder cette courbe de projection comme l’axe curviligne de la courbe à double courbure ; de sorte qu’en nommant s l’arc de la courbe de projection , dont les coordonnées sont x , y , et supposant que cet arc soit étendu en ligne droite, on aura s et ^ pour les coordonnées rectangulaires de la courbe à double courbure supposée appliquée sur un plan.
Cette considération nous offre le moyen d’appliquer immédiatement aux courbes à double courbure., les formules de la quadrature et de la rectification des courbes planes (n." 1 34, 136). Pour cela, il n’y aura qu’à substituer s au lieu de x, et ^ au lieu de y, dans les expressions yx>
et
et V ( x? + y' z ) * on aura { s 1 et V ( s n -f- ç' 5 ) , et comme l’arc s est déterminé par l’équation s 1 = V( * n + J '*) ; en faisant cette substitution, on aura les deux formules { V ( x n -f- y 11 ) et V ( *'* + y' 1 + \ n ) * dont la première sera la fonction prime de l’aire , ou de la surface du cylindre droit qui a pour base la projection de la courbe à double courbure, et qui est terminé par le contour de cette courbe , et dont la seconde sera la fonction prime de l’arc de la même courbe.
145. Les surfaces courbes se déterminent aussi par trois coordonnées rectangulaires, comme les lignes à double courbure, mais avec cette différence, que pour les surfaces , deux des coordonnées sont indépendantes entre elles , et la troisième est fonction de ces deux ; de sorte qu’une surface n’est représentée que par une seule équation entre les trois coordonnées. Ainsi , les deux équations qui déterminent une courbe à double courbure , représentent chacune en particulier une surface courbe , et la courbe représentée par le système de ces deux équations , est formée par J’intersection des deux surfaces. La théorie des surfaces dépend donc de l’analyse des fonctions de deux variables, et peut être traitée comme la théorie des courbes , et par les mêmes principes. Ainsi , de même qu’une ligne droite peut être tangente d’une courbe , un plan peut être tangent d’une surface , et on déterminera le plan tangent par la condition qu’aucun autre plan ne puisse être mené par le point de contact entre celui-là et la surface.
Soient x , y , % les trois coordonnées de la surface donnée , et p , q , r les coordonnées du plan tangent rapportées aux mêmes axes rectangulaires; on aura , par la nature de la surface , q =/( x , y ) , et par la nature du plan , r= a -J- bp + c q ; a , b , c étant les trois constantes qui déterminent la position du plan. D’abord , pour que le plan ait avec la surface un point commun , il faut que son équation subsiste , en supposant que les coordonnées p, q , r deviennent x , y , ^ ; ce qui donnera cette première équation : ç = a + b x -J- cy.
Considérons maintenant un autre point de la surface répondant aux coordonnées x -f* i , y -f- o , l’ordonnée perpendiculaire ç deviendra y -h 0 ). Faisons au:: - : dan; l’équation du plan p = x" + i ,
] 7 o THÉORIE
q = y -+* o , l’ordonnée perpendiculaire r deviendra a b { x iy -{- c ( y 4- o ) , Cf la distance encre les points correspondans de la surface et du plan sera exprimée par
La fonction f [ x -f- i , y 4 * ° ) peut se développer dans cette série
( «•' #5 )/( x , y ) + if ( x , y ) + o/ ( x, y ) + -C- /"( x , y ) -{-
i °f ( x , y ) + o'f,, ( x , y ) +• &c. ; donc , à cause de /( x , y ) ==; j = a -|- i x -|- c y 3 la distance dont il s’agir , que nous désignerons par D y sera exprimée ainsi : D = i f J' ( x , y ) — b ] + o [y, ( x , y ) — c ]
-r -t-/" (* > y) + iof;{x,y) -f- (x , y) + &c., où l’on voit
d'abord que , les quantités i et o demeurant indéterminées , la valeur de D deviendra la plus petite , si on détermine les quantités i et c de manière que les termes multipliés par i et o disparaissent , ce qui donnera b =f ( x , y ) — , c — f, ( x , y ) — ( n.° go ) ; et comme on a
déjà trouvé a -j- b x -f- c y = ^ , on aura les valeurs des trois constantesa , b , c de l’équation du plan en fonctions de x , y , Ces valeurs seront donc a = { — x j' — y^, , b= j ' , c = ; et la position du plan,
sera entièrement déterminée.
146. Par l’évanouissement des termes multipliés par i et o , l’expression de la distance D ne contiendra plus que des termes multipliés par despuissances ou des produits plus hauts de ces mêmes quantités. Si on faisait passer un autre plan par le même point qui répond aux coordonnées x et y , on trouverait par la distance que je nommerais A , entre les points de la surface et du nouveau plan correspondant aux coordonnées x + i et y -J- o,une expression semblable à celle de D , mais où les termes multipliés par i et par o ne se détruiraient plus. Or , il est facile de voir qu’on peut prendre les quantités i et o assez petites pour que les termes multipliés par les premières puissances de i ou de o deviennent plus grands que les autres termes multipliés par des puissances ou des produits de plusieurs dimensions , ce qui porterait d’abord à conclure que l’on peut toujours;
donner à i er o des valeurs assez petites pour que la distance A surpasse la distance D , en sorte qu’il soit impossible que le dernier plan passe entre le premier et la surface.
Mais cette conséquence , qui serait légitime si les expressions de 73 et A n’étaient composées que d’un nombre déterminé de termes, pourrait souffrir des difficultés à raison des suites infinies qui entrent dans ces expressions. C’est pour les éviter que , lorsque nous avons considéré les tangentes des courbes, nous avons fait usage du théorème du n.° 53 , par lequel on peut ne développer les fonctions que par parties , et autant qu’on en a besoin. Nous pourrions encore appliquer ce théorème au développement des fonctions de deux variables , en développant successivement suivant les puissances de t et de o ; mais comme 011 n’aurait pas , de cette manière , des formules symétriques , et semblables à celles des fonctions d’une seule variable , nous en prendrons occasion de généraliser l’analyse des n.°‘ 45 et suiv. , en l’étendant au développement d’une fonction quelconque f(x,y) de deux variables.
147. Reprenons la formule générale trouvée ( n. m 85) pour le développement de/(x -J- i, y + o ) , et changeons ( ce qui est permis , par la raison que x , y , i et o sont des quantités quelconques) x et y en x — i et y — o , ensuite i et o en x ç et yç, nous aurons
/(*,y) —J (* — x{,y — jî) + x \P ( x — *{*y—yd + y if ( — y?) + ~r~P'^ x — *i>y — yO + *y?f' ( x — x i>y — y 0 + JL r~P (* — x \>y — y\) + &c -
où 3 sera une quantité quelconque indéterminée qui étant supposée égale à [éro , rendra l’équation identique , et qui étant faite = i , donnera
/(*, }■)=/+ xp. + yf; + ~-f." + xyp, + -4-/. + &C.,
fo:mule générale du développement de la fonction^ x , y ) , suivant les
puissances de x et y, dans laquelle les quantités désignées par f. , Sec,
dénotent les valeurs des fonctions dérivées suivant x et y , en faisant x = o et y = o. Supposons maintenant qu’on ne veuille faire ce développement que par parties , et arrêtons-nous d’abord au premier terme , nous ferons
P étant une fonction de ^ qui devra être évidemment nulle lorsque \ = o. Puisque la quantité { peut être quelconque , nous pouvons prendre l’équation prime relativement à et par les principes et la notation établis, il est facile de voir que la fonction prime de/(x — x{,y — yf), prise relativement à^.sera — xf (x — *{,y — y{) — y/,(* — y — yf)> donc, désignant par P' la fonction prime de P , prise aussi relativement à { , on aura , pour la détermination de P , l’équation dsi premier ordre
P' = xf (x — xi, y — yi) + y f,(x — y — y{).
Considérons , en second lieu , les trois premiers termes du développement d e/( Jf, y) , et faisons
/(*» y)=f(x — xi, y — y{) + *?/'(* — x^y — y {) + y ift (x — x { ,y—yt) + Q,
Q sera une fonction de f, qui devra, par la nature même de cette équation , devenir nulle lorsque \ = o. A cause de l’indétermination de ^ , on pourra prendre l’équation prime relativement à { ; et désignant par Q 1 la fonction prime de Q , on trouvera , après avoir effacé les termes qui se détruisent dans l’équation prime , cette équation du premier ordre pour la détermination de Q ,
Q 1 — x'îf ( * — y — y O + 1Ar y {// (■* — *{>y — y O
+ y*lfi (x — xi, y — y{);
et ainsi de suite.
Pour déduire de ces équations les valeurs de P , Q , &c. il faudrait
chercher les fonctions primitives des quantités P 1 , Q 1 , &c. , relativement à ^ , et les prendre telles qu’elles soient nulles lorsque ç = o. Mais , comme nous n’avons pas besoin des expressions générales de ces quantités , mais seulement de leurs valeurs relatives à { = 1 , que même il suffit d’avoir des limites de ces valeurs , on pourra faire usage de la méthode du n.°49 j pour parvenir à des conclusions semblables à celles du n. 8 . 51.
Ainsi , en désignant par A un nombre indéterminé , ou plutôt inconnu , toujours compris entre o et 1 , et qui devra être par-tout le même dans la même fonction , mais qui pourra être différent dans les différentes fonctions , on trouvera les expressions suivantes ;
P — x fi (Xx,Xy) + y f, ( Xx , A y ),
Q = i O 1 /" (A* ) + T-xyfK \x, X y) + y% ( A* , Xy ) ] ;
et ainsi des autres.
Donc, enfin, substituant ces valeurs deP, Q,&c. dans les développemens de x , y ) , et faisant { = 1 , on aura ces formules générales qui renferment une extension du théorème du n.° 51.
f(x,y)—f. + x fi ( xx, Xy ) + y f, ( X x , Xy ) {
— fi + *f - + y fi + f " ( A * » x y > »
+ xy fi ( XX , xy ) + fi, ( A x , A y ) ;
= / + xfi + y fi + 4 /" + *yf'r + i À i + A*,Ay ) + Jfl.fi> {XX, xy)i
+ C Xx, Xy ) -f- J fin ( Xx, Xy )f
Donc , si l’on a la fonction /*(# + t,y+o)à développer suivant les puissances de t et de o, il rfy aura qu’à mettre i et o à la place de x et y dans les formules précédentes et les quantités /. fi 1 fi , &c. , deviendront f(x,y),f ( x , y ) , f, ( x, y ) , &c. , où les fonctions dérivées peuvent être prises relativement à * et y , puisque la fonction
i 7 4 THÉORIE
f (x + i , y -f- o ) est telle que ses dérivées relativement à a: et y sont les mêmes que les dérivées relativement à i et o. Ainsi on aura
/•(* + », y + o ) — f (x, y) + if (x + A t , y + X o )
— f(x, y ) + if (x, y) + of (*, y)
H f" ( x -f- Ai, y + Ao ) + i of ( jt + Xi, y + Ao)
h — t~ fi ( x + xi > y + Xo )>'
= / ( *> y) -1- if {x, y) + of (x, y)
H f {x, y) + iof (x, y) -\ °— f (*> y)
+ — f" ( * + Xi, y + Ao ) + f"(x + \i,y + \ o)
+ ~~ f,(x + Ai,y + A o) + - ' ° 3 f,{x + A i , y -f A o); = -&c.
La quantité A / répond , comme l’on voit , à la quantité que nous avons désignée par j dans les formules employées au commencement de cette seconde partie. Nous avons préléré l’expression Ai, parce que le même coèilicient A se trouve dans la quantité Ao. De ces formules qu’il serait maintenant aisé d’étendre aux fonctions de trois ou d’un plus grand nombre de variables , on peut déduire la conclusion suivante :
Lorsque dans le développement d’une fonction suivant les puissances et les produits de certaines quantités, on veut s’arrêter aux termes d’un ordre donné, c’est-à-dire, dans lesquels ces quantités forment des dimensions d’un degré égal à l’exposant de cet ordre , on peut supposer le reste du développement égal aux seuls termes de l’ordre suivant, mais en y conservant ces mêmes quantités sous les fonctions, et les multipliant toutes par un coèfficient A dont la valeur sera entre les limites o et i , et qui sera la même dans la même fonction , mais qui pourra être différente dans les différentes fonctions.
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. i 7 j
148. Nous pouvons maintenant donner aux résultats do l’analyse du n.° 145 toute la rigueur qu’on peut désirer ; pour cela , il 11’y a qu’à développer la fonction / '(x + i , y -J- o ), en s’arrêtant aux termes du premier ordre , on aura ( n.° précédent. )
/( * + i»y + °) = /(*» J) + if (*, y) + of (x, y)
H ~ /" ( X + \i , y + \o) 4 - io f ( x + A t , y + Ao )
+ y — fi ( x + A r , y 4 ~ A o ) ,
et la valeur de la distance D se réduira à D — — — /" ( x -f- A i , y + A o ) + iofi (x + A i,y -f* A o )
4 f, (x + Ai, y 4 - ao ).
Pour tout autre plan représenté par l’équation r = a. 4-/3 p y q , et ayant le môme point commun avec l’autre plan et la surface , cette distance, que j’appellerai A , contiendrait, outre les termes précédées r encore ceux-ci du premier ordre
d’où il est facile de conclure qu’on pourra toujours prendre i et o assez, petits pqur que cette distance A surpasse la distance D. Donc il sera impossible que ce dernier plan puisse passer entre la surface et le plan représenté par l’équation r=a -j- b P 4 " c <] i par conséquent celui-ci sera tangent de la surface donnée, en faisant, comme dans le n.° 145 , a — { — x^' — y{,, b = i', c = D’où l’on voit que la position du plan tangent dépend des deux fonctions primes f' et f,.
En effet , i! est facile de trouver, d’après l’équation r= a 4- bp 4- cq v que si on nomme «, l’inclinaison du plan représenté par cette équation sur le plan des coordonnées p et q , et /3 l’inclinaison de la ligne d’intersection de ces deux plans à l’axe des abscisses p , on aura b = sin. /Srang, a, c === cos. / 3 . tang. «, d’où l’on tire tang. a. = y 1 (b* ,-j- c 7 }
«t tang. /3 = — Donc, puisque les axes des coordonnées x, y, ^ sont
i 7 6 THÉORIE
les mêmes que ceux des coordonnées p , q , r, les angles «. et (Z , relativement au plan tangent, seront pareillement déterminés par ces formules :
tang. ce = V ( f ) et tang. fà = — î— .
149. En général , ^ =f(x, y) étant l’équation de la surface proposée , et r = F {p, q ) celle d’une surface donnée , si on veut que ces deux surfaces aient un point commun qui réponde aux coordonnées x, y il faudra que l’équation r = F(p, q) ait lieu aussi en faisant p = x , q =y, r=;j, ce qui donnera \ = F {x, y). Ensuite, si on considère les points des deux surfaces qui répondent aux mêmes coordonnées x -j- i et y -f- o , et qu’on nomme D la distance entre l’un et l’autre , c’est à-dire , la partie de l’ordonnée perpendiculaire qui se trouvera comprise entre les deux surfaces , il est visible qu’on aura
Développons ces deux fonctions par les formules du n. # 147, en nous arrêtant d’abord aux termes du premier ordre , nous aurons , en mettant ï » et i, à la place d c f(x, y),f'(x,y),f(x, y),
H [f" ( x + Xi, y + Xo) — F" (x + Xi, y + X 0 ) ]
+ io [fi (x + Xi, y + Xo) — F/ ( $ + X i , y + Xo ) ]
+ ~r [//(■* + **» y + AO ) — F„ ( x + Xi, y + Xo ) ].
Supposons que les termes multipliés par i et par 0 disparaissent , ce qui a lieu en supposant = F 1 ( x, y ) et q, = F, ( x , y ) , l’expression de D ne contiendra plus que des termes d’un ordre supérieur ; et il est facile de prouver qu’on pourra toujours prendre i et 0 assez petits pour que cette valeur de D devienne moindre que la valeur d'une pareille quantité pour une autre surface donnée , dans laquelle les termes multipliés par i et par o ne se détruiraient pas. Donc si l’équation r= F(p, q)
de
de la surface donnée contient trois constantes arbitraires a,b , c ,e t qu’on les détermine de manière à satisfaire aux trois équations
il sera impossible qu’aucune autre surface qui ne satisferait pas aux mêmes conditions, puisse passer entre cette même surface et la surface proposée dont les coordonnées sont x , y , ç.
Il est visible que les trois équations précédentes ne sont autre chose que l’équation même de la surface donnée, en y changeant les coordonnées p , q , r en x , y , ç, et les deux équations primes de celle-ci prises suivant x et suivant y. D’où l’on peut conclure, en général , que si F(p, q , r)= o est l’équation de la surface donnée , les trois équations dont il s’agit seront renfermées dans celles-ci F(x,y,q) = o,F(x,y,ç) = o et F, (x , y, ç ) = o , en regardant \ comme fonction de * et y; de sorte que si on désigne simplement par F (x), F (y)> F ({) les fonctions primes deF(x,y,^) prises relativement à x , y , ç seuls , les deux dernières équations deviendront ( n.° g 1 )
1 50. Reprenons l’expression générale de la distance D , et développons les deux fonctionsqu’ellecontient , en poussant le développement jusqu’aux secondes dimensions de i et 0 ; si on suppose que les trois équations cidessus aient déjà lieu , on aura simplement
D = J rU" — + — F }(*>y)1 + -q-[u — F «W)3
en faisant , pour abréger ,
A"> —f>"(x + \i,y + \o) — F"(x + \i,y + \o) A", = f", ( x + Ai, y + Ao) — F 1 , (x + Ai, y +Ao) &c.
Donc , si l’équation r = F (p , ÿ ) de la surface donnée est telle qu’on puisse encore satisfaire aux ti oh équations ^" = F'{x,y),^, = F'^XjV),
i ?9 THÉORIE
q„ = F„ ( .v , y ) r les termes du second ordre disparaîtront aussi dans l’expression de i O, et on prouvera aisément qu’il sera toujours possible' de prendre les quantités i et o assez petites pour que la distance D soit plus petite que la distance A pour toute autre surface donnée qui ne satisferait pas aux mêmes conditions ; d’où il suit qu’il sera impossible que cette surface passe entre la surface donnée dont l’équation est /•= F (p ,q), et la proposée dont l’équation est q = f(x,y); et ainsi de suite.
Si on représente en général par F (p, q , r) = o l’équation de ta surface donnée , il est visible que les trois dernières équations seront renfermées dans celles-ci : F' ( x , y , ^ ) = o , F' ( x , y , 7 ) = o e r F,i ( x , y , = o , en regardant 7 comme fonction de x et y ; et ainsi
des autres.
On pourra donc étendre aux surfacesla théoricdes contacts de différens ordres que nous avons exposée relativement aux lignes courbes , et en déduire des résultats semblables. Ainsi , pour le contact du premier ordre on aura l’cquation F (x, y , {) = o avec ses deux équations primes suivant x et y ; pour le contact du second ordre , on aura., outre les trois équations précédentes , les trois équations secoudes de Féxjj, j ) = o- 1 suivant x , suivant y , et suivant x et y ; et ainsi de suite.
1 5 i . Prenons , pour la surface donnée , la sphère dont l’équation la plusgénérale est
p , q , r étant les trois coordonnées d’un point quelconque de sa surface , a , b , c les trois coordonnées qui déterminent la position du centre ,etd le demi- diamètre , ou le rayon.
En changeant dans cette équation p , q , r en x, y , 7, et prenant ensuite les deux équations primes suivant x et y, on aura ces trois équations :
( x — a y + (y — by + ( \ — cy — d z — o x — — c ) = o , y — b + {, ( { — O = °»
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 179 j>ar lesquelles on pourra déterminer d’abord les trois constantes a,b , c ,• ■on trouvera ainsi
a = x -Jb = y + c = l —
et le rayon d sera encore arbitraire.
La sphère déterminée par ces élémens sera donc tangente de la surface, et par conséquent son rayon sera perpendiculaire à la meme surface. Ainsi , en regardant la valeur de ce rayon comme indéterminée , les trois quantités a , b, c seront les coordonnées de la perpendiculaire à la surface, d étant variable, et x, y, ç constantes.
151. Pour que la sphère devienne osculatrice de la surface , on aura encore trois autres équations , qui seront les trois équations secondes de la première équation ci-dessus ; mais, comme il ne reste plus qu’une arbitraire d, il est clair qu’on ne pourra pas satisfaire à toutes ces équations ; d’où il suit qu’il est impossible de trouver en général une sphère osculatrice d’une surface , comme on trouve le cercle osculateur d’une courbe.
Si , au lieu d’une sphère , on voulait employer la surface formée par la rotation d’un arc de cercle autour de sa corde ; comme on aurait dans l’équation de cette surface six constantes arbitraires, on pourrait alors déterminer ces élémens de manière que le contact du second ordre eût lieu en général avec une surface quelconque. Il en serait de même pour toute autre surface dont l’équation renfermerait au moins six constantes arbitraires.
1 53. Mais si parmi toutes les sphères touchantes il ne peut y en avoir aucune qui devienne proprement osculatrice de la surface , on peut néanmoins déterminer celle qui sera osculatrice d’une courbe quelconque traeée sur la même surface. Pour cela , il n’y aura qu’à supposer y fonction de x, comme dans les couibîs à double courbqre , et prendre, dans cette
iSo THÉORIE
hypothèse , les équations primes et secondes de l'équation de la sphère ( * — a y + ( y — b y 4- ( { — c y — d' — o.
L’équation prime sera
x — a + y' (y — *) + (?'+ y' î' ) ({ — c ) = o , en regardant toujours ^ comme fonction de x et y , dont les deux fonctions: primes sont f et » et ensuite y comme fonction de x , dont y 1 est la fonction prime. On trouvera , de la même manière , cette équation seconde
» + y* + y" (y — &) + ({' + y'{,)* 4-({" 4- iy'{/ + y /l ï» + y"{/)
L’équation prime est déjà remplie par les deux équations primes du n.’ i 5 1 , x — a {' ( f — c ) = o , y — b + {, ( f — c) — o. Ainsi , il ne reste qu’a satisfaire à l’équation précédente , laquelle , à cause de y — b 4“ {/ ( { — c ) = o , se réduit à celle-ci
+ ({' + y'{,y + (?" 4- iy'î/ 4- y n {n) ({ — 0 = o-
Si donc on substitue dans cette équation la valeur de c trouvée ci-dessus. ( n.‘ cité), on en pourra tirer la valeur de d , et l’on aura
d — l » + y“ + (t , + ûnV(i+f + îM ï t^v4-y'i,,
Connaissant ainsi le rayon d de la sphère osculaire , on aura , par les formules du même numéro , les valeurs des coordonnées a , b , c dû. centre.
1 54. La quantité y 1 qui entre dans les expressions précédentes, dépend de la courbe qui est la projection de celle qu’on suppose tracée sur la surface. Cette courbe étant arbitraire, on peut chercher celle dans laquelle le rayon de courbure d sera un maximum ou un minimum ; et pour cela y il n’y aura qu’à égaler à zéro la fonction prime de l’expression de d , regardée comme fonction de y 1 ( n‘ 1 3^ ). Mais , pour simplifier le calcut , nous observerons que puisque d = ( 3 — c ) V ( 1 4- f' 1 4~ f/ 1 ) » le maximum ou minimum de d, relativement à y', répondra au maximum. ou minimum de c ; ainsi, il n’y aura qu’à prendre l’équation prime de
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 181 l’équation ci-dessus entre c et y 1 , en supposant nulle la fonction prime de c, c’est-à-dire , en ne regardant que y' comme variable. On aura de cette manière l’équation
qui , étant combinée avec la même équation , servira à déterminer y' et c.
Si on multiplie cette équation par y' et qu’on la retranche de l’équation dont il s’agit , on aura celle-ci plus simple
>+{'* + y'ïti + ({" + /?',) ({ — c) = o, qu’on combinera avec la précédente.
Par l’élimination de ^ — c on aura une équation en y' de cette forme : A y 1 * — B y 1 — C = o , en faisant , pour abréger ,
et la résolution de cette équation donnera
