__ B , =*= V ( B' + $ AC

équation du premier ordre en x , y et y' , puisque j étant , par la nature de la Surface , une fonction donnée de x et y, les quantités A ,B , C seront aussi des fonctions données de x et y. Donc l’équation primitive en x et y renfermera une constante arbitraire, et représentera une infinité de courbes qui seront les projections des lignes de plus grande et de moindre courbure de la surface proposée.

Si on combine les deux équations ci-dessus de manière à faire disparaître les termes où y' et ç — c se trouvent ensemble , on en tirera

Donc , substituant la valeur de y' , et faisant de plus

£ = ( i H- f ) fr, + ( x + { /) f +

xfil

on aura ç — c :

E <*+±d£± - , et de-lù * ( \ l, — 1 , )

Vffl; + 4^C)]V('+; I, + ;') 1 f i h, — îV )

d’où l’on voit que les deux valeurs du radical donnent , l’une le maximum , et l’autre le minimum du rayon d.

11 y a donc , à chaque point de la surface , deux branches qui se coupent et qui répondent , l’une à une ligne de plus grande , et l’autre à une ligne de moindre courbure ; et l’angle sous lequel elles se coupent , dépend de la double valeur de la quantité y‘ , qui est égale à la tangente de l’angle formé par la tangente de la courbe de projection sur le plan des x et y avec Taxe fixe des x. Or , comme la position de ce plan est arbitraire , on peut la prendre de manière qu’il coïncide avec le plan tangent de la surface , alors la projection de la courbe se confondra avec la courbe même , et les deux valeurs de y 1 deviendront les tangentes des angles que les tangentes des deux branches de plus grande et de moindre courbure feront avec une même ligne; par conséquent la différence de ces angles sera l’angle cherché sous lequel ces branches se coupent ; donc nommant «.et $ les deux valeurs de y 1 , la tangente de cet angle sera , par les formules

connues, — — = ^ ^ \ ^ ^ . Mais il est facile de voir,

par les formules du n.° 148 , que , pour que le plan tangent d’une surface coïncide- avec le plan des .v et y , il faut que les valeurs de ^ et ^soient nulles. Faisant donc dans les expressions de A , B , C , ?' = o , p, = o , ou aura A = p' ( , B = — f", C = j' f , ce qui donne A — C = o.

Ainsi la tangente de l’angle dont il s’agit sera infinie , et par conséquent l’angle sera droit. D’où l’on doit conclure en général , que les lignes de plus grande et de moindre courbure d’une surface quelconque se coupent toujours à angles droits.

155. La propriété du maximum et du minimum n’est pas la seule qui caractérise ces lignes , elles sont encore distinguées par rapport à leurs développées. En effet , si on cherche les conditions nécessaires pour que le rayon de courbure soir par-tout tangent à la courbe des csmres, on

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 183 trouvera , par des considérations semblables à celles du n.° 141 , appliquées

aux expressions des coordonnées a , b , c de cette courbe ( n* 1 $1 ) , que ces conditions se réduisent à ce que les valeurs des fonctions primes a 1 , b' , c 1 soient les mêmes , soit que la quantité ci soit seule variable , ou que les quantités .v , y , \ varient en même temps que d. Ainsi , si on prend les équations primes des trois équations ( x — <2 )* -f- ( y — b f + ({ — c) z = d',x — a — c) = o ,y — b + ?,({ — c) = o r

du n.” i$i , d’où dépendent les valeurs a ,b,c , il faudra que la partie due à la seule variation de x ", y , * soit nulle. Or , il est visible que la seconde er la troisième équations rendent nulle cette partie dans l’équation prime de la prenvière équation ; donc il suffira de prendre les équationsprimes des équations x — n f ' ( { — c ) = 0 > y — b ~\ - {, ( ? — c ) = o r

en regardant b et c comme constantes. Ces équations seront donc ,«en regardant , comme ci-dessus ( n.° tfj ) , y comme fonction de x, et ç comme fonction de x et y.

et si on les compare aux deux équations du r.. c 154 , qui déterminent le maximum et le minimum de d , on voit qu’elles sont identiquement les mêmes. D’où il suit que les lignes suivant lesquelles le rayon de courbure sera rangent de la courbe des centres , sont les mêmes que celles de la plus grande ou de la moindre courbure.

Mais les expressions dfc a , b , c du n.° 151 donnent , en' ne faisant

varier que d , a' =

c' — — — J ; d’où l’on tire a 11 -f fi* + c* = d‘\ et

par conséquent d‘ = V ( a* fi* + c* ) ; d’où l’on conclura ( n.° 1 44 ) que la quantité d sera égale à l’arc de la courbe dont a , b, c sont les coordonnées. Ainsi cette courbe sera la véritable développée des lignes de plus grande et de moindre courbure , et réciproquement il n’y aura 1 sur une surface quelconque que ces lignes qui puissent avoir une développée formée par les rayons de courbure.

184 théorie

Ces propriétés dessurfaces sont trcs-curieiises, et méritent tou te l’attention des géomètres ; elles donnent lieu sur-tout à des applications importantes pour les arts. Voyez les Mémoires présentés à l’Académie des Sciences , et l’ Application de l'analyse à la génération des surfaces courbes , par Monge.

15 6. On peut proposer sur les differens contacts des surfaces des problèmes analogues a ceux qui nous ont occupés , relativement aux lignes courbes ( n.° izi et suivans ) , et les résoudre par des principes semblables. Nous nous contenterons ici de considérer les contacts du premier ordre.

Suivant les formules du n.* 150 , si l’équation F(p, q , r) = o, de la surface donnée , contient trois constantes arbitraires , a , b , c , pour cjus cette surface ait un contact du premier ordre avec une surface quelconque rapportée aux coordonnées * , y , q , il faut déterminer a, b, c, en x, y, par les trois équations F ( x , y , j ) = o , F 1 ( x , y , ^ ) = o , F, ( x , y , j ) = o , dont les deux dernières se réduisent à la forme F' (x ) + F' (f ) = o , et F'(y) + ^ F'(ç) =0. Donc , si la question est de trouver la surface pour laquelle les trois élémens du contact a , b , c , auront entr’eux une relation déterminée , il faudra substituer , dans l’équation qui exprime cette relation , les valeurs de a, b , c , et si cette équation est entre les quantités a,b,cetx,y,ç, on aura une équation du premier ordre en x , y , ç , ç' et qu’on pourra traiter par la méthode générale du n.° 104.

Mais si l’équation dont il s’agit n’était qu’entre les trois quantités a , b , c , la solution du problème serait beaucoup plus simple. En effet , il est clair qu’on peut alors supposer que les quantités a , b , c soient constantes ; et dans ce cas l’équation F ( x , y , ç ) = o sera l’équation primitive de l’équation du premier ordre donnée par les conditions du problème , en y substituant pour une des trois constantes a , b , c , sa valeur tirée de l’équation donnée ; on aura ainsi une équation primitive qui ne sera que particulière ; mais comme elle renferme deux constantes arbitraires , on (pourra par la méthode du n.° 95 , trouver l’équation primitive générale qui donnera la solution complète du problème. On fera donc , suivant cette méthode , b — a , si a et b sont les

deux

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. i8j

deux constantes arbitraires ; on éliminera a au moyen de l’équatios F ( x y y , ç ) = o et de son équation prime , prise relativement à la seule quantité a, équation représentée par P(u) -j- <p' a * F 1 ( 5 ) = o „ en dénotant par F' {a) et F 1 (b) les fonctions primes deF(.x,y,{)* relativement aux variables isolées a et b.

1 57. Pour voir comment le système de ces deux équations satisfait au problème, on observera d’abord que l’équation F(x, y, = o, représente la courbe donnée avec laquelle la proposée doit avoir un contact du premier ordre ; ainsi cette équation résout le problème , quelles que soient les constantes arbitraires a et b. Mais comme le contact demandé par le problème , exige seulement que les valeurs de ç et de ses deux fonctions primes ^ et soient les mêmes pour les deux courbes , il s’ensuit qu’il aura également lieu en supposant a et b variables , pourvu que ces fonctions primes soient encore les mêmes. Or, c’est précisément ce qui résulte du système des deux équations dont il s’agit , comme on peut s’en convaincre par le n.° 95.

Nous observerons ensuite que la surface représentée par le système de ces équations , ne sera autre chose que la surface formée par l’intersection continuelle des surfaces représentées par la même équation F (x, y, f ) = o , en y faisant varier le paramètre a ; de manière que cette surface touchera ou enveloppera à la fois toutes ces différentes surfaces particulières. En effet, si on représente , ce qui est permis, cette surface enveloppante , par l’équation F ( x , y , ^ ) = o , dans laquelle a soit une quantité variable quelconque , et qu’on cherche à déterminer cette quantité , de manière que la même surface touche successivement toutes les surfaces données , il faudra satisfaire à l’équation .F' ( a ) -j- q>‘ a x F' {b) = o pour que les valeurs de ^ et j, soient les mêmes que celles des surfaces enveloppées. Ceci répond à ce qu’on a trouvé plus haut (n.° 126), relativement aux lignes courbes.

158. Puisque l’équation F ( x , y , ^ ) = o renferme les trois arbitraires a , b , c qui doivent être déterminées par la combinaison de cette équation avec ses deux équations primes prises relativement à x et y*

en regardant a, b, c comme constantes ( n.* 156); si on regarde îhaintenant ces quantités comme des fonctions de x et y , il est clair qu’on aura aussi séparément les deux équations primes de la même équation relativement à ces quantités. Ainsi , en désignant par F 1 ( a ) , F 1 ( b ) , F 1 {c) les fonctions primes de la fonction F ( x , y , ^ ) prises relativement aux seules quantités a , b , c considérées séparément, on aura encore ces deux équations primes

Soit c = f {a , b) l’équation qui exprime la relation donnée entre les quantités a, b, c, c n prenant de même les deux équations primes, on aura

f 1 (a) et P (£) étant les deux ' fonctions primes de f (a, b) prises relativement à a et b isolées. Substituant ces valeurs de cf et c, dans les deux équations précédentes , on aura

*[F‘(a) +f(a)«F>(c)] + FlF'^b) +p(b)*F'(c)] = o, ( a ) + f ( a ) *^'( 0 ] + +f (b) x F' (c)] = o,

d’où l’on tire cette équation <ri b, — b 1 a, = o , où la fonction désignée par la caractéristique f n’entre plus.

Si donc on substitue dans cette équation tri b, — h' a, = o les valeurs de a , b en x , y , ç , f et , on aura une équation du second ordre , dont l’équation primitive du premier ordre sera c = f( a , b) , ’a fonction désignée par f étant arbitraire ; et l’équation primitive de celle-ci entre x , y , ^ sera le système de l’équation F (x , y , { ) = o , et de son équation prime prise relativement à a , après y avoir substitué /(*.*) pour c , et p a pour b , ta fonction <p a étant la seconde fonction arbitraire. Ainsi on pourra , de cette manière , trouver l’équation primitive de toute équation du second ordre réductible à la forme <ri b, — b 1 a, = o , les quantités a , b étant déduites d’une équation quelconque F ( x , y , f , a , b c ) = 0, entre les quantités

x , y , a , b , c , et de ces équations primes prises dans l’hypothèse

de a , b , c constantes ; ce qui fournit une méthode importante pour . les progrès de l’analyse inverse des fonctions de deux variables.

159. Appliquons la théorie précédente au^T plans tangens. Nous avont trouvé plus haut , que les élémens a , b , c du contact d’un plan représenté par réquarion r == a + bp -j- cq sont exprimés ainsi : a = { — x — y^.b = f > c = h- Donc si l’on a une équation quelconque entre ces trois quantités , laquelle donne , par exemple , c = / (a , b ) , l’équation primitive de cette équation du premier ordre «era représentée par le système de ces deux équations ,

{ — a + x <p a + yf (a , <p a) ,

1 + x p' a -f- yf{a)< = o ,

en dénotant par <p' a et f ( a )' les fonctions primes de <p a et de f (a , <pa) relatives à a. La quantité a devra être éliminée pour avoir une équation enx, y , ç ; et la fonction <p a sera la fonction arbitraire.

Certe équation sera donc celle de la surface formée par l’intersection continuelle de tous les plans représentés par l’cquation j = a -f- x cp a -f- yf(a,tpa) 3 en faisant varier successivement le paramètre a ( ri." 1 57 ) ,• ce sera par conséquent une surface développable , puisqu’on peut concevoir que le même plan tangent , supposé flexible et inextensible , s’applique et se plie sur la surface , sans duplicature ni solution de continuité , et réciproquement que la surface s’applique et se développe sur le même plan sans se briser ou se replier.

Puisque a = ^ — y , et b = ^ , on aura a 1 = — x f 11 — y ^ ,

a , = — x f, — y , b 1 = ç" , b, = f', , donc l’équation a 1 b, — a,b' = o

(n.* prie. ) deviendra (xf + y {',){'/ — (*{' + y{„) {" = o; savoir , r„ = o. Ce sera l’équation générale des surfaces déve-

loppables , dont par conséquent l’équation primitive sera le système de ces deux-ci , { = a -f- x <p a y fa , et 1 -f- a p' a -j- y f a = o ,

(f, a et fa dénotant deux fonctions arbitraires de a. Voyez les ouvrages

déjà cités (n. e z 55 ).

160. Si on demande les plus grandes ou les moindres ordonnées ç

Aa 1

i88 THÉORIE

d’une surface donnée , il est aisé de concevoir qu’elles ne peuvent répondre qu’aux points où le plan tangent devient parallèle au plan des x et y ; donc on aura dans ces points , tang. a = o , et par conséquent = o (rc® t^.8); ce qui ne peut avoir lieu qu’en faisant à la fois = o et = o. Ce sont-là les conditions nécessaires pour que l’ordonnée ^ devienne un maximum ou un minimum.

Puisque ^ peut représenter une fonction quelconque de x et y , on en conclura en général , que pour qu’une fonction de deux variables devienne nn maximum ou minimum , il faut que ses deux fonctions primes relatives à chacune de ces variables , soient nulles.

Mais on peut parvenir directement à cette conclusion par la considération des fonctions d’une seule variable, suivant la théorie du n.° 132 r et trouver en même temps les conditions nécessaires pour que le maximum ou minimum ait Heu. En effet , ç étant fonction de x ety , on peut supposer d’abord x donné , et chercher le maximum ou minimum de ^ relativement à y ; on aura pour cela l’équation '= o , et ensuite ç, , < o pour le maximum et > o pour le minimum. Si donc on substitue dans ç la valeur de y tirée de l’équation = o , cette quantité ç deviendra une simple" fonction de x , et sera déjà un maximum ou minimum relativement à y. If n’y aura donc qu’à la rendre encore un maximum ou minimum relativement à la quantité x qui’avait été supposée constante ; or , y devant maintenant être regardé comme une fonction de x donnée par l’équation = o , il est clair que la fonction prime de ^ relativement à x ne sera pas simplement

, mais + y' 1, , et sa fonction seconde relative aussi à x , sera ï" + 1 y' ?'/ + y' 1 + y" {/•» en désignant toujours par y 1 et y" , les-

fonctions primes et secondes de y relativement à x On aura donc {' "+■ ï == 0 » et comme on a déjà = o , cetre seconde équation se réduira à = o. De sorte qu’on aura pour la détermination de x et y , les deux conditions ç' = o , r = o , comme plus haur.

Maintenant il faudra de plus que l’on ait -}- 1 y' -j- y' 1 -j- y" {, < o

pour le maximum et > 0 pour le minimum ; mais comme y doit être déterminé par l’équation 7 # = o , y' le sera par son équation prime

+ y' {„ = o , laquelle donne y 1 = — — ~ — . Ainsi on aura pour le

DES PONCTIONS ANALYTIQUES. 189

' maximum 1 "

< o , et pour le minimum

1 — — — > o‘, ou bien ,

puisque doit être aussi < o dans le premier cas , et > o dans le second , il faudra que l’on ait , tant pour le maximum que pour le minimum , r" — {7 > o* D’où l’on peut conclure que les valeurs de x et y tirées des équations ^ = o et = o , donneront un maximum ou un minimum , suivant que l’on aura % , < ou > o , pourvu que l’on -ait en même temps ç" — |7 > o , ce qui emporte , comme l’on voit , la condition que et soient de même signe.

Donc , si — ç7 = ou < o , il n’y aura ni maximum ni minimum , à moins que les fonctions tierces ne disparaissent aussi , auquel cas le jugement dépendra des fonctions quartes , et ainsi de suite.

11 ne suffit donc pas pour l’existence du maximum ou minimum , que l’on ait < o et < o ou > o et > o , comme on pourrait le conclure du chap. XI de la seconde partie du Calcul différentiel à' Euler.

1 6 t. Il est facile d’appliquer la méthode précédente aux fonctions de trois variables. Supposons que u soit fonction des variables x , y , ^ ; regardant d’abord x et y comme constantes , et ç seul comme variable , on aura , suivant la notation déjà adoptée ( n.° toj } , ,u = o pour la condition du maximum ou minimum , et ensuite „u < o pour le maximum et n u > o pour le minimum. L’équation ,u = o donnera la valeur de £ en x et y , qu’on substituera ou qu’on supposera substituée dans la fonction u , moyennant quoi cette fonction ne contenant plus que les deux variables x et y , retombera dans le cas que nous venons de résoudre.

Pour construire des formules générales , on remarquera que si u n’était qu’une fonction de x et y , on aurait pour le maximum et minimum les conditions u‘ = o et u, = o ; ensuite pour le maximum u n < oet pour le minimum u„> o , et enfin u" u„ — u'* > o pour les deux cas. Mais puisque u contient de plus ^ qui est elle-même une fonction de x et y , les valeurs des fonctions désignées par u' , u, , u", &c. , ne seront pas simplement exprimées par ces quantités, mais il y faudra ajouter les termes qui doivent provenir de la quantité ^ regardée comme fonction de x et y. Ainsi , en prenant les fonctions primes et secondes de u , oa

i 9 o THÉORIE

trouvera que !a quantité u' devient uf + ,u f , que la quantité u, devient

v, ~r ,u[, , que la quantité u" devient u " + x ,uf + ,u^" -j- n u {* >

que la quantité u„ devient u„ + x. ,u, {, -f- 4* t, u {/* * et q ue la

quantité u devient u', + M {' 4- /«' {i + + n u t {/•

Donc on aura d’abord pour le maximum ou minimum , les deux conditions u 1 -j- ,u ^ = o , u, , u {i = ° » de sorte qu’à cause de , u = o , on aura ces trois équations u 1 = o , u , = o et ,u = o ; c’est-à-dire , les trois fonctions primes de u relatives à x , y , ç , chacune égale à zéro.

Ensuite , à cause de ,u = o , on aura u, f + x ,u, „u < o pour le maximum et > o pour le minimum , et pour l’un et l’autre ,

Mais comme la valeur de { en x et y dépend de l’équation ,u = o., on prendra scs deux équations primes suivant x et y , pour avoir les valeurs de i 1 et de ; on aura donc ,u‘ -j- „u ç' = o et ,u, + „u = o ;

d’où l’on tire ?' = — , et = On substituera donc

ces valeurs , et comme l’on a déjà trouvé „u < o pour le maximum et > o pour le minimum , en multipliant la première condition par- n u , on aura une quantité qui devra toujours être > o. Donc les conditions pour le maximum ou minimum se réduiront à ces trois-ci

u i i < o pour le maximum et > o pour le minimum ,

„U u„ — ,u; > o , et

On voit par la marche de cette méthode , comment elle peut s’étendre à un plus grand nombre de variables , et on en peut d’abord conclure eu général , que l’on aura les équations du maximum ou minimum d’une fonction quelconque de plusieurs variables , en égalant à zéro les fonctions primes de cette fonction , prises relativement à chacune de ces variables ; ce qui donnera autant d’équations que de variables. A l’égard des autres conditions nécessaires pour l’existence du maximum ou minimum , on les

trouvera successivement par les principes et les formules que nous venons d’exposer^ —

161. Pour donner un exemple de la méthode de maximis et minintis , supposons qu’on demande la plus courte distance entre deux lignes droites données de position dans l’espace. Soit pour l’une des droites l'abscisse * , les deux ordonnées seront de la forme a-\-bx et c-\-dx; soit pareillement pour l’autre droite l’abscisse y prise sur le même axe , les deux ordonnées rapportées aussi aux mêmes axes que celles de la première droite seront de la forme l -f- By t et C 4 - D y; donc, le carré de la distance entre les deux points qui répondent aux abscisses x et y, sera exprimé par cette formule ,

(* — yT+ (<* — A + bx — By)' + (c — C + dx — Dy)\ que nous ferons , pour plus de simplicité , égale à 1

En prenant les fonctions dérivées , on aura

= — (x — y) + b(a — A + bx — By) + d (c — C + dx — Dy ),

— — (x — y) — B (a — A + bx — By ). — D(c — C + dx — Dy) t

? = 1 + 5 * + d\ { „ = i + Bd + D\ { / = — r — b B — dD.

Donc , i.° on aura , pour la détermination des deux inconnues x et y , les équations

x — y + b (a — A + b x — By ) + d {c — C + dx — Dy) = o, x — y + B (a — A + bx — B y) + D {c — C -f- dx — Dy ) =

a.° Puisque la valeur de ç" est nécessairement positive , il ne pourra y avoir que le minimum , mais il faudra de plus que l’on ait la condition — 7/* > o ; savoir

(1 + b' + d') (1 + B* + D 5 )-~»(i + bB + dD y > o.

Or, c’est ce qui a lieu, quelles que soient les valeurs de b, d. B, D; <ar la condition précédente peut se mettre sous cette forme

( b — B y + ( d — Dy + ( bD — dB y > o.

Comme les équations en x et y sont linéaires, la détermination de ces

quantités n’a aucune difficulté ; nous ne nous y arrêterons pas, d’autant que ce problème est susceptible d’une solution géométrique for^élégante.

1 6 j. On peut encore , dans la recherche des maxima et minima des fonctions de plusieurs indéterminées , considérer toutes les variables à la fois, ce qui est plusdirect et plus lumineux. Soir, en effet,/ ( x,y, ç , u .. .) la fonction proposée , si on suppose que les quantités x , y , { , u , &c. aient déjà les valeurs convenables pour le maximum ou minimum , il faudra qu’en substituant x-\-p t y-\-q,^-\-r,u -f- s , &c. , à la place de x,y, ç, u , &c. , dans la fonction dont il s’agit , sa valeur devienne toujours plus petit» dans le cas du maximum , et toujours plus grande dans le cas du minimum , quelles que soient les valeurs de p , q, r, s , Sic . , et quelque petites qu’elles soient ; c’est ce qui résulte de la nature même du maximum ou minimum (n.* tjz). ■

Développons la fonction /(*4-p*y4 ?»{ + r, u -f- s...) suivant les puissances et les produits des quantités p , q , r , s , &c. , par les formules du théorème général ( n.° 14 7 ), et arrêtons-nous aux premiers termes de ce développement.

Si on désigne simplement ( ainsi que nous l’avons pratiqué jusqu’ici ) par f' (x) , f 1 (y), / ({)*/(“)« &C., les fonctions primes de la fonction /( x , y, ç , u . . . ) , prises relativement à r,y, j, u , &c* considérés séparément, et qu'on désigne de plus par f" (x),/" (-v,y),/"(y), f" ( x ,{),/" (y , {)»/"(?) » &c. les fonctions secondes de la fonction

• /(x + Xp, y + \q, 1 + Xr, u + Af ....) ,

prises relativement à x seul , à x et y , à y seul , à * et ç , à y et { ; et ainsi de suite , on aura

/(* + p>y + q, i + r, u + s . . .) =/(x, y, £,U..) + pf(*) 4- qï (y)*4- rf(0 4- s f'0 J ) 4- & c -