i p'f" (*) 4- pqf‘ (x,y ) 4- iç' f (y) 4- prf (x,f

Le coefficient A désigne un nombre indéterminé compris entre o et 1 ,

et

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 193 et qui sera le même dans la même fonction , mais pourra être différent dans les différentes fonctions.

•Donc , il faudra que la quantité

Pf (*) + qf (y) + r f (?) + sf (u) + &c.

+ 1 p* f" (x) + pqf (*> y) + i ff (y) + &c.

«oit toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum , ea donnant à p, q, r, &cc . , des valeurs quelconques aussi petites qu’on voudra. D’où l’on conclura d’abord , par un raisonnement analogue à celui du n.° iji, que cette condition ne pourra être remplie, à moins que les termes multipliés par les premières puissances de p , q , r , &c. , ne soient nuis chacun en particulier, ce qui donnera les équations

qui sont communes au maximum et au minimum , et qui étant en même nombre que les indéterminées p , q , r, s , &c. , serviront à déterminer leurs valeurs.

1 64. Mais pour que ces valeurs donnent en effet un maximum ou ua minimum, il faudra encore que la quantité restante

ïp'f» (x) + pqf (x, y) + J q'f (y) + p r f ( * , ? ) +

soit toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum , quelles que soient les valeurs de p , q , r, & c. , et quelque petites qu’elles puissent être.

Comme les fonctions f" (x), /" (x, y ), &c. , qui multiplient les carrés et les produits des quantités p , q, r, &c. , renferment ellesmêmes ces quantités , il pourrait être difficile , et peut-être impossible de déterminer les caractères nécessaires pour que la condition dont il s’agit ait lieu rigoureusement ; mais j’observe que si on suppose X = o , ces fonctions deviennent indépendantes de p, q, r, &c. , et ont des valeurs déterminées ; et l’on trouve alors , comme on le verra dans un moment , des conditions entre ces mêmes fonctions , qui ne consistent

Bb

i 9 4 THÉORIE

que dans des inégalités entre des quantités composées de ces fonctions. Ces inégalités étant supposées avoir lieu pour des valeurs déterminées de x, y, ç, &c. , auront lieu encore pour les valeurs peu différentes x + Xp, y -±- Xq,y + Xr, &c.,tant que les quantités Xp, Xq, Xr, &c., ne passeront pas certaines limites qui pourront être aussi peu étendues qp’on voudra. Donc , puisque la condition exigée pour le maximum ou minimum , n’a besoin d’être remplie que pour des valeurs quelconques de P , q , r, &c. , aussi petites qu’on voudra , il s’ensuit qu’il suffira de satisfaire à cette condition dans le cas de X — o; par conséquent on pourra supposer tout de suite A = o , ce qui réduira les fonctions/" ( x ), f (* > y) » f u (y)* &c. , qui entrent dans la quantité ci-dessus i p'f" ( x ) 4 * pqf" (*> y) 4 ~ &c. , à n’être que les fonctions seconde» de la fonction donnée / (*, y , { , u . . . ) prises relativement à x seul à x et y , &c.

1 6$. Tout se réduit donc à trouver les conditions pour qu’une quantité de la forme

A p* + B p q C q* -J- Dp r E q r -J- Fr 1 " 1 " &c. ,

dans laquelle A T B, C, &c. sont des quantités données , et p , q , r, &c, dénotent des quantités indéterminées , soit rou jours nécessairement positive ou négative, quelles que soient les valeurs de p , q, r, &c.

Supposons qu’elle doive être toujours positive, il est évident que, pour le cas contraire, il suffira de prendre négativement les coèfficiens A,B r C, &c. Puisque cette quantité ne peut jamais devenir négative , il s’ensuit qu’elle doit avoir un minimum positif ; et réciproquement , si elle n’a que des minima positifs , elle ne pourra jamais devenir négative. Il n’y a donc qu’à chercher les conditions nécessaires pour que la quantité dont il s’agit ait des minima tous positifs.

Suivant l’esprit de la méthode exposée ci-dessus (n. # 161 ) , on prendrsf les fonctions primes et secondes de la quantité proposée relativement à une seule variable, comme p, et on supposera la fonction prime égale à zéro , et la fonction seconde positive. On aura ainsi l’équation xAp-\r Bq -f- D r + &c. = o , et la condition A p- o.

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. ijf

On substituera la valeur de p , tirée de l’équation précédente, dans la quantité proposée, laquelle deviendra ainsi de la forme

L<f Mqr Nr 1 -j- P q$ -}- &c. ,

<* L = c ~ -fr '■ M - =■ E ' — Vk- ■ = ?■ — Sr ■ «■*

On prendra , de la même manière , les fonctions primes et secondes de cette transformée relativement à une seule variable q , et faisant la fonction prime égale à zéro , et la fonction seconde positive , on aura de nouveau l’équation iLq -j- M r -j- P s -{- &c. == o, et la condition L > o.

On substituera pareillement dans la transformée précédente la valeur de q, tirée de cette équation ; on aura la nouvelle transformée T r* •+• V r s + Xi 1 4* Sec . , dans laquelle les coèfficiens T, V, X, &c. seront donnés en L, M , N, &c. , comme ceux-ci le sont en A , B , C , Sec. ; et continuant le même procédé , on aura l’équation xTr + Vs -f- &c. = o , et la condition T > o ; et ainsi de suite.

Maintenant il est aisé de voir que la dernière de ces transformées, celle qui ne contiendra plus qu’une seule des indéterminées p, q, r , &c. , et qui sera par conséquent de la forme Z s 1 , sera elle-même le minimum de la quantité proposée ; d’où il s’ensuit que les conditions pour que cette quantité ait un minimum positif, seront A> o , Z, > o, T> o . . . Z > o; et comme les équation» qui déterminent les valeurs d a p, q, r, &c. , sont toutes linéaires , on en conclura que ce minimum sera le seul qui puisse avoir lieu. Ainsi, le problème est résolu rigoureusement.

Au reste , il est facile de voir que par ces différentes transformations , la quantité proposée deviendra de la forffie

a + - 8 ' — )■ + l ( ? + ■■ " r + f * Ht **•- y

laquelle sera évidemment toujours positive ou négative , suivant que les coèfficiens A , L ,T , &c. le seront tous à la fois ; et l’on voit en même temps par cette forme , que les quantités A , L ,T, &c. pourront être oulles , pourvu qu’elles ne le soient pas toutes à la fois.

Les conditions que nous venons de trouver deviendront donc celles du maximum ou minimum de la fonction /( x , y , ^ , a . . . . )', en faisant pour le minimum A =f" ( x ) , B =f“ ( x , y ) , C = f“ ( y ) &c. , et pour le mùximum A = — f"( x ) > R = — f" ( x * y ) * C = — f 11 ( y ) &c. Il est facile de voir 1 ‘accord de ces résultats tjvec ceux du n.° 161 ; mais la méthode précédente a l’avantage de fournir un moyen simple d’étendre. ces résultats à un nombre quelconque de variables.

i - 66 . Les principes exposés jusqu’ici sur là théorie de maximis et minimis , conduisent à cette conclusion générale : Si dans une fonction quelconque des variables x , y , ç &c. ,, on substitue à la place de ces variables les quantités x p , y -f* q , % + r &c. , et qu’on développe la fonction suivant les puissances et les produits des quantités p , q ,/ &c. , les termes où ces quantités ne se trouveront qu’à la première dimension, étant égalés chacun séparément à zéro , donneront les équations nécessaires pour que la fonction proposée devienne un maximum ou minimum z ensuite on considérera la quantité cotnposéede tous les termes où p,q,r&c c, formeront deux dimensions, et il faudra pour le minimum que cette quantité soit toujours positive, et pour le maximum toujours négative., quelles que puissent être le^ valeurs d s p,.q, r, &c.

Si tous ces termes s’évanouissaient à la fois.,, il faudrait alors pour l'existence du maximum ou minimum , que tous les termes où p , q , r , &cc. . formeraient trois dimensions , disparussent aussi à la fois , et que la quantité' composée des termes où p , q , r , &C. formeraient quatre dimensions , . fût toujours positive pour le minimum et toujours négative pour le maximum, p , q , r , &c. ayant des valeurs quelconques ; et ainsi droite. Ce qui répond , comme l’on voit , au théorème du n.° 131.

Nous avons donné ci-dessus un moyen simple pour trouver les conditions qui rendent une quantité de la forme A p 1 -f- Bp q + &c. toujours positive ou négative ; on pourrait , de la même manière, chercher celles qui rendraient toujours positives ou négatives des quantités de la forme A p 1 ' B p 1 q - f- &c. ; mais l’application de la méthode générale à ce cas serait sujette à des difficultés de calcul qui pourraient la rendrez

««praticable ; et c’est là un problème d’algèbre dont il serait à désirer qu’on pût avoir une solution complète.

167. Nous avons supposé jusqu’ici que les variables qui entrent dansla fonction sont indépendantes les unes des autres ; mais s’il y avoir entre elles une ou plusieurs équations , il faudrait commencer par éliminer, aumoyen de ces équations , autant de variables dans la fonction proposée , en chercherait ensuite les conditions du maximum ou minimum par rapport aux variables qui seraient restées dans la fonction. C’est la méthode qui se présente naturellement ; mais on peut la simplifier beaucoup , en conservant toutes les variables ,, et réduisant l’élimination aux seules quantité* P , q , r , &c. v

En effet , supposons qu’on ait entre les variables &c. l’équation

f ( x, y, 7... ) = o ; comme cette équation doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de x , y , ç , &c. , elle aura donc liai aussi en mettant

&c. à la place de x , y , ^ , &c. ; par conséquent on aura , par un développement semblable à celui du n.° 163 , l’équation-

d’où l’on pourra tirer la valeur de p en série , qu’on substituera dans le développement de la fonction quj doit erre un maximum ou un minimum ou bien on ajoutera simplement à ce développement la quantité qui forme le premier membre de l’équation précédente , multipliée par une quantité quelconque indéterminée qui pourra même être de la forme

a + b p cq dr -)r &c.. + l p' + m p q -f* &c. ,

les coèfficiens a , b , c , &c. étant indéterminés, et on égalera à zéro tous les termes qui contiendront la quantité p , ce qui servira à déterminer les inconnues a , b , c , &c.

Comme les équations du maximum ou minimum résultent de l’évanouissement des termes où les quantités p, q , r , &c. ne sont qu’à la première dimension , il suffira d’égaler à zéro chacun de ces termes , ce qui donner:? sur-le-champ les équations /'(x) + atp 1 (x) = o ,f (y) -f- a<p'(y) = o,, f 1 (f) 4- af (,{ ) = o, &c. , qu’on réduira ensuite à une de mcinsr-

i 9 3 THÉORIE

par l'élimination de l'inconnue a. A l’égard des termes où les quantité# p,q,r , & c. formeront deux dimensions, on déterminera, par les méthode* exposées ci-dessus , les conditions qui doivent avoir lieu entre les coèfficiens de ces termes , et on cherchera à satisfaire à ces conditions de la manière la plus générale , au moyen des quantités arbitraires b t c,d, Sec.

Nous ne faisons ici qu’indiquer ces procédés , dont il sera facile d« faire l’application ; mais on peut les réduire à ce principe général : Lorsqu’une fonction de plusieurs variables doit être un maximum ou minimum , et qu’il y a entre ces variables une ou plusieurs équations , il suffira d’ajouter à la fonction proposée les fonctions qui doivent être nulles , multipliées chacune par une quantité indéterminée , et de chercher ensuite le maximum ou minimum , comme si les variables étaient indépendantes ; les équations qu’on trouvera combinées avec les équations données, Serviront à déterminer toutes les inconnues.

168. On peut résoudre , par les mêmes principes , les questions où il s’agit de trouver des courbes qui jouissent dans chacun de leurs points de quelque propriété donnée de maximum ou minimum.

Supposons , par exemple , qu’on demande la courbe dans laquelle la quantité que nous avons nommée K , dans le problème du n.° 1 ai, soit un maximum ou minimum à chaque point de la courbe. Cette quantité est exprimée par la fonction [ y -f-( m — .t ) y' ] [j + (n — x ) y 7 ] ; et la question consiste à trouver la valeur de y en x , qui rendra cette fonction un maximum ou minimum. Si les deux quantités y et y' étaient indépendantes l’une de l’autre , on pourrait déterminer le maximum ou minimum relativement à chacune de ces variables ( n.' t 60 ) ; mais comme ces quantités dérivent l’une de l’autre , et que leur relation demeur# inconnue tant que l’une d’elles n’est pas une fonction déterminée de x , on ne peut chercher le maximum ou minimum que par rapport à une de ces quantités ; et il est naturel de prendre pour variable la quantité y' qui détermine la position de la tangente , en regardant les coordonnées x et y comme données pour chaque point de la courbe.

On prendra donc les fonctions primes et secondes de la fonction proposée , relativement à la quantité y' regardée comme seule variable j * «*•

DES PONCTIONS ANALYTIQUES. i ^

«r égalant à zéro la fonction prime , on aura sur-le-champ l’équation [y + (« — *)ÿ](m — x) -f [y + (m — x)f\ (n — x) — o, laquelle donne , comme dans le n.° nx ,

pour l’équation de la courbe cherchée.

Ensuite on aura la fonction seconde î ( m — x ) ( n - — x ) , laquelle fait voir que le maximum aura lieu dans toute la partie de la courbe pour laquelle les deux quantités m — x et n — x seront des signes difFérens , et que le minimum aura lieu pour la partie où m — x et n — x seront de même signe (n.* i 6a ) ; de sorte que le maximum aura lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites m - et n , et le minimum pour les valeurs de x qui tomberont hors de cca limites.

L’équation trouvée pour la courbe étant du premier ordre , elle est susceptible d'une équation primitive avec une constante arbitraire ; et

si on la met sous la forme - 1 J - = — -4- — - , on eut

déduira sur-le-champ cette équation primitive , z log. y = log. (x — m) H- log. ( x — n ) -f- log. h , et passant des logarithmes aux nombres , y* — h ( x — m ) ( x — n ) , où A est une constante arbitraire. Cette équation est de la même forme que celle que nous avons trouvée dans l’endroit cité (n.° *i iz) ; ce qui doit être., puisqu’elles viennent l’une et l’autre de la même équation du premier ordre. En effet , l’équation trouvée ci-dessuspour le maximum ou minimum , étant multipliée par y", a pour équation primitive [y — x) y 1 } [y + ( n — x) y' = K t

K étant une constante arbitraire ; et celle-ci combinée avec la même équation pour en éliminer y 1 , donnera le résultat trouvé dans le même éndroit.

Donc, rapprochant cette solution de celle du n.° m , on en conclura , en général , que les sections coniques ont non-seulement la propriété , déjà trouvée , que chaque tangente coupe sur les perpendiculaires élevées aux deux extrémités de Taxe , des parties dont le produit est constant ; mais encore celle-ci , que la position de la tangente à chaque point de

tco » . THÉORIE

la courbe , regardé comme donné , est telle que ce même produit est un maximum pour l’ellipse , et un minimum ou plutôt un maximum négatif pour l’hyperbole.

169. En général , si on demande ]a courbe dans laquelle une fonction donnée dex, y , y' , y" , &c. sera un maximum ou un minimum, on pourra chercher le maximum ou minimum relativement à chacune des quantités y, y 1 , y" &c. , ce qui donnera autant de solutions différentes ; et l’on aura toujours, généralement parlant, pour la courbe cherchée , une équation du même ordre que la fonction proposée.

Si cette fonction était une simple fonction des élémens a , b, c , &c. du contact (n.° 1 1 7 ) , en cherchant le maximum ou minimum relativement à la dernière des quantités y, y', y" &c. , 011 trouverait nécessairement la même équation que l’on aurait pour le problème dans lequel on supposerait cette même fonction égale à une constante ; c’est de quoi il est facile de se convaincre par l’analyse des n.®* 115 et 117. En effet, en égalant à zéro la fonction prime de f(a, b, c . . .) , prise relativement Ù la plus haute des fonctions dérivées y 1 , y" &c. , on aura la même équation que si on prenait, en généra! , la fonction prime de l’équation f{a,b,c.) = const. relativement zx , y , y' , &c. D’où l’on voit que ces deux genres de problèmes , quoique fort différens dans le fond , conduisentnéanmoinsaux mêmes résultats, et sontpar conséquent susceptibles des mêmes solutions. Ainsi , on pourra appliquer i <4 tout ce qui a été dit dans les endroits cités. L’exemple du numéro précédent est, comme Ton voit , un cas particulier de ccs mêmes problèmes.

170. Mais si on demandait la courbe dans laquelle le maximum ou minimum ne serait pas la fonction donnée de x , y , y , y " , &c. , mais la fonction primitive de celle-ci , regardée comme une fonction prime , alors il ne serait plus permis de traiter les quantités y , y‘ , y " , &c., comme indépendantes et isolées, parce que la fonction primitive d’une fonction de ces quantités dépend elle-même de la relation qu’elles peuvent avoir entre elles. Les problèmes de ce genre sont ceux qui se rapportent au calcul connu sous le nom de Calcul des variations ,• ils ne demandent pas une

analyse

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. aot

■analyse nouvelle , mais une application spéciale de l’analyse des fonctions , que nous croyons devoir exposer ici , à cause de l'importance de la matière.

Soit donnée la fonction /(*, y, y', y" . . . .) dans laquelle y est supposé une fonction de x , il est évident qu’on ne peut , généralement * parlant , avoir la fonction primitive de cette fonction donnée , sans connaître la valeur de y en x. Mais on peut chercher quelle devrait être cette valeur , pour que la fonction primitive de f ( at, y fy', y " fut un maximum ou un minimum , en supposant que cette fonction soit nulle lorsque x aura une valeur donnée a , et qu’elle devienne un maximum ou un minimum lorsque x aura une autre valeur donnée b. 11 est évident qu’en prenant y pour la valeur cherchée , il faudra , par la nature du maximum ou minimum , que la fonction primitive de la fonction f(x, y -f- et , y' -f* u) 1 , y" -<f" et" qui résulte de la fonction

donnée, en mettant y -j- et à la place de y , soit toujours, entre les mêmes limites de x , moindre dans le cas du maximum , et plus grande dans le cas du minimum, que la fonction primitive de / ( x , y , y', y " . . . ), quelle que soit la valeur de et , qu’on pourra regarder comme une fonction quelconque de x , et quelque petite que cette valeur puisse être.

La fonction /(x, y -f- et, y' + y" + a"...) étant développée suivant les puissances et les produits de et, et', et", &c. , d’une manière semblable à celle du n.* 163, deviendra

/(*, y> y’, }•"...) + «/' (y) + et'/ (y') + et"/' (y") + &c.

+ i (J) + otet'f" (y, y') + i et'' f" (/) + &c. ,

«ù les quantités / (y)>f (y')tf ( y ") &c. dénotent les fonctions primes de / ( * , y , y', y " . . . ) prises suivant y, y', y", &c. , et les quantités f (y), f" (y, y') , f" (y'), &c. dénotent les fonctions secondes de la fonction f (x, y -f- A», y' -j- A et', y" -f- A et" . . . ) , prises relativement h y seul , h y et y' , à y' seul , et ainsi de suite ; le nombre A est indéterminé , ou plutôt inconnu , et peut être diff érent dans les différentes fonctions , mais il doit être le même dans la même fonction, et il doit toujours être renfermé entre les limites 0 et 1,

Ce

*oî THÉORIE

Donc il faudra que la fonction primitive* de la quantité

ait toujours une valeur négative pour le maximum , et une valeur positive-, pour le minimum, quelque valeur qu’on donne à la fonction », et aussi petite que cette, valeur puisse être, en prenant cette fonction primitive de manière qu’elle soit nulle lorsque x = a, et y faisant ensuite x = b.

Or , sans connaître la quantité » , on peut prouver qu’il est toujours possible de la prendre assez petite pour que la fonction primitive de la partie qui ne contient que les premières dimensions de » , ai ' , u", Sic. ait une valeur plus grande, positive ou négative, que la fonction primitive, de l’autre partie. Car en substituant ù à la place de », a. étant une quantité variable quelconque , et i un coefficient constant , la première parrie se trouvera toute multipliée par i , et la seconde le sera par r s , et leursfonctions primitives seront aussi multipliées par i et pari 1 ; et il est visible qu’on pourra toujours donner à i une valeur assez petite pour que la première de ces fonctions surpasse la seconde , du moins tant qu’elle ne. sera pas nulle. D’où l’on conclura qu’on pourra toujours prendre la quantité « assez petite pour que la valeur totale de la fonction primitive' dont il s’agit soit nécessairement positive ou négative , suivant que cellede la première partie de cette fonction le sera. Mais il#est visible que celle-ci doit ehanger de signe , en changeant le signe de la quantité Donc, il sera impossible que la fonction entière soit constamment positive ou négative , indépendamment de la valeur de u>, à moins que la fonction primitive de la partie qui ne contient que les premières dimensions de », »', »',. &c. ne soir nulle, quelle que soit la valeur de ». Donc, Je maximum ou minimum ne pourra avoir lieu , à moins que la fonction primitive de la fonction u f (y) + »'/' (y') -J- »" f' (y") &c..

ne soit nulle, quelle que soit la valeur de ».

Cette fonction étant nulle , il faudra alors que la fonction primitive, de l’autre partie

soit positive pour le minimum , et négative pour le maximum , en donnant à u%nc valeur quelconque aussi petite' qu’on voudra.

17 1 . Pour satisfaire à la première de ces conditions de la manière la plus générale, nous remarquerons que, puisque la quantité a> doit demeurer indéterminée , la fonction primitive de la fonction uf'(y) -|- »'/'(/) + J' f (y") + &c. ne peut être que de la forme «, + a 3 + a y + #" î 4- &c. , où la plus haute des fonctions dérivées u , a >" , &c. sera d’un ordre moindre que dans la fonction proposée ; c’est de quoi il est facile de se convaincre avec un peu de réflexion sur .la forme des fonctions dérivées. Prenant donc la fonction prime de cette quantité , en regardant «t , /3, y , &c. comme des fonctions de x , y étant supposé aussi fonction de x y on aura

et comparant avec la fonction proposée , on aura « — o , $ =/ (y), fi - -h y — f (/) , y +$' =f (y") , &c,

La première équation donne «. égal à une constante arbitraire ; les autres équations serviront à déterminer £ , y , £ , &c. ; et comme il est facile de voir que le nombre de ces quantités est nécessairement moindre d’une unité que celui des équations , il en résultera une équation de condition , qui devra être satisfaite pour que le maximum ou minimum ait lieu.

Pour cela , il n’y a qu’à mettre ces équations sous cette forme ,

en prenant les fonctions primes de la seconde , les fonctions secondes de la troisième, et ainsi de suite; retranchant ensuite alternativement l’une de l’au tre , on aura

où les traits appliqués aux parenthèses dénotent les fonctions primes , secondes , &c. des quantités renfermées entre ces parenthèses.

Cette équation sera doue commune au maximum et au minimum , et servira à déterminer la valeur de y en fonction de x ; elle sera.

Ce x

ao 4 THÉORIE

comme il est aisé de le voir , d’uo ordre double de celui de la fonction /( * , y , y' , y" . . . ). * . *

171. Les mêmes équations /S -f- y' == f ( y r ) » y + =/ ! (y w ) > Re-

donneront , par un procédé semblable ,

Soit , pour abréger ,

fi = œ -f- y -J- » /; 5 " -j- &C. r

la fonction primitive de la quantité »/' (y) -f- w'/ > (y') + sera a + fl; et comme cette fonction doit être nulle lorsque x =z a , si on dénote par A la valeur de fi qui répondra à x = a , on aura

puisque a est une constante arbitraire , a + A -J- o , et par conséquent

On aura donc fi — A pour la fonction primitive, qui doit être nulle en vertu du maximum ou minimum , lorsque x = b. Si donc on dénote encore par B la valeur de fi , qui répondra à x = b , on aura l’équation B — A = o, à laquelle il faudra satisfaire par le moyendes constantes arbitraires qui entreront dans l’expression de y qu’on déduira de l’équation trouvée ci-dessus, en ayant égard d’ailleurs aux conditions spéciales du problème.

Ainsi , par exemple , si la valeur de y est donnée pour les valeurs a , b de x , alors la valeur de a> sera nulle dans les deux quantités A et B ; si , de plus , la valeur de y 1 était aussi donnée pour les même» valeurs de x, les valeurs de «' seraient aussi nulles dans A et B ; et ainsi de suite.

Les quantités u , u' , u" &c. étant réduites au plus petit nombre possible, tant dans l’expression de A que dans celle de R, on égalera à zéro le coèfiicient de chacune de celles qui resteront pour satisfaire à l’équation B — A = o , indépendamment de ces quantités.

-'173. Ayant ainsi satisfait à la première condition , il ne restera plus qu’à remplir l’autre condition , qui consiste en ce que la fonction primitive de la quantité

doit être entre les mêmes limites a et b de x toujours positive pour le minimum , et négative pour le maximum , en supposant que la valeur de » soit quelconque et aussi petite qu’on voudra.

Je remarquerai d’abord ici que, quoique les fonctions /" (y) , f ( y 1 y ) &c. renferment essentiellement les quantités u» , u &c. ( n.° ijo), on peut prouver par un raisonnement semblable à celui du n.° 164 , qu’il suffira pour le maximum ou minimum , que la condition don’t il s’agit soit remplie en supposant le coefficient \ égal à zéro , ce qui fait disparaître ces quantités d?s fonctions dont il s’agit, en sorte que ces fonctions ne seront plus alors que les fonctions secondes de la fonction f (x , y , y , y" . . . ) , prises relativement à y seul , à y et y , à y' seul , &c. , et auront par conséquent des valeurs déterminées en .r ,

Cela posé , si on rappelle ici ce que nous avons démontré dans la première partie ( n° 48 ) , on en conclura que la condition dont il s’agit serait satisfaite si la quantité proposée j erf" (y ) + » df" (y, y’) + &c., était telle qu’elle fut constamment positive ou négative pour toutes les valeurs de x, depuis x = a jusqu’à x = b, indépendamment des quantités u, u' , u & c. ; et comme nous avons donné plus haut ( n.° 1 65 ) les conditions les plus générales pour qu’une quantité de la forme dont il s’agit soit nécessairement positive ou négativ e , il n’y anra qu’a examiner si ces conditions ont lieu dans la quantité dont il s’agir. Si elfes n’avaient pas lieu , ou si elles n’avaient lieu que dans une partie de cette quantité , il faudrait alors chercher la fonction primitive de l’autre partie, et la rendre nulle , ou au moins positive pour le minimum , et négative pour le maximum , indépendamment des quantités u, u»‘ , a &c.

174. Pour simplifier la solution de cette question , nous supposerons d’abord que la quantité proposée 11e renferme que les carrés et les

io 6 THÉORIE

produits des deux quantités « , ; on verra aisément que la même

méthode s’étend aux cas plus compliqués ; et nous représenterons par cette formule a 1 M -j- a> cJ N + u n P , la partie de. la même quantité pour laquelle les conditions dont nous venons de parler ont lieu. Il s’agira donc de chercher la fonction primitive de la quantité

— AT] + — -an + »' 1 [!/''(/)— J»],

et il est facile de s’assurer d’avance , que pour que la quantité u demeure indéterminée , cette fonction ne pourra être que de la forme / x -f- a* v ; prenant donc sa fonction prime et comparant terme à terme avec la précédente , on aura

/-«•' = o ,»' = }/" (y) — M, x » =/’" (y , y* ) — N - , et ô = :/"( jO — P-

La première de ces équations donr» fx égale à une constante arbitraire, et les trois autres serviront à déterminer les valeurs de M, N , P , qui seront

AT = i/'(y) — /, N =sf" (y, y) — x,,P=if" (/), et il faudra que ces valeurs satisfassent aux conditions qui résultent des formules du n,° 165. Or , en prenant les quantités u 1 et &> à la place des quantités p et q , et par conséquent P, N, M à la place de A, B, C ,

et faisant T = M. — - y - , on aura pour le minimum les deux conditions P > o , et T> o , et pour le maximum les conditions opposées P < o et T < o ; ou bien l’une des deux quantités P , T égale à zér® tant pour le minimum que pour le maximum , et ces conditions devront avoir lieu pour toutes les valeurs de x , depuis x = a jusqu’il x = b pour que la quantité u n P + u «' N -j- a 1 M soit constamment positive dans le premier cas , et négative dans le second , entre ces mêmes limites. Comme la quantité P est donnée , elle indiquera tout de suite le maximum ou minimum ; mais on n’en sera assuré que par l’autre condition T > ou < o , ou bien = o pour les deux cas.

De plus , et c’est ici une condition bien essentielle , il faudra que les quantités M , N , P ne deviennent point infinies entre les mêmes limites, pour qu’on puisse être assuré que la fonction primitive de la quantité dont il' s’agit , sera nécessairement positive ou négative , d’après le

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. xo 7

fLéorcme du n.* cité 48 ; car ce théorème étant fondé sur !e développement des fonctions en série , est nécessairement sujet aux exceptions attachées à la forme de ce développement , que nous avons examinées dans les n." 4.x et 120 ; il pourra donc être en défaut, si les fonctions dérivées de la fonction primitive deviennent infinies , parce qu’alors le développement n’aura plus la même forme ; c’est ce qui arrivera nécessairement , lorsque la fonction primitive passera du positif au négatif par l’infini , comme les tangentes des angles ; alors pour la valeur de x répondant à ce passage , le développement de la fonction de x -f- i aura ' son premier terme de la forme A i m f m étant un nombre impair négatif, et la fonction prime , ainsi que toutes les suivantes , seront infinies ( n* 41 ). Dans ce cas , la fonction primitive pourra changer de signe , quoique sa fonction prime conserve toujours le même signe. Pour etî

voir un exemple bien simple , il n’y a qu’à considérer la fonction — - x

qui est = 1 lorsque x = j , et = — 2 lorsque x = 2 ; cependant

sa fonction prime

est toujours positive tant que x a une

valeur réelle. Ici la fonction primitive et toutes ses dérivées deviennetir infinies lorsque x = 1. C’est une modification à apporter à la théorie exposée dans le n.° 48,

175. Ayamt satisfait à ces conditions , on aura la fonction primitive- H*-\- a? v , dans laquelle ju est une constante arbitraire qu’on déterminera r en sorte que la fonction primitive soit nulle lorsque x = a. Supposent v = ( fl ) , et soit ( A ) la valeur de (fl) lorsque x = a , on aura (x = — ( A ) , ainsi la fonction primitive dout il s’agit , .sera ( fi ) — ( A ) , laquelle devra être nulle, ou positive peur le minimum et négative pour le maximum , en faisant x = b ; soit donc ( B ) la valeur de ( fi ) lorsque x = b , il faudra que l’on ait (P) — (A)> ou < o pour le minimum ou le maximum , ou = o pour les deux cas , indépendamment de la valeur de a> qui doit demeurer indéterminée. Ainsi , sila valeur de y est donnée pour les valeurs a et b de x , la valeur correspondante de « étant alors nulle > oa aura {A) = 0,(5)=: o >e »

io8 THÉORIE'

la condition précédente sera remplie , tant pour le maximum que pour le minimum. Si les valeurs de y ne sont pas données , ajprs il faudra que l^on ait pour le minimum » = ou > o lorsque x = 6 , et » = ou < o lorsque x = a ; et pour le maximum r = o ou < o dans le premier cas , et r = o ou > o dans le second.

176. A l’égard de la valeur de la quantité r , elle dépend simplement

de la condition T ou M. — ■ - ^ p ~ > 0 p our I e minimum et < o pour

le maximum. Cette condition sera donc , en substituant les valeurs de M,N,P,

i f» ( v \ j LCjLZiX-LrrL-LlJ — > ou < o ,

îJ ' l /)

et on pourra prendre pour v une fonction quelconque de x qui y satisfasse.

Ce qu’il y aurait de plus simple , ce serait de supposer cette quantité nulle ( n.° 1 74 ) , ce qui donnerait l’équation 4 Ai P — A * = ° > sa\oir ,

par laquelle on pourrait déterminer la valeur de r ,* et le maximum ou minimum dépendrait simplement du signe de la quantité P ou j f“ ( y' ).

On aurait de cette manière le même résultat que donne la méthode proposée dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1786 , pour distinguer les maxima des minima dans le Calcul des variations. Mais , d’après ce que nous avons dit ci-dessus , il faudrait , pour 1 exactitude de ce résultat , qu’on pût s’assurer que la valeur de v ne deviendra point infinie pour une valeur de x comprise entre les valeurs données a et b ; ce* qui sera le plus souvent impossible , par l’impossibilité de trouver l’équation primitive en v et .v. Sans cette condition , quoique la quantiré

»■- M + u u 1 N + »' 5 P devienne alors de la forme P (»' -f- - )'»

et qu’çlle soit par conséquent toujours positive ou négative , suivant que la valeur de P le sera , on ne sera jamais certain de l’état positif ou négatif de sa fonction primitive.

177. Pour en donner un exemple qui pourra servir en meme temps

d’application de la méthode que nous venons d’exposer ; supposons

que

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. ao 9

tjue la fonction / ( x , y , y '. . . ) , dont la fonction primitive doit être un maximum ou un minimum , soit y + x my'y ■+■ n y - , en prenant les fonctions primes et secondes, on aura y*' (y) — x{my‘ -f- «y ), f (/ ) = » ( y 1 + my),f (y) ==xu,f' (y, y 1 ) — xm, f" (y 1 ) = i ; substituant ces valeurs dans l’équation générale du n.° 17 1 , qui , dans ce cas , se réduit a f (y) — [/' (y' ) ]' = o , on aura x ( m y 1 + ny ) — i ( y" + my') = o ; savoir , y" — n y = o , pour l’équation du maximum ou minimum. Cette équation est susceptible de la méthode du n.“ 67 et donne sur-le-champ

y = + hr nVK ,

g et h étant deux constantes arbitraires ; si n était une quantité négative = — k 1 , alors on aurait , en prenant d’autres constantes arbitraires , g et h , y = g sin. (k x -j- h ). Supposons , pour plus de simplicité , que les valeurs de y soient données pour les deux valeurs extrêmes a et b de x , les quantités xi et B seront nulles d’elles-mêmes , et l’équation B = A sera satisfaite ( n * tyz ) ; on déterminera donc les constantes a et b de manière que y ait les valeurs données lorsque x = a et = b.

Maintenant, nous aurons, par les formules du n.° 174,

d’où l’on voit que , puisque P est > o , il n’y a que le minimum qui puisse avoir lieu. Mais cette condition ne suffit pas pour assurer l’existence

du minimum ; il faudra de plus que l’on ait M > o ; savoir ,

n — f 1 — ( m — » )* > o , en prenant pour » une quantité qui ne devienne point infinie entre les limites a et b de x. Si la valeur de n est positive , il est clair qu’on peut satisfaire à cette condition , en faisant r = m. Ainsi on sera assuré , dans ce cas , de l’existence du minimum , puisque les deux quantités ( A ) et ( B ) sont d’ailleurs nulles par l’hypothèse que les valeurs de y sont données pour x = a et = b ( n.° 1 7 5 ) ; mais si n est négative et = — k 5 , on aura alors la condition — »' > k 1 + ( m — f y , et il n’est pas aisé de trouver une valeur satisfaisante de », ni même de s’assurer qu’on pourra la trouver,

Si , suivant la méthode dont nous avons parlé dans le dernier numéro,, on faisait — . »' =» k' ( m — t )* , en supposant m — t = k p r

on aurait k p‘ = i + p 1 ; savoir , ■ • • = — j — , et prenant les

fonctions primitives des deux membres , angle tang. p = + d p

«avoir , p = tang. ( ■+• d ) , d étant une constante arbitraire. Cette

valeur devient infinie lorsque -j- -f- d = à l’angle droit , 'ou à trois

angles droits , ou &c. Donc , on ne sera pas assuré de l’existence du minimum y si la différence b — a est plus grande que la valeur de jfc multipliée par deux angles droits.

En effet, pour que le minimum ait lieu en général ..il faut ( n .* 1 7 j)que la* fonction primitive de la quantité nu 1 + % mot et' -j~ « rt soit positive , quelleque puisse être la valeur de». Supposons»— isin.xr, cette quantité deviendra-

i 1 ( n sin. x’ + i m sin. x cos. x -f- cos. x l ) = i’ (

cos. i x + m sin, i x ) , dont la fonction primitive esc

P ( 1 x H - — sin. i x cos. x x ) + c , c étant:

la constante arbitraire qu’on déterminera de manière que la fonction* primitive soit nulle lorsque x = a , ensuite on fera x = b. Donc sien suppose a = o et b égal à deux*angles droits , afin que la valeur de » soit nulle lorsque x = a et = b suivant l’hypothèse , la valeur complète de la fonction primitive dont il s’agit , sera i* ( 1 -f- n ) D D représentant l’angle droit ; et il est visible que cette valeur pourradevenir négative lorsque n = — À: 1 , en prenant k > 1.

178. Supposons maintenant que la quantité qui renferme les secpndes dimensions d tu , et 1 &c. contienne aussi u " , en sorte qu’elle soit de U forme ( n.' 17 3)

+ »'»" r (y 1 , y") + i»" 1 /" (y"); bous prendrons M -f- m tt' N -f- P + m tt u Q -f- et' Si

DES FONCTIONS’ ANALYTIQUES. air

H- -tJ h S pour la partie de cette quantité qui doit être assujettie aux conditions de la formule du n.° 165, et il faudra que la différence de ces deux quantités soit susceptible d’une fonction primitive indépendamment de la quantité u. Cette fonction ne pourra donc être que de la ferme /x + »* » + o> u 1 -rr -f- p , et on trouvera par la comparaison des termes , les équations fx 1 = o , = if" ( y ) — M ,

z » + 7 r 1 = f" (y, ÿ) — N , ir + p' = if" (y) — P.

TT =f"(y, f) — Q,i p =/" (y, y') R , o = if (y ) — Si

lesquelles donnent /x égale à une constante arbitraire , ensuite

P= if (y) — TT — p', Q = f"(y,y")

R=f(y',y")— ip, S = i f 11 {y") ;

où les trois quantités», tt, p demeurent indéterminées ; mais il faudra les prendre telles qu’elles satisfassent aux conditions auxquelles doivent être assujetties les quantités M, N> P &c. , et qu’on peut déduire des formules du n.° 165 , en prenant les quantités «'*, » à la place des quantités p , q , r. Ainsi , si on fait »

les conditions pour le minimum seront S > o # 7 ’>oetI r >o J et pour le maximum S <0, T < o , Y <0; et ces conditions devront avoir lieu pour toutes les valeurs de x , depuis x = a jusqu’à x = b. La valeur de S indiquera le maximum ou minimum ; mais on n’en pourra être assuré que par le concours des deux autres conditions. De plus , il faudra que les quantités M, N , P, Q, R , S ne deviennent jamais infinies entre les mêmes limites , par les raisons exposées plus haut , n.° 174. . *

Enfin ,, il faudra qu’en supposant (fl) = m 1 » + «*»'■*• + u n p , et prenant ( A ) et ( B ) pour les valeurs de (fl) qui répondent à x = a et x = b j la quantité (P) — — ( A ) soit positive pour le minimum et

Dd x

n± THÉORIE

négative pour !e maximum , indépendamment des valeurs de u et de a>' r ( ”•* i ? 5 )■

On suivra les mêmes procédés pour les fonctions plus compliquées.

179. Si les valeurs de y, y' , &c. n’étaient pas données pour les valeurs a et h de x , mais qu’il y eût seulement, par la nature du problème , une relation entre ces quantités, représentée par l’équation p (x, y, y' = o;. alors, suivant les principes du n.° 167, il n’y aurait qu’à ajouter à la fonction qui doit être positive pour le minimum , et négative pour le maximum , la quantité

*>p'(y) + J<p' (/) + «V (y") + &c. + J «V (y) + ce ce' <p" Çy, y') + i ce 11 ip " ( y' ) + &c.

multipliée par un coefficient indéterminé T , et traiter ensuite les quantités ce , eJ comme indépendantes. Ainsi , si la condition dont il s’agit doit avoir lieu pour la valeur de x- = a, on ajoutera aux deux quantités A et ( A) ( n. c ‘ ijz , 1 75 ) les quantités T [ce <p' (y) ■+• ce' <p' (y') + &c.] et T [i te 1 (p"(y ) -f- cece' <p" (y ,y') -f- &c.], rapportées à la même valeur de x; et si cette^ondirion devait avoir lieu pour la valeur x = b , on ajouterait aux valeurs de R et de (B) les mêmes quantités rapportées à x = b.

On suivrait le même procédé pour chacune des conditions données ,, s’il y en avait plusieurs.

180. La fonction proposée, dont la fonction primitive doit être urn

maximum ou un minimum, pourrait encore contenir, outre les variablesx ety , une troisième variable f , indépendante dés deux autres ; alors on opérerait,, relativement à cette variable , comme on a fait relativement à y. Ainsi , en désignant la fonction proposée par /( x , y , y 1 , y" . . . f , . . . )

on y substituera à la fois les quantités y + wet^ + ^ala place de y et et il faudra , après le développement , que la fonction primitive de la partie qui ne contiendrg que les premières dimensions de ce, ce 1 , ce 11 , &c., ^ Ç Q » & c * » so ‘ r nu ^ e > et ^l ue fonction primitive de la partie qui contiendra les secondes dimensions de ces mêmes quantités , soit positive pour le minimum , et négative pour le maximum , indépendamment des, quantités ce et £ (n° 1 70 ).

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 217 De-là , par une analyse semblable à celle du n.° 171 , et en conservant aussi pour les fonctions primes relatives à ^ , 7', ç", &c. une notation semblable à celle que nous avons employée relativement à y , y', y" , &c. , •n aura ces deux équations

f (y) — If (y')]' + [/ (y*)]" — &c. = o r

/• (?) — iP(oy + w ( t *) 3 * — «“• = ».

qui serviront à déterminer les quantités y et 7 en fonctions de x. Ensuite il faudra , relativement aux quantités f et £ , satisfaire à des conditions semblables à celles qu’on a trouvées par rapport à y et u> ; c’est un détail qui nous mènerait trop loin , et que le lecteur peut suppléer.

On voit par-là que , s’il y avait une quatrième variable u, on aurait,, relativement à cette variable , une équation semblable àcelles qui répondent aux variables y et ^ ; et ainsi de suite.-

18 1. Mais si, dans la fonction fÇx, y , y f . . . f . . ) , la quantité { dépendait des quantités x et y d’une manière .quelconque donnéepar l’équation (p ( x , y y ' ) = o, alors, suivant les mêmes principes du n.° 167 , on ajouterait simplement la fonction <p (x, y, y'.,.?, î'...) , multipliée par un coefficient indéterminé et variable A à la fonction proposée /( x , y , y' ... 7, et on

chercherait , par les méthodes exposées , le maximum ou minimum de la fonction primitive de cette fonction composée , en regardant les quantités y et 7 comme indépendantes. Ainsi , on trouvera d’abord, pour le maximum et minimum y les deux équations

/' (y) — [f (y')]' + [/ Cy")r — &c. + A $ (yj-

— [Aip 1 ({')]' + [& 9 1 ({")]" — &c. = o

d’où éliminant la quantité A , on aura une équation qui , combinée avec l’équation donnée <p ( x , y , y' ... f , 7 . . . ) == o , servira à déterminer les valeurs de y et { en fonction» de x.

Enfui, si la fonction primitive de la fonction /(*, y, y'...) ne devait être un maximum ou un minimum qu’autant que la fonction primitive d'une autre fonction <p(x, y, y'...) serait donnée entre les mêmes valeurs a et b de x , il n’y aurait qu’à chercher le maximum ou minimum de la somme des deux fonctions primitives , après avoir multiplié la seconde par un coefficient indéterminé indépendant de x, c’est-à-dire, de la fonction primitive de f ( x , y , y 1 . . .) -J- A <p(x, y, y'...), en regarchnt A comme une quantité constante. De cette manière , on aurait d'abord , pour le maximum et minimum , l’équation

f (y) — [/'(/) ]' + [/'(y") ]" — &«• + Ap' (y) — A [ ?>' (/)]'+ A [ p' (y") ]" — - &c. = o ,

et on déterminera la constante A de manière que la fonction primitive de cp (x , y , y 1 .. .), prise depuis x 5= a jusqu’à x = b , soit donnée ; et ainsi du reste.

182. Les problèmes de la brachystochrone et des isoperimètres proposés et résolus d’abord par les deux frères Bernoulli , ont ouvert la route pour traiter ce nouveau genre de questions de njaximis et minimis. On a trouvé ensuite successivement des méthodes plus générales et plus simples , et on est parvenu enfin au calcul des variations, qui paraît ne rien laisser à désirer sur ce sujet. Comme les équations trouvées plus haut ( n."‘ 1 7 1 , 180 ) sont les mêmes , à la notation près , que celles qui résultent de ce calcul , nous pourrions nous dispenser de les appliquer à des exemples ; mats il ne sera pas inutile de montrer encore par un exemple connu , l’usage des règles pour distinguer les maxima des minima, et s’assurer de leur existence.

Nous reprendrons pour cela le problème de la brachystochrone , ou ligne de la plus vite descente , à cause de sa célébrité ; il consiste , comme l'on sait , à trouver la courbe le long de laquelle un corps pesant descendrait dans le moindre temps d’un point donné à un autre point donné , et placé dans une verticale différente. Comme, par les principes de la mécanique, la fonction prime du temps est égale à la fonction prime de l’espace divisée par la vitesse , et que dans les corps qui tombent par la pesanteur , la v;t,esse est toujours proportionnelle à la racine carrée de la hauteur

. DES FONCTIONS ANALYTIQUES. nj «Toit ils sont censés être descendus , si on rapporte aux trois coordonnées rectangulaires x , y , { la courbe décrite par le corps , et qu’on prenne les abscisses x verticales , on aura V ( h + x ) pour l’expression générale de la vitesse , et V ( * + y 71 *+* f' 1 J pour la fonction prime de l’arc

de la courbe ( n* t/f/f.); ainsi — - ^ y — sera l® fonction

prime du temps , dont la fonction primitive devra être un minimum. On

aura donc /(x, y, y'... ? '.. r ) = ■ V ^ ] i donc,

prenant les fonctions primes , on aura f ( y ) = o , f ( y' ) =

~VIA+*) VI» +/*+*•> — VVAi-xlvUi-j' t-D ;

et l’on aura ( n.* 180) les deux équations

£ v (/>+*) vfi +y* -fô i'= °> ct t y ( k+x) vfi +/■ +?■ j = °'

lesquelles donnent d’abord ces deux-ci du premier ordre

V(a-i-x) v i* +/■+*'■) “ m * vut*j vu-i-y + ï-r = 71 '

m et n étant deux constantes arbitraires.

En divisant ces deux équations l’une par l’autre , on aura AL» = ;

et prenant l’équation primitive f = n ? ■

savoir, f

l étant une nouvelle constante arbitraire. Cette équation étant à un plan vertical , puisque l’abscisse verticale * ne s’y trouve pas , fait voir que la courbe cherchée est toute dans ce plan ; ainsi , en prenant l’axe des y dans ce même plan , on pourra supposer ^ = o , en faisant n = o ; et l’on aura pour la courbe cette équation unique entre les coordonnées x et y

V ( à + * ) VU 4-/’ )

= m > d’oii l’on tire y f =

équation à la cycloïde , les abscisses x étant prises sur le diamètre du cercle générateur, et les ordonnées y perpendiculairement à ce diamètre. Puisqu’on suppose que les deux points extrêmes de la courbe sont donnés, les quantités a et ^ répondant à ces points , seront nulles , et les valeurs des quantités A et B seront nulles aussi en prenant a et b poar les valeurs.

ii 6 THÉORIE

de x qui répondent à ces points ; ainsi la condition B — A sera remplie. Si on faisait d’autres hypothèses relativement à ces points , on trouverait d’autres résultats ; nous ne nous y arrêterons pas , parce que ces différentes questions ont été déjà discutées e! résolues par les principes du calcul des Variations. Mais il faut voir de plus ce que donnent les termes où les quantités m et ^ monteront à la seconde dimension , et dont la fonction primitive doit être positive pour que le' minimum ait effectivement lieu.

Puisque la fonction proposée f(x J y,y 1 .. % , f , . ) ne contient point, dans le cas présent, les variables y et mais seulement leurs fonctions primes y' et ç' , il est facile de voir que les termes dont il s’agit seront simplement de la forme

pt l’on trouve , en prenant les fonctions primes des quantités f ( y' ) , et /'({') relativement à y' et ( y 1 )

ï±jlL

V(a-hx) (i+y-f-n*