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de sorte que la quantité dont il s’agit deviendra

(i + n-i.Ty'f + r (» -f y)

laquelle peut se mettre sous cette forme

d’où l’on voit que cette quantité a d’elle-même la propriété d’être toujours nécessairement positive , quelles que soient les valeurs de « et <^. Et comme d’ailleurs elle ne saurait jamais devenir infinie tant que y' et ne seront pas infinies , il s’ensuit que le minimum aura nécessairement lieu dans la cycloïde.

Nous n’entrerons pas dans d’autres détails sur ce problème qui offre differens cas à examiner , suivant les conditions qu’on peut demander relativement au premier et au dernier point de la courbe , et par rapport ^ la courbe mime qu’on peut supposer devoir être tracée sur une surface

donnée,

« 3 onn<ie. La solution de tous ces cas pe>ut se tirer aisément des principes, établis ci-dessus.

1S3. L’analyse que nous avons employée pour trouver les maxima et minima des fonctions primitives , donpc lieu à une observation importante.

Nous avons trouvé ( n.‘ iji) que , pour que la quantité a J 1 (y)

4~ ca 1 f‘ (y') + «"/" (y") + &c. ait une fonction primitive , quelle que soit la valeur de u> , il faut satisfaire à l’équation

Donc , si cette quantité était d'eîle-mcme la fonction primé d’une fonction de x , y , y 1 , & c. &c. , l’équation précédente aurait aussi lieu d’elle-même et serait par conséquent identique.

Or , on voit par le n.° 170, que la quantité dont il s’agit n’est autre chose que la partie du développement de la fonction f ( x , y 4* « » y 1 4- , y" 4~ <*"... ) , qui ne contient que les premières dimensions

de cé , &c.; et je vais prouver que cette quantité sera nécessairement

une fonction prime , si la fonction f ( x , y , y‘ , y ". . . ) est elle-même une fonction prime d’une fonction de x , y , y 1 . . .

En effet , si cette fonction est une fonction prime , quelle que soit la valeur de y en x , elle le sera encore en mettant y + w au lieu de y , quelle que soit la quantité 1» ; donc la fonction /( x , y 4~ ® . y 1 4~ • • )

sera aussi nécessairement une fonction prime , en prenant pour « une fonction quelconque de x. Supposons que cette fonction soit développée suivant les puissances et les produits de u , , u" , & c. , et dénotons

respectivement par P, Q , R , &c. les parties de ce développement qui contiendront les premières dimensions , les secondes dimensions , les trq^ièmes&c. des mêmes quantités, or. aura j( x,y 4~ " . y' 4 - y" 4 - = /(j;,y, .. ) 4 - P 4 ~ Q 4 “ -R 4 ~ Ainsi , il faudra que

la quantité P 4~ Q 4 Æ 4- &c. soit la fonction prime d’ur.e fonction de x , y , y 1 . Sic. et de a , a’ u" , Sic. ; et il est facile de voir que chacune des quantités P , Q , R , & c. devra être en particulier une fonction prime , puisque ces quantités renfermant des dimensions différentes de l'indéterminée a et de scs fonctions dérivées J , êc. , il est impossible ,

ai8 T H Ë O R I .E

par la nature- des fonctions dérivées , que les fonctions primitives de' P , Q , R r & c. dépendent les unes des autres. Or , on a P = « /'■(y) + «'/' (y') t •"-/* (y 7 ) + &c. («.' ijo) ; donc cette quantité sera d’elle-mêîiie une fonction prime. Donc , enfin , si la fonction; /<*> y, y' , y" . . . ) est une fonction prime , l’équation

r (y ) ■ — IP ( y ) ]' + [/' (y") ] M — [/' (y'" ) ]"' + &c. = o

sera nécessairement identique.

Réciproquement , on peut démontrer que si cette équation est identique , la fonction /( x , y , y 1 , y 11 . . . ) sera nécessairement une fonction prime ; car nous avons vu que si cette équation est vraie , la quantité P est une fonction prime , quelles que soient les valeurs de y et de » ; donc elle sera encore une fonction prime , si à la place de y on met y ». Supposons que par cette substitution , et par le développement suivant les -dimensions de u , , »" , &c. , 1 a quantité P devienne P ~i- p -j- &c.

la quantité p contenant les premiers termes du développement dans; lesquels » , «' , , &c. , ne formeront que deux dimensions , on en con--

clura , comme plus haut , que la quantiré p sera en particulier , la fonction; p,rime d’urx fonction de x , y ,y', &c. &c. ; mais par la théorie générale du développement des fonctions de plusieurs variables ( n.° S 5 ) il est facile de voir qu’on a généralement p = 2 Qf donc , la quantité Q sera une fonction prime , y et « étant quelconques ; doDC elle sera encore une fonction prime en y substituant y -j- « pour y. Et si l’ou suppose que par cette substitution , et par le développement suivant lespuissances et les produits de », ©' , ficc. , cette fonction devienne Ç -j- j -f &c. , la quantité q renfermant les premiers termes du développement où les &c. ne formeront que trois dimensions ,

on en conclura aussi , comme ci-dessus , que la quantité q seratile-mêfrie une fonction prime ; mais par la théorie du développement , on trouve aisément q = 3 R; donc la quantité R sera elle -même aussi une fonction prime , et ainsi de suite. En effet, si r , s r & c. , sont les premiers termes du développement des quantités R, S , &c. ; après la substitution de y -J- « à la place de » , cette théorie donnera r^= 4 S , s = 5 T, &c.; d’où l’on conclura , en suivant le même raisonnement , que les quantités

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. n 9

S j T, &c. , seront fcissi , chacune en particulier , des fonctions primes.

Donc j toute la série P 4 " Q -f- P + &c. sera nécessairement la fonction prime d’une' fonction de x , y , y 1 , &c. , u , ai ' , fcc. , quelles quesoient les valeurs de y et® en x. Donc, la quantité J\x ,y -f- a, y' -jr u ' . . . ) — f ( x , y , y . . . ) , qui est égale à cette série , sera une fonction prime en donnant à ® uuc valeur quelconque , et par conséquent aussi en faisant *> == — y y or , dans ce cas , la fonction f (x , y -f- », y' + )

ne sera plus qu’une simple fonction de x sans y ci ® , qui pourra être censée la fonction prime d’une fonction de x. Donc , la fonction /(*> y. y'.y"-- •) Ecra elle- même nécessairement la fonction prime d’une fonction de x , y , y 1 , &c.

Il suit de-là que l’équation

contient le caractère par lequel on peut reconnaître si la fonction f (■*■> y » y' » y" • • •) e3C ou HOn une fcwction prime.

On trouvera de la même manière que les -deux équations

renferment le caractère par lequel on pourra reconnaître si la fonction /(*» y> y'-». ..{,{'•••) est bu non uns fonction prime , les quantités y et £ étant indépendantes. ,

Mais si la quantité ^dépendait de l’équation y (x, y , y ' . . . . .) =o,

on aurait, comme dans le n.° 181 ,

/(î) — [/' Ct)]' + U 1 (î") ]* — «k- + Ap' (i)

— [A?'(t)]' + [Ap'(f)]” — & c. = o,

et l’équation résultante de l’élimination de l’indéterminée A , contiendra le caractère qui fera reconnaître si la fonction y ( x , y , y ' . . . { , p' . . . ) est d’elle-même, eu non, une fonction prime.

Puisque la fonction primitive de la quantité »f' (y) -i- «'/' (y' ) »" + p « Le z

no

(y") “f" &c.*est représentée par o $ -f- u'y + -f- izc. ( n.° i~j i X,

en omettant , ce qui est permis, ht constante arbitraire «. , on trouvera , de la même manière , que le caractère par lequel on pourra reconnaître si cette fonction primitive est elle- même une fonction prime , sera renformée dans l’équation (o — y 1 ~h S" — &c. = o , laquelle , en substituant pour /3 , y , S , & c. leurs valeurs ( n.° ijz), devient

Ainsi, le système de cette équation et de l’équation trouvée ci-dessus,renfermera le caractère par lequel on pourra juger si la fonction j ’ ( x , y , y', y". . . ) est d’elle-même , ou non , la fonction seconds d’une fonction de x , y, y ', y", &c. ; et ainsi de suite.

Ces différentes équations répondeur a celles que , dans le calcul différentiel , on nomme condition â’intégrabilité , et dont on s’est beaucoup occupé dans ces derniers temps. Nous nous contenterons ici d’avoir établi , d’une manière directe et rigoureuse ,ile principe de la correspondance de ces équations avec celles du maximum et minimum des fonctions primitives ; et nous renverrons , pour ce qui concerne l’usage de ces équations de condition , aux différons ouvrages qui en traitent.

184. Quoique les relations employées dans le n." précédent , entre lespremiers termes p, q, r , &c. du développement des quantités P, Q ,R , &c. et ces mêmes quantités , soient aisées à déduire de la formule générale du développement des fonctions; cependant , comme il pourrait être utile , dans plusieurs occasions , de connaître la Ici générale qui doit régner entre les termes du développement primitif et ceux des développemens secondaires , nous allons la donner ici d’une manière directe , pour servir de supplément à la théorie du développement des fonctions , exposée dans la première partie.

Considérons , en général , une fonction / ( x , y , { . . . ) de plusieurs variables indépendantes x, y, ^ , &c. ,’et supposons que , par la substitution dex -p a., y (l , y , &c. , à la place de x, y, &c. , et par le

développement suivant les puissances et les produits de x , y , Scc. , cette

fonction devienne

ZIT

Je dénote par / (i ) !a somme de tous les termes où les quantités «. , (3 , y , &c. , seront à la première dimension , par f ( x ) , la somme de tous les termes où ces mêmes quantités formeront deux dimensions , et ainsi de suite.

Supposons de plus qu’en faisant la même substitution et le même développement dans les fonctions y ( i ) , / ( i )>/(?)> &c. ; elles deviennent

où je dénote par /( i , j ) ,/.( i , 2 ) , &c. , les rangs successifs des fermes du développement de f ( i ) , de manière que puisque les quantités , 3 > y » &c. sont à la première dimension dans f ( i ) , elles formeront deux dimensions dans f ( i , i ) , trois dimensions dans f ( i , i ) ; et

ainsi des autres. Par certe notation , on voit qu’en général la quantité

césignéepar renfermera tous les termes du développement de

f ( ni ) , où les quantités , y , &c. formeront m n dimensions.

Cela posé, supposons qu’on substitue d’abord x 4 ~ «■ , y + jâ , { 4 “ y > & c »dans la fonction f ( ,r , y , ç . . . ) , elle deviendra

et si on substitue ensuite dans cette quantité x -pma, y -\-rny ,8cc.

à la place de x , y , % , il est clair qu’elle deviendra