PREMIÈRE PARTIE

Exposition de la Théorie , avec ses principaux usages dans F Analyse.

,.o. appelle fonction d’une ou de plusieurs quantités , toute expression de calcul dans laquelle ces quantités entrent d’une manière quelconque , mêlées ou non avec d’autres quantités qu’on regarde comme ayant des valeurs données et invariables , tandis que les quantités de la fonction peuvent recevoir toutes les valeurs possibles. Ainsi , dans les fonctions on ne considère que les quantités qu’on suppose variables , sans aucun égard aux constantes qui peuvent y être mêlées.

a. Pour marquer une fonction d’une seule variable comme x , nous ferons simplement précéder cette variable de la lettre ou caractéristique/!, ou F ; mais lorsqu’on voudra désigner la fonction d’une quantité déjà composée

THÉORIE de cette variable, comme x 1 ou a -(- bx ou &c. , on renfermera cette quantité entre deux parenthèses. Ainsi / x désignera une fonction de x, /(x*),/(a-f-i>x), &c. désigneront les fonctions de x\ de a-\-bx , &c.

Pour marquer une fonction de deux variables indépendantes comme x, y, nous écrirons /(x, y), et ainsi des autres.

Lorsque nous voudrons employer d’autres caractéristiques pour marquer les fonctions , nous aurons soin d’en avertir.

Le mot fonction a été employé par les premiers analystes pour désigner en général les puissances d’une même quantité. Depuis on a étendu la signification de ce mot à toute quantité formée d’une manière quelconque d’une autre quantité. Lcibnit { et les Bernoulli l’ont employé les premiers dans cette acception générale, et il est aujourd’hui généralement adopté.

3. Considérons donc une fonction fx d’une variable quelconque x. Si à la place de x on met x -J- i , i étant une quantité quelconque indéterminée, elle deviendra f(x -j- t) ; et par la théorie des séries on pourra la développer en une suite de cette forme fx + pi qp r? &c. , dans laquelle les quantités p , q , r, &c. , coèfficiens des puissances de i , seront de nouvelles fonctions de x, dérivées de la fonction primitive fx, et indépendantes de la quantité i.

Il est clair que la forme des fonctions p , q , r, &c. dépendra uniquement de celle de la fonction j x; et on déterminera aisément ces fonctions dans les cas particuliers par les règles ordinaires de l’algèbre , en développant la fonction dans une série ordonnée suivant les puissances de i.

4. Cette manière de déduire d’une fonction donnée d’autres fonctions dérivées et dépendant essentiellement de la fonction primitive , est de la plus grande importance dans l’analyse. La formation et le calcul de ces différentes fonctions sont, à proprement parler, le véritable objet des nouveaux calculs, c’est-à-dire, du calcul appellé différentiel, ou fluxionntl. Les premiers géomètres qui ont employé le calcul différentiel , Leibnit ç , les Bernoulli y YHopital, &c. l’ont fondé sur la considération des quantités infiniment petites de différens ordres , et sur la supposition qu’on peut regarder et trairer comme égales les quantités qui ne diffèrent entre elles que par des quantités infiniment petites à leur égard. Contens d’arriyer

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. j

par les procédés de ce calcul d’une manière prompte et sûre à des résultats exacts , ils ne se sont point occupés d'en démontrer les principes. Ceux qui les^ont suivis, Euler, à'Alembert , & c. ont cherché à suppléer à ce défaut, en faisant voir, par des applications particulières, que les différences qu’on suppose infiniment petites , doivent être absolument nulles , et que leurs rapports , seules quantités qui entrent réellement dans le calcul , ne sont autre chose que les limites des rapports des différences finies, ou indéfinies.

Mais il faut avouer que cette idée , quoique, juste en elle-même , n’est pas assez claire pour servir de principe à une science dont la certitude doit être fondée sur l’évidence , et sur-tout pour être présentée aux comntençans ; d’ailleurs , il me semble que comme dans le calcul différentiel , tel qu’on l’emploie , on considère et on calcule en effet les quantités infiniment petites ou supposées infiniment petites elles-mêmes , la véritable métaphysique de ce calcul consiste en ce que l’erreur résultant de cette fausse supposition est redressée ou compensée par celle qui naît des procédés mêmes du calcul , suivant lesquels on ne retient dans la différenciation que les quantités infiniment petites du même ordre. Par exemple , en regardant une courbe comme un polygone d’un nombre infini de côtés chacun infiniment petit , et dont le prolongement est la tangente de la courbe , il est clair qu’on fait une supposition erronée ; mais l’erreur se trouve corrigée dans le calcul par l’omission qu’on y fait des quantités infiniment petites. C’est ce qu’on peut faire voir aisément dans des exemples , mais dont il serait peut-être difficile de donner une démonstration générale.

5. Newton , pour éviter la supposition des infiniment petits, a considéré les quantités mathématiques comme engendrées par le mouvement, et il a cherché une méthode pour déterminer directement les vitesses ou plutôt le rapport des vitesses variables avec lesquelles ces quantités sont produites ; c’est ce qu’on appelle , d’après lui , la méthode des fluxions ou le calcul fluxionnel, parce qu’il a nommé ces vitesses fluxions des quantités. Cette méthode ou ce calcul s’accorde pour le fond et pour les opérations , avec le calcul différentiel , et n’en diffère que par la métaphysique qui paraît en

* r THÉORIE

effet plus claire , parce que tout le monde a ou croit avoir une idée de la vitesse. Mais, d’un côté , introduire le mouvement dans un calcul qui n’a que des quantités algébriques pour objet , c’est y introduire une idée étrangère , et qui oblige à regarder ces quantités comme des lignes parcourues par un mobile ; de l’autre , il faut avouer qu’on n’a pas même une idée bien nette de ce que c’est que la vitesse d’un point à chaque instant , lorsque cette vitesse est variable; et on peut voir par le savant Traité des fluxions de Madaurin , combien il est difficile de démontrer rigoureusement la méthode des fluxions , et combien d’artifices particuliers il feut employer pour démontrer les différentes parties de cette méthode.

Aussi Newton lui-même , dans son livre des Principes , a préféré , comme plus courte , la méthode des dernières raisons des quantités évanouissantes ; et il faut avouer que c’est aux principes de cette méthode que se réduisent en dernière analyse les démonstrations relatives à celle des fluxions. Mais cette méthode a, comme celle des limites dont nous avons parlé plus haut , et qui n’en est proprement que la traduction algébrique, le grand inconvénient de considérer les quantités dans l’état où elles cessent, pour ainsi dire , d’être quantités ; car quoiqu’on conçoive toujours bien le rapport de deux quantités tant qu’elles demeurent finies, ce rapport n’offre plus à l’esprit une idée claire et précise , aussitôt que ses deux termes deviennent l’uu et l’autre nuis à-la-fois.

6. C’est pour prévenir ces difficultés, qu’un habile géomètre anglais, qui a fait dans l’analyse des découvertes importantes, a proposé dans ces derniers temps de substituer à la méthode des fluxions, jusqu’alors suivie scrupuleusement par tous les géomètres anglais , une autre méthode purement analytique, et analogue à la méthode différentielle, mais dans laquelle , au lieu de n’employer que les différences infiniment petites ou nulles des quantités variables , on emploie d’abord des valeurs différentes de ces quantités , qu’on égale ensuite , après avoir fait disparaître par la division le facteur que cette égalité rendrait nul. Par ce moyen , on évite à la vérité les infiniment petits , et les quantités évanouissantes ; mais les procédés et les applications du calcul sont embarrassans et peu naturels , et il faut convenir que cette manière de rendre le calcul différentiel plus

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. f

rigoureux dans ses principes , lui fait perdre ses principaux avantages , la simplicité de la méthode et la facilité des opérations. Voye^ l’ouvrage intitulé : The residual analysis , a ncw branch cf the algebric art by John Landen , London , iy 6 *f. ; ainsi que le discours publié par le même auteur , en 1758 , sur le même objet.

Ces variations dans la manière d’établir et de présenter les principes du calcul différentiel , et même dans la dénomination de ce calcul , montrent , ce me semble , qu’on n’en avait pas saisi la véritable théorie , quoiqu’on eût trouvé d’abord les règles les plus simples et les plus commodes pour le mécanisme des opérations.

7. Dans un mémoire imprimé parmi ceux de l’académie de Berlin , de

1771, j’avançai que la théorie du développement des fonctions en série contenait les vrais principes du calcul différentiel , dégagés de toute considération d’infiniment petits , ou de limites , et je démontrai par cette théorie le théorème de Tailor , qu’on peut regarder comme le principè fondamental de ce calcul , et qu’on n’avait encore démontré que par le secours de ce même calcul , ou par la considération des différences infiniment petites. '

Depuis , Arbogast a présenté à l’académie des sciences un beau mémoire où la même idée est exposée avec des développemens et des applications qui lui appartiennent. Cet ouvrage ne doit rien laisser à désirer sur l’objet dont il s’agir ; mais l’auteur n’ayant pas encore jugé à propos de le faire paraître , et m’étant trouvé engagé par des circonstances particulières à développer les principes généraux de l’analyse , j’ai rappelé mes anciennes idées sur ceux du calcul différentiel , et j’ai fait de nouvelles réflexions tendantes à les confirmer et à les généraliser ; c’est ce qui a occasionné cet écrit , que je ne me détermine à publier que par la considération de l’utilité dont il peut être à ceux qui étudient cette branche importante de l’analyse.

8. Il peut au reste paraître surprenant que cette manière d’envisager le calcul différentiel ne se soit pas offerte plutôt aux géomètres , et sur-tout qu’elle ait échappé à Newton , inventeur de la méthode des séries et de celle des fluxions. Mais nous observerons à cet égard qu’en effet Newton

n’avait d’abord employé que la simple considération des séries pour résoudre le problème troisième du second livre des Principes , dans lequel il cherche la loi de la résistance nécessaire pour qu’un corps pesant décrive librement une courbe donnée ; problème qui dépend naturellement du calcul différentiel ou fluxionnel. On sait que Jean Bernoulli trouva cette solution fausse , en la comparant avec celle qui résulte du calcul différentiel ; et son neveu Nicolas prétendit que l’erreur venait de ce que Newton avait pris le troisième terme de la série convergente dans laquelle il réduisait l’ordonnée de la courbe donnée , pour la différentielle seconde de cette ordonnée , et le quatrième pour là différentielle troisième , au lieu que suivant les règles du calcul différentiel , ces termes ne sont , l’un que la moitié , l’autre que la sixième partie des mêmes différentielles. ( Voye f les Mémoires de l’académie des sciences de 171 1 , et le tome I." des Œuvres de Jean Bernoulli. ) Newton , sans répondre, abandonna entièrement sa première méthode , et donna dans la seconde édition des Principes une solution différente du même problème , fondée sur la méthode même du calcul différentiel. Depuis on n’a plus parlé de l’application de la méthode des séries à ce genre de problèmes , que pour avertir de la méprise dans laquelle Newton était tombé , et faire sentir la nécessité d’avoir égard à l’observation de Nicolas Bernoulli. ( Voyc{ l’Encyclopédie , aux articles différentiel , force. ) Mais nous ferons voir que cette méprise ne vient point du fond de la méthode , mais simplement de ce que Newton n’a pas tenu compte de tous les termes auxquels il falloit avoir égard , et nous rectifierons de cette manière sa première solution , dont aucun des commentateurs des Principes n’a fait mention.

9. Nous nous proposons dans cet écrit de considérer les fonctions qui naissent du développement d’une fonction quelconque. Nous donnerons la loi de leur formation et de leur dérivation , et nous en montrerons l’usage pour la transformation des expressions analytiques. Nous ferons ensuite l’application de ces fonctions dérivées aux principaux problèmes de géométrie et de mécanique qui se rapportent au calcul différentiel , et nous donnerons par-là à la solution de ces problèmes la rigueur des anciennes démonstrations. Enfin , nous ferons

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 7 voir l’identité de ce calcul des fonctions avec le calcul différentiel proprement dit , et nous démontrerons par ce moyen -les principes et les règles connues de celui-ci , d’une manière indépendante de toute supposition et de toute métaphysiqqe.

10. Mais pour ne rien avancer gratuitement , nous commencerons par examiner la forme même de la série qui doit représenter le développement de toute fonction fx , lorsqu’on y substitue x + t à la place de x , et que nous avons supposée ne devoir contenir que des puissances entières et positives de £ ( n* 3. )

Cette supposition se vérifie en effet par le développement des différentes fonctions connues ; mais personne , que je sache , n’a cherché à la démontrer à priori ; ce qui me paraît néanmoins d’autant plus nécessaire , qu’il y a des cas particuliers où elle ne peut pas avoir lieu. D’ailleurs , le calcul différentiel porte expressément sur cette même supposition , et les cas qui font exception sont précisément ceux où ce calcul a été accusé d’être en défaut.

Je vais d’abord démontrer que dans la série résultant du développement de la fonction f, (x-j-i), il ne peut se trouver aucune puissance fractionnaire de i , à moins qu’on ne donne à x des valeurs particulières.

En effet , il est clair que les radicaux de i ne pourraient venir que des radicaux renfermés dans la fonction primitive fx , et il est clair en même temps que la substitution de x -f- i , au lieu de x , ne pourrait ni augmenter ni diminuer le nombre de ces radicaux , ni en changer la nature , tant que x et i sont des quantités indéterminées. D’un autre côté , on sait par la théorie des équations, que tout radical a autant de valeurs différentes qu’il y a d’unités dans son exposant , et que toute fonction irrationnelle a par conséquent autant de valeurs différentes qu’on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu’elle renferme. Donc si le développement de la

fonction f ( x 4- i ) pouvait contenir un terme de la forme u i * , la * fonction fx serait nécessairement irrationnelle , et aurait par conséquent «n certain nombre de valeurs différentes , qui serait le même pour la fonction /( x -j- i ) , ainsi que pour son développement. Mais ce développe-

- • ra

ment étant représenté par la série fx -f- pi -f- qi + &c. -f- ui “ -f- &c,.

chaque valeur de fx se combinerait avec chacune des n valeurs du radical y i m ; de sorte que la fonction f{ x + O développée , aurait plus de valeurs différentes que la même fonction non développée , ce qui est absurde.

Cette démonstration est générale et rigoureuse tant que xeti demeurent indéterminées ; mais elle cesserait de l’être , si on donnait à x des valeurs déterminées ; car il serait possible que ces valeurs détruisissent quelques radicaux dans fx , qui pourraient néanmoins subsister dans/(x ■+■ i ). Nous examinerons plus bas ( n.° 34. ) ces cas particuliers et les conséquences qui en résultent.

11. Nous étant ainsi assurés de la forme générale du développement de la fonction f( x -j- i ) , voyons plus particulièrement en quoi ce développement consiste , et ce que signifie chacun de ses termes.

On voit d’abord que si on cherche dans cette fonction ce qui est indépendant de la quantité i a il n’y a qu’à faire i = o , ce qui la réduit à fx. Ainsi f x est la partie de/(x -f- i), qui reste lorsque la quantité / devient nulle ; de sorte que /( x + i ) sera égale à/x , plus à une quantité qui doit disparaître en faisant i = o , et qui sera par conséquent , ou pourra être censée multipliée par une puissance positive de i : et comme nous venons de démontrer que dans le développement de/( x -f- i ) il ne peut entrer aucune puissance fractionnaire de i , il s’ensuit que la quantité dont il s'agit ne pourra être multipliée que par une puissance positive et entière de i ; elle sera donc de la forme i P , P étant une fonction de x et i, qui ne deviendra point infinie lorsque i = o.

On aura donc ainsi /( x + i ) =fx + i P , donc f( x + i ) — f x = i P , et par conséquent divisible par i ; la division faite , on aura P =

f{x+ i) fx

Or , P étant une nouvelle fonction de x et / , on pourra de même en séparer ce qui est indépendant de i , et qui par conséquent ne s’évanouit pas lorsque i devient nul. Soit donc p ce que devient P lorsqu’on fait i = o , p sera une fonction de xsans i : et par un raisonnement semblable au précédent, on prQuyera que P =^=p + /Q * iQ, étant Impartie de P , qui devient

nulle

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 9 nulle lorsque i = o , et Q étant une nouvelle fonction de x et t qui ne devient pas infinie lorsque i = o.

On aura doncP — P= l ' Q » et par conséquent divisible par i; la division faite , on aura Q = . Soit q la valeur de Q j en y faisant i = o ,

q sera une fonction de x sans i ; et la partie de Q , qui devient nulle lorsque t devient nul , sera comme ci-dessus de la forme i R ,R étant une fonction de x et : , qui ne-~deviendra pas infinie lorsque i — o , et qu’on trouvera en divisant Q — q par i : et ainsi de suite.

- On aura , par ce procédé ,/( x -f i ) =/x + iP,P = p + i Q, Q = q “h i R j R = r -f- i S , &c. ; donc , substituant successivement /(■* + *) = fx + i P = fx + i p -f- i* Q = fx -{- ip -|- i 1 q -ji’ R = ; ce qui donnera pour le développement de /( x -f- i ) , une

série de la forme que nous avons supposée au commencement.

n. Soit, par exemple ,/*= -b- , on aura /(* + t)== — p-,- donc iP

* tf-t-O'V-

’ R + i ) r ~ » &C - » alnsi on

cl u x ci r : - — ■ — . , - i

il. = jl i , r p .

z ~ X‘ x J {x-i~i) 0CC -*

comme il résulte de la division actuelle.

Prenons encore pour exemple la fonction irrationnelle Y x. On aura donc/* = V x,f(x + i ) = V ( x + i ) = Vr + tP; donc i P

= v ( ,+o-Vx= vi r+o + *’ p ~ - v I) + v» .-

p »Vi > l Q p p v t+t-o-t-y. . y.

4*[ VU + ‘)-HV*

2 Vx" 4 *[V(*+0+VïT*

1 — »*Vi[V(* + i)+ V*1‘ * — 1 6 x 4 V * *

De sorte qu’on aura de cette manière V (^ + i) == V^ •+• :

^[VU-t-OH-V*]’ — Vx+ T7T

-4 r ' , -. &c. Cette dernière série est celle qu’on trouve par

l’extraction actuelle de la racine quarrée ou par la formule du binôme.

13. 11 serait difficile d’exécuter ces opérations sur les fonctions irrationnelles plus compliquées ; mais , en faisant disparaître les irrationnalités par rapport à la quantité i , l’application de la méthode n’aura plus de difficulté.

Ainsi , en reprenant l’exemple précédent , on partira de l’équation V(x + i) = V* 4* iP » qui étant élevée au quarré pou* dégager IV de dessous le signe radical , devient après la division par 1 , 1 = i P x -pi P 1 ;

faisant i = 0 , P devient p , et l’on aura 1 = xp V x; d’o ùp= - y- . On fera donc P = p -p i Q, ce qui étant substitué , on aura , après la division par i , o = — h i Q V * H ^ h t 1 Q z - Faisant i = o ,

Q devient q ; donc on aura + i q V * = 0 » d’où l’ua

tire q = Tx~ ÿx ~ 4 0° ^ €ra donc Q = q + i R » et ainsi de suite.

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. s« On peut , à la vérité , trouver les valeurs d ep,q,r, &c. d’une manière plus expéditive , en faisant tout de suite l’équation

l’élevant au quarré pour dégager la quantité i de dessous le signe , et comparant ensuite les termes affectés des mêmes puissances de i , pour que cette quantité puisse demeurer indéterminée , comme on le suppose ; mais la méthode précédente a l’avantage de ne développer la série qu’autant qu’on veut , et de donner la valeur exacte du reste. En effet , si on voulait J par exemple , s’arrêter au second terme pi , on aurait pour la valeur du reste , et on pourrait déterminer Q par la résolution de l’équation en Ç).

Dans l’exemple ci-dessus, cette équation est i 1 Q* + Q ( x V x 4 — )

et pour la résoudre de manière que l’expression de Q ne

présente pas la quantité i au dénominateur , il n’y a qu’à faire Q = , ce

qui réduira l’équation à cette forme , + 4 F" ( 2xyx-f-i'yx)-f*

4 x 1 i 1 = o , d’où l’on tire

V = — 4 * y X — xi yjfrf=4Jf y (x + i) ; et comme Q ne doit pas devenir infini , lorsque i = o(n.'n ) , il faudra que V ne devienne pas nul dans le même cas ; par conséquent, il faudra prendre le signe inférieur du radical ; on aura ainsi

V— — %yx(uf + i ) — 4*y (x + i),

et de là

^ ayx(i*+/) + 4*y(*+i) 2 y*[y(*+o + v«j-

comme plus haut. On en usera de même dans tous les cas semblables.

14. Mais le principal avantage de la méthode que nous avons exposée , consiste en ce qu’elle fait voir comment les fonctions/;, q, r, &c. résultent de la fonction principale fx , et sur-tout en ce qu’elle prouve que les restes iP,iQ, i R, Sec. sont des quantités qui doivent devenir nulles lorsque t=o; d’où l’on tire cette conséquence importante ,-que dans la série fx ■+■ pi -{qi~ + rP + &c. qui naît du développement def{ x -f- i), on peut toujours • B t.

■prendre i assez petit pour qu’un terme quelconque soit plus grand que la somme de tous les termes qui le suivent ; et que cela doit avoir lieu aussi pour toutes les valeurs plus petites de i.

Car, puisque les restes iP, iQ, iR,\ &c. sont des fonctions de i qui deviennent nulles , par la nature même du développement , lorsque i = o , il s’ensuit qu’en considérant la courbe dont i serait l’abscisse , et l’une de ces fonctions l’ordonnée , cette courbe coupera l’axe à l’origine des abscisses ; et à moins que ce point ne soit un point singulier, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs particulières de x , comme il est facile de s’en convaincre avec un peu de réflexion, et par un raisonnement analogue à celui du n.° xo ci-dessus, le cours de la courbe sera nécessairement continu depuis ce point; donc elle s’approchera peu à peu de l’axe avant de le couper , et s’en approchera par conséquent d’une quantité moindre qu’aucune quantité donnée ; de sorte qu’on pourra toujours trouver une abscisse i correspondant à une ordonnée moindre qu’une quantité donnée; et alors toute valeur plus petite de i répondra aussi à des ordonnées moindres que la quantité donnée.

On pourra donc prendre i assez petit , sans être nul , pour que i P sort moindre que fx , ou pour que i Q soit moindre que p , ou pour que i R soit moindre que q , et ainsi des autres ; et par conséquent pour que P R soit moindre que i p , ou que P R soit moindre que P q , &c. ; donc , puisque ( n.° i i ) i P = i p -f- P q -p P r -p & c. , P Q = P q -p P r -f- &c„, PR = Pr -|- &c. , il s’ensuit qu’on pourra toujours donner à i une valeur assez petite pour que chaque terme de la série fx -pip -p Pq -p Pr-\- &ç. devienne plus grand que la somme de tous les fermes suivans; et alors toute valeur de i plus petite que celle-là satisfera toujours à la même condition.

On doit regarder ce théorème comme un des principes fondamentaux . de la théorie que nous nous proposons de développer : on le suppose tacitement dans le calcul différentiel et dans celui des fluxions , et c’est par cet endroit qu’on peut dire que ces calculs donnent le plus de prise sur eux , sur-tout dans leur application aux problèmes géométriques et mécaniques.

15. Au reste , il est facile de voir que la manière que nous venons de

donner pour trouver successivement les termes de la série qui représente une fonction de x •+* i , développée suivant les puissances de i, peut s’appliquer en général au développement de toute fonction de x et de i, pourvu que cette fonction soit susceptible d’être réduite en une série qui procède suivant les puissances positives er entières de i. Car le raisonnement du n.° g , par lequel nous avons prouvé que toute fonction de x + t est, généralement parlant, susceptible de cette forme, ne pourrait pas s’appliquer en général à une fonction quelconque de x et i. Mais dans le -cas où cette réduction est possible, on pourra toujours appliquer à la série résultant du développement suivant les puissances ascendantes de i , la conséquence que nous en avons tirée dans le n.° 14; savoir, que la quantité i pourra être prise assez petite pour qu’un terme quelconque de la série soit plus grand que tous ceux qui le suivent , pris ensemble.

16. Après ces considérations générales sur le développement des fonctions , nous allons considérer en particulier la formule du n.° 3 , :

/(* + i ) —fx +pi + qï + ri' + &c. , ;

et chercher comment les fonctions dérivées p , q , r , &c. dépendent de la fonction primitive fx. ' ‘

Pour cela , supposons que l’indéterminée x devienne x -f- o, o étant une quantité quelconque indéterminée et indépendante de i , il est visible que /(* + i) deviendra /(.v i + o) ; et l’on voit en même temps què l’on aurait le même résultat en mettant simplement i -f- o à la place de i dans f(x -p i ). Donc aussi le résultat doit être le même , soit qu’on mette dans la série fx pi- -+* q i 1 + ri 5 -f- &c. , i + o à la place de i , soit qu’on y mette x +0 au lieu de x.

La première substitution donnera

fx + P (t +0) + q{i + o) 1 + r (i +0) 3 -f &c. ; savoir , en développant les puissances de t -j- o , et n’écrivant , pour plus de simplicité , que les deux premiers termes de chaque puissance , parce que la comparaison de ces termes suffira pour les déterminations dont nous avons besoin ,

f x + pi -j- q i 1 -f- r i 3 s i K + &c.

+ po + zqio 3 ri r o + 4*4*0 -f- &c.

Pour faire l’autre substitution, soit fx+f'xo + p' o -f- &c.J

j + + &c. r + r 1 o + &c. , ce que deviennent les fonctions fx,p,

ç, r, &c. en y mettant x + o pour x , et ne considérant dans le développement que les termes qui contiennent la première puissance de o , il est clair que la même formule deviendra

f x -f- pi -f- qi 1 + ri* -f- si* -f- &c.

+ f'xo + pf io + qi*o -j- r 7 J 3 o -f- &c.

Comme ces deux résultats doivent être identiques , quelles que soient les valeurs de i et de o , on aura , en comparant les termes affectés de o , de i o, de i 1 o , &c. p=f x , iq=p', 3 r = f , 4 s = r', &c.

Maintenant, de même que fx est la première fonction dérivée de f x, il est clair que pf est la première /onction dérivée de p , que q' est la première fonction dérivée de q, r 7 la première fonction dérivée de r, et ainsi de suite. Donc , si , pour plus de simplicité et d’uniformité , on dénote par f'x la première fonction dérivée de fx, par f"x la première fonction dérivée de f'x, par f" x la première fonction dérivée de f'x,

et ainsi de suite , on aura p=f'x , et de- là pf =f x ; donc q = — — =

3 L . ; donc q 1 t=z -~ - et de-là r= — — = x donc / =

- x — , et de-là s = — - — = ■ — — * ■ , et ainsi de suite.

Donc , substituant ces valeurs dans le développement de la fonction f ( x + i ) , on aura

f(x-\-i)=fx + f x i + * - i' + * ? + — ** &C '

Cette nouvelle expression a l’avantage de faire voir comment les termes de la série dépendent les uns des autres, et sur-tout comment , lorsqu’on sait former la première fonction dérivée d’une fonction primitive quelconque , on peut former toutes les fonctions dérivées que la série renferme.

17. Nous appellerons la fonction f x , fonction primitive , par rapport aux fonctions j'x,f"x , &c. qui en dérivent, et nous appellerons celles ci , fonctions dérivées, par rapport à celle-là. Nous nommerons de plus la première

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 15 fonction dérivée f x , fonction prime ; la seconde dérivée f u x , fonction seconde ; la troisième fonction dérivée f" x , fonction tierce , et ainsi de suite.

De la même manière, si y est supposé une fonction de x, nous dénoterons ses fonctions dérivées par y', y", f", &c. , de sorte que y étant une fonction primitive, y' sera sa fonction prime , y" en sera la fonction seconde , y" 1 la fonction tierce , et ainsi de suite.

De sorte que x devenant x -j- i , y deviendra y + y 1 i H — h

18. Ainsi, pourvu qu’on ait un moyen d’avoir la fonction prime d’une fonction primitive quelconque , on aura , par la simple répétition des mêmes opérations , toutes les fonctions dérivées , et par conséquent tous les termes de la série qui résulte du développement de la fonction primitive.

Soit donc d’abord f x = x m , on aura /(x + / ) = ( x + i ) m ; or , il est facile de démontrer , soit par les simples règles de l’arithmétique , soit par les premières opérations de l’algèbre , que les deux premiers termes de la puissance m du binôme x-j-t sontx'” -\-mx' n — * i , soit que m soit un nombre entier ou fractionnaire , positif ou négatif; ainsi on aura f x = mx m — \ De-là on tirera de la même manière/" x= m (m — 1 ) x" — f" x = m ( m — 1) (m — 2. ) x* ~ 3 , &c. ; de sorte qu’oa aura

/ I • iW m i m

=x -f -mx

^ m{m i) jn-x* j m ( m- t ) (ot - z) ^ m .

ce qui est la formule connue du binôme , laquelle se trouve ainsi démontrée pour toutes les valeurs de m.

1 9. Soit en second lieu f x = a* , on aura/( x -f- i ) = a* + * = à* d ; ainsi tout se réduit à trouver les deux premiers termes de la série de a' , développée suivant les puissances de i.

S.oit , pour cela , a — 1 + b , alors ci = ( 1 -j- b )'' = x -f- i h -f-

— — — b 1 -j — — 'J- y b % + &c. , par la formule que noua

venons de démontrer. Développant les produits de i, i — 1 , i — x, &c. ,

et ordonnant les termes suivant les puissances de i , on trouvera que les

termes multipliés par i sont i ( b — | &c. ).

Donc, faisant , pour abréger, A=b-

- &c. , les deux premiers termes de la valeur de a '

(a tV , (a— ■)’

en série seront i -f- A i ; donc on aura f x = A a \ On tirera de- là , par la même opération répétée, f 11 x= A x Aa x = A'~ a x ,J l:l x = A i a*, &c. On

* = a* ( i + Ai +

aura ainsi f(x + i)-. 2 . 1>3

Divisant par a * , et changeant ienr, on aura la série connue a* = i -+> A' x' , A' i r'

Ax +

•lo. Si dans cette formule on fait x = i , on aura

et si on fait x = — ~ , on aura

Al

Ainsi la quantité est égale à un nombre constant , qui est la valeur de a y lorsque A = 1 ; et ce nombre déterminé par la série précédente t se trouve

C’est le nombre qu’on désigne ordinairement par e ; de sorte que la relation

entre a et A se trouve exprimée d’une manière finie par l’équation a A = e, laquelle donne a = e 4 .

Or , dans l’équation y = a x , x est ce qu’on appelle le logarithme dé y, m étant la base du système logarithmique , c’est-à-dire , le nombre dont le logarithme est l’unité ; de sorte que cette équation donne x = log. y pour

la

la base a. Par la même raison , l’équation a A = e donnera — - = log. e pour la base a , et A = log. a pour la base e.

Dans le système des logarithmes ordinaires, la base a a été prise = io, parce que ces logarithmes sont plus commodes pour le calcul arithmétique ; mais dans l’analyse on préfère , comme plus simple , le système dont la base est le nombre e ; c’est le système des logarithmes de Neper , qu’on nomme communément logarithmes hyperboliques , parce qu’ils sont représentés par l’aire de l’hyperbole équilatère entre ses asymptotes ; et on les désigne par la simple caractéristique /. Ainsi on a A = la ; par conséquent la fonction prime de la fonction a* , est exprimée par a* la (n.° précédent). Au reste, comme a = e A , on aura a=.e lt , et par conséquent a* =.c xla ; moyennant quoi on peut réduire toutes les exponentielles à la même base e.

il. Soit donc, en troisième lieu, fx = log. *, on aura, par la nature des logarithmes, x = a fx . Or, x devenant x + i,fx devient* f(x -f- i)=fx +

if' x H 1 ~ — f 11 x &c. Faisant , pour abréger , o = if x H —

f x + &c. l’équation x = a fx deviendra ( en y mettant x -f- i pour x ) x + i ■=a fx ~ i ‘°=.a fx x a 0 , et divisant cette équation par la précédente,

on aura i = a° = i + Ao -\ — H ( n * z 9 )■ Effaçant

l’unité de part et d’autre , et divisant par i , après avoir substitué la valeur de o, on aura, en ordonnant suivant les puissances de i ,

= A f x + — y- Af" x + A 1 f x 2 -j - &c.

La quantité i étant et devant demeurer indéterminée , il faudra que cette équation se vérifie indépendamment de cette quantité ; par conséquent tous les termes affectés d’une même puissance de i devront se détruire d’eux-

mêmes, et former autant d’équations à part. On aura donc ainsi — -=Afx A f 1 x + A* f x 2 = o , et ainsi de suite.

Donc ,f.\ étant = log. ,r, on aura en général f zo);

iS THÉORIE

et dc-Ià , par la formule générale du n.° 18 , on tirera f x= - -

f m x = — yy ■ ,f , 1 x= % pu ~ > va ^ eurs qui satisfont , comme l’on

voit , aux différentes équations trouvées ci-dessus. Ainsi , par la substitution

de ces valeurs dans la série/* -f- ip x -j — ~~ P' x + &c. , on aura sur “ le-champ

log. (* -f- i) = lx -| — ( — &c.

° ' ' ' zla . ix la 1 z.jx la

Faisant * = i , et changeant l'emtj on aura la formule connue