x‘ la
log. ( r ■+■ x ) = — u 1 .
Pour les logarithmes hyperboliques où te= i,on aura simplement/* = /*,
~>Scc.
ia. Ces formules pour le développement en série des exponentielles et des logarithmes sont assez connues , et on les démontre , ou par le calcul différentiel , ou par la seule formule du binôme , mais en employant la considération de l’infini ou de ^infiniment petit , comme on le voit dans Y Introditcdo in analysin à' Euler. Quoique cette manière de démontrer , dont Halley est , je crois , l’auteur ( Trans. phil. n.° zi 6 ), puisse être admise en analyse , on ne sauroit disconvenir qu’elle n’a pas l’évidence ni même la rigueur qu’on doit désirer dans les élémens d’une science , et nous croyons qu’on nous saura gré de nous écarter ici un moment de notre marche , pour donner une démonstration des mêmes formules, fondée aussi uniquement sur celle du binôme, mais dégagée de toute considération de l’infini. Nous donnerons même à ces formules une généralisation qui servira à rendre les. séries aussi convergentes qu’on voudra dans tous les cas.
Considérons donc Péquation générale y = a”, dans laquelle * est le logarithme de y pour la base a; mettons à la place de a, i -\~ a — i , ce qui est
la même chose , et ensuite à la place de ( i + a — i )*, [ ( i + a — i )"] "
ce qui est encore la même chose que a x ; on aura
n étant une quantité quelconque qui disparaît d’elle-même dans la valeur de y.
Je développe maintenant le binôme ( 1 -f- a — 1 )" dans la série 1 -f- n
(fl — 0+ * (n ~ 0 (a— !)»+ ."(?— 0^— +
et j’ordonne les termes suivant les puissances de n , j’aurai
les coèfficiens A y B, &c. étant donnés en a ; et il est aisé de voir qu'on aura d’abord
cette quantité étant la même que celle du n.° 19 ci-dessus. A l’égard des autres coèfficiens , nous n’aurons pas besoin de les chercher , puisqu’ils disparaîtront du calcul, comme on va le voir.
Faisant cette substitution , nous aurons y = ( 1 -f- A n + B if + &c. ) ", et développant à la manière du binôme, il viendra
y — I H \ — ( A n + B ri 1 + &c. ) 4 * — ( A n +
Æn’-H&c.) 1 + (An +Bn' + &c. ) ? + &c.,
savoir , en effaçant les puissances de n , communes aux numérateurs et aux dénominateurs ,
■ y — l + x (A + B n + &c.) + (A + Bn +&C.)’ +
' <~ A + Bn + &c ')’ + &c.
Maintenant , comme la quantité n est arbitraire , et doit par la nature même de la fonction y disparaître de l’expression de cette fonction , il faudra .que tous les termes multipliés p.ir chaque puissance de n se détruisent
mutuellement. Ne tenant donc aucun compte de ces termes qui doivent disparaître d’eux-mêmes , quel que soit n, on aura simplement
y = a* =i+xA + - x 1- H &c.
comme plus haut (n.* ig ).
13. Cherchons de la même manière la valeur de x en y. Pour cela , nous mettrons l’équation a* = y sous la forme ( 1 a — 1 y x = (1 + y — 1 )", qui est identique avec la précédente , et où n est encore une quantité quelconque à volonté , qui ne doit point entrer dans la valeur de x en y.
Développant les deux membres à la manière du binôme , on aura
1 + « *(*—1) + iy + &c.
= i+n (y— I) 4- (y— 0* + ] \ nr — ( y — O 1 + &c. ;
savoir , en effaçant l’unité de part et d’autre , et divisant par n : x(a— 1 ) + (a— if + <»*-*) (<? , y + &e .
= y— ! +-^-(y— ■!)*+ (y — iy + &c.
Or , n étant , comme nous l’avons déjà dit , une quantité entièrement arbitraire et qui ne doit pas entrer dans l’expression de x en y, il faudra que les termes multipliés par les différentes puissances de n se détruisent d’eux-mêmes, en sorte qu’il ne reste que ceux où n n’entrera pas. On aura ainsi, en ne tenant compte que des termes sans n, l’équation suivante, dans laquelle j’emploie, pour abréger, la quantité A déterminée-ci-deffus:
xA = y — 1 — i (y — O 1 + i (y — O* — d’où l’on tire
x = log. y = -r — «*-, .
formule connue , et qui s’accorde avec celle du n.’ii,^ étant = la.
44. Mais cette formule n’est convergente que lorsque le nombre y , dor/t elle donne le logarithme, est peu différent de l’unité. Aussi n’est-elle
DES FONCTIONS ANALYTIQUES, d’aucune utilité pour le calcul des logarithmes ordinaires. Voici un moyen de la rendre convergente pour tous les nombres.
Il est évident que l’équation fondamentale y = a * peut sc changer en celle-ci y m = a nx , m étant un nombre, quelconque entier ou fractionnaire. Employant donc cette dernière formule à la place de l’autre , il n’y aura qu’à changer dans celle-ci y en y" et x en mx. On aura donc en général
* = log. y —
où l’on pourra prendre pour m une fraction — , telle que y y soit toujours
un nombre aussi peu différent de l’unité qu’on voudra.
Supposons, ce qui est toujours possible , que la racine r de y ne contienne que l’unité avant la virgule, et qu’après la virgule il y ait s zéro , alors si on s’arrête à xj décimales , il est visible que le terme ( y m — i )’ , et à plus forte raison , les termes suivans ne donneront rien ; de sorte qu’on aura simplement dans ce cas
ou r
De la même manière , on aura aussi , sous les mêmes conditions , A — r
( yj a — i ) ; et par conséquent x = — —X 1 — w
C’est par cette formule que Brigs a calculé les premiers logarithmes. Il avait remarqué qu’en faisant des extractions successives de racines quarrées d’un nombre quelconque , si on s’arrête dans une de ces extractions à deux fois autant de décimales qu’il y aura de zéros à la suite de l’unité , lorsqu’il n’y a plus que l’unité avant la virgule , la partie décimale de cette racine se trouve exactement la moitié de celle de la racine précédente , en sorte que ces parties décimales ont entre elles le même rapport que les logarithmes des racines mêmes ; c’est ce qui résulte évidemment des formules précédentes.
Ainsi , en prenant r= x e °, on trouve pour a = io
ÿ a = i , ooooo ooooo ooooo 00199 71741 o8ixy 50^17, A— = O, ooooo ooooo ooooo 00086 73617 37988 403J4.
De sorte que
= o , 434*9 44 8, 9 03251 ... =—J r - = / a ■ = log. <?.
Si maintenant on veut avoir , par exemple , le logarithme de 3 , on fera y = 3 , et employant de même 60 extractions de racines quarrées , on trouvera
-ÿy=i , 00000 00000 00000 00095 28941 64074 58932.., et de-là
x = log. y =
Cette méthode est , comme l’on voit , très-laborieuse , par le grand nombre d’extractions de racines qu’elle demande pour avoir un résultat en plusieurs décimales ; mais la formule générale que nous avons donnée cidessus pour l’expression de xeny, sert à la simplifier et à la compléter ; car , quel que soit le nombre y , il suffira d’en extraire quelques racines quarrées jusqu’à ce qu’on parvienne à un nombre y m ou {/ y , qui n’ait que l’unité avant la virgule ; alors les puissances de y m — x seront des fractions d’autant plus petites qu’elles seront plus hautes ; et par conséquent la série deviendra assez convergente , pour qu’il suffise d’en prendre un petit nombre de termes. .
25. On peut appliquer la méthode précédente à la recherche des séries qui expriment le sinus par l’arc , ou l’arc par le sinus , et pour lesquelles on emploie aussi ( comme l’a fait Euler dans le même ouvrage ) la considération de l’infiniment petit et de l’infini.
En effet , en partant de la formule connue pour la multiplication des angles cos. itx -j- sin. n x V — I = C cos. * + sin. x V — 1 )" , on a réciproquement
cos. x -J- sin. x V — 1 = ( cos. /ix + sin. nx V — 2 )" »
où le nombre n peut être quelconque.
Maintenant , quelle que soit l’expression de sin. x en série de 1 arc x , elle ne peut être que de la forme Ax Bx z + &c. ; car puisque le
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. i 3 sinus devient nul lorsque l’arc est nul , il est visible que cette expression ne doit contenir aucun terme sans x. Or, comme cos. x = y 1 [ i — (sin. x 1 ) ] , on aura
cos. x = V(i — A' x 1 — x AB A — &c. ) = i — f- &c.
Les coèfficiens A ,B, & c.sont cénsésindépendansde l’arc x,- par conséquent ils seront les mêmes pour tout autre arc. Substituant donc n x pour x , on aura pareillement
sin. n x = n A x -f- n* B x 5 + &c. cos. n x = i P -A~- 1- &c.
Donc l’équation précédente deviendra
cos. x -f- sin. x V — i = [i -f ■ n A x ^ — i + n 1 (fl V — i — ~ ) x 1 + &c. ]».
Développons le second membre à la manière du binôme , en faisant.,
pour abréger , X = A x V — i -J- n ( B yj — i - — ) x 1 -{- &c. ,
on aura
cos. x -j- sin. x V — i = i -1 ^ — ( n X) -| 1 n — ( n X )*
+ (nJY)»i-&c.= t+^+-^-X»
Comme les valeurs de sin. x et de cos. x doivent être indépendantes du nombre arbitraire n , il s’ensuit que tous les termes du second membre qui se trouveront multipliés par une même puissance de n doivent se détruire d’eux-mêmes. Ne tenant donc compte que des termes où n ne se trouvera pas après le développement, il est aisé de voir que la quantité X se réduira à son premier terme A x V — x , et que les coèfficiens des puissances de x
se réduiront à i , — ~ , -- 1 ' - &c. De sorte que l’on aura simplement
cos. x sin. * V — i = x -f ■ A x — i + — ~ (Axy/ — x )•
+ — ' 3 {Ax\j — x )’ + &c,
En effectuant les puissances de V — 1 > et comparant les parties réelles des deux membres ensemble , et les imaginaires ensemble , on aura
sin. x = A x — cos. x = i —
16. Pour avoir de même la valeur de xen sin. et cos. de x , il n’y aura qu’à reprendre la formule fondamentale
cos. n x -j- sin. n x yj — t = ( cos. x + sin. x V — 1 )" , dans laquelle on mettra^ à la place de sin. nx et cos. nx , leurs valeurs en
série nAx + n B x' &c., 1 — : - 1 - &c. , et on développera la
puissance n du second membre. On aura ainsi
i + n A x yj — 1 + n‘ ( B V — 1 ) x' -f- &c.
