tang. x V t

1 tang. x V 1

< 3 *où l’on peut déduire les séries trouvées ci-dessus, en employant les développemens des exponentielles et des logarithmes exposés dans les numéros 22 et 23.

Mais il y a ici une remarque importante à faire ; c’est que dans les formules que nous venpns de trouver, la quantité A , ainsi que a, étant ar bitraire , le système de logarithmes peut être pris à volonté ; au lieu que

i5 THÉORIE

dans les formules ordinaires relatives aux arcs de cercle , le module A est égal à l’unité, ce qui donne pour la base le nombre e , dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Ainsi , celles-ci ne sont qu’un cas particulier de celles que nous avons trouvées ; mais cette particularisation est nécessaire pour qu’elles soient applicables au cercle , comme nous l’allons démontrer.

zS. Tout se réduit à prouver que dans l’expression de sin. x en série , le premier terme doit être simplement .v, au lieu que nous l’avons supposé en général Ax ( n.° 2.5). En employant la considération des infiniment petits cela est évident ; car , 011 voit que dans le cercle le sinus , à mesure qu’il diminue , s’approche de plus en plus de l’arc , jusqu’à s’y confondre dans l’infiniment petit. Ainsi , en supposant l’arc x infiniment petit , on a sin. x = x; par conséquent A = 1.

Mais comme nous avons cherché à rendre notre analyse indépendante de la considération des infiniment petits , nous devons aussi en affranchir la démonstration du point dont il s’agit.

Pour cela , nous ne supposerons que le principe établi par Archimède , que le sinus , qui est la moitié de la corde de l’arc double , est moindre que l’arc auquel il répond , et que la tangente est plus grande que ce même arc.

Nous aurons ainsi sin. x <x» et tang.x> x; or, comme tang.x= =

-, on aura

sin *

? — rr- > x , et de là sin. x 5 > x 2 ( 1 —

V(t sin. jc* ) ’ iin.*')

sin. x*), d’où l’on tire sin. x > y. Employant donc l’expression de

sin. x en série trouvée n.° 25 , il faudra que l’on ait, quelque petit que

soit l’arc x , A x -

Donc aussi , en divisant par x ,

Comme — 1 — — = ^i-L+£lL e t que V ( i + **) > 1 , il est claiï VC 1 + *) 1 -f * * 1 s

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 17 que » et en m tme temps on voit que | - ^ r , > i — a; 1 ,

car la différence est — — — ; ainsi la quantité qui est plus grande que

^ t ^ sera à plus forte raison plus grande que 1 — x* ; de sorte

qu’on pourra réduire l’espèce d’équation d’inégalité ci-dessus à cette forme

Or, en prenante tel que — - — y soit < 1 , il est visible que la série A —

— J- &c. sera convergente et < A mais > A ^ * , parce qu’en

ajoutant ensemble le second et le troisième terme , le quatrième et le cinquième , et ainsi de suite , on n’aura que des quantités toutes négatives , et qu’au contraire en ajoutant le troisième et le quatrième , le cinquième et le sixième , &c. ou n’aura que des quantités toutes positives. Donc x étant

supposé = ^ , on aura à plus forte raison A ■ ^ x

< 1 et A > 1 — x %•

ji 1 x x . *

par conséquent A > 1 — a* et <■ 1 -f- ce qui devant avoir lieu, quelque

petite que soit la valeur de x, il s’ensuit que l’on aura nécessairement A = i. En effet , si A = 1 -J- i , i étant une quantité quelconque très-petite ,

positive, il n’y aurait qu’à prendre x tel que — ■ < i , et alors la condition

de A <. 1 +

n’aurait plus lieu. De même , si A = 1 — i , il

n’y aurait qu’à prendre x* ci , et l’autre condition A > 1 — x* serait en défaut. Donc on a nécessairement A = 1 dans le cercle; par conséquent a = e =s au nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; ce qui fait rentrer nos formules dans celles connues pour les fonctions circulaires.

19. Soit , en quatrième lieu , fx = sin. x , on aura /( x + i ) = sin. ( x H~ * ) = sin. x x cos. i -f- cos. x x sin. i , par les théorèmes connus. Or,

nous venons de ti o iver sîd, i xx= i —

+ &c. cos. i = 1 D 2

xB

~ — f- &c-> en faisant x = i et A = i dans les formules du n.° 15. Donc

les deux premiers termes du développement de sin. (x -f - i ) sont sin. x -4- é cos. x ; par conséquent on aura f x = cos. x.

De la même manière , en faisant fx = cos. x , on trouvera/ (x-f-i) = cos. ( x -f- i ) = cos. x x cos. i — sin. x x sin. : = cos. x — i sin. x + &c. j de sorte qu’on aura f x = — sin. x.

Connaissant ainsi les fonctions primes des fonctions primitives sin. x et cos. x , on en déduira tout de suite toutes les fonctions dérivées.

En effet , puisque fx = sin. x a donné f'x = cos. x , et que fx = cos. x a donné f‘ x = — sin. x, il est clair que pour f x = sin. x , on aura f x = cos. x ,f" x = * sin. x ,f'"x = — cos. x t f"x = sin. x , &c. , et que.

pour fx = cos.x on aura fx=. — sin. x ,f'x = — cos. x ,f m x = sin. x„ f" x == COS. X &c.

D’après ces formules , on aurait sur-le-champ les séries

sin. ( x + i ) = sin. x + i cos. x ■

. sin. x + &c.„

cos. ( x + i ) = cos. x — i sin. x ■ cos. x — &c. ;

sin. x

cos. x

cos. X -j-

sin. x -f-

ce qui , en faisant x = o et changeant ensuite t en x , redonnera les for-*, mules que nous avons déjà trouvées.

30. Les fonctions x", a*,lx,s\n.xct cos. x que nous venons de considérer^ peuvent être regardées comme les fonctions simples analytiques d’une seule variable. Toutes les autres fonctions de x se composent de celle-là par addition , soustraction , multiplication ou division , ou sont données em général par des équations dans lesquelles entrent des fonctions de ces mêmes formes. Ainsi , connaissant les fonctions primes des fonctions simples que nous venons d’examiner , on trouvera aisément les fonctions primes des: fonctions composées , et par des opérations répétées , on aura successivement les fonctions secondes , tierces , &c.

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. z 9

Soient p , q , r , Scc. des fonctions simples de x , dont p' ,q' ,r' , S:c. soient les fonctions primes connues par les règles précédentes , et qu’on demande la fonction prime y' d’une fonction y composée de p , q , r , Scc., on considérera que x devenant x -j- i , y devient en général y + y' i -|-

— ^ h &c. ( n° 17 ). Or , p , q , r , &c. deviennent en même temps

p -j- p'î + &c. ,q + q'i 4 - &c., r + rii + Scc. , et ainsi des autres. Il n’y aura donc qu’à substituer ces valeurs dans l’expression de y , développer les termes suivant les puissances de i , et le coefficient de i sera la valeur cherchée de y 1 .

Ainsi , si y = ap bq + &c. , a , b , &c. étant des coèfficiens constans quelconques , on aura sur-le-champ y 1 = ap 1 bq 1 -j- Scc.

Si y = apq , la quantité pq deviendra { p. ~r ip' + Scc. ) ( q -|iq' + &c. ) = pq -f i ( p' q + q' p ) + &c - i donc y' — a p'q -j- a q>p.

Si y = ap qr t on trouvera de la même manière y 1 = ap'qr -j- aq'pr -jad pq ; Sc ainsi de suite.

Si y = a ? ■ , la quantité — deviendra ■ P q j r Développant

le dénominateur en série par les règles connues, on aura (/> + ip 1 -f- Scc. )

( - 4 - + &c.)=-£- +z(— q ~ ) + Scc. Donc y' =

a p apq

31. Soit en général y — f p , en regardant fp comme une fonction primitive de p , sa fonction prime sera f'p ; en sorte que p devenant p -f- o' ( j’emploie ici la quantité indéterminée o , à la place de la quanrité indéterminée i , qui désignera toujours l’augmentation indéterminée de x) ,fp deviendra fp -f- of'p ri y— f'p + &C. ; ( n.° 1 7 ). Or , p étant une fonction.

de x, lorsque x devient x -J- i , p devient ( ibid. ) p ip' - j- f- &c.

donc faisant 0 = ip -f- —■ p 11 4- &c. , fp deviendra par la substitution- 1

3 o THÉORIE

dex-f- i , à laÿlace dex ,fp + ip'f'p H — (p"f"p + p"f'p ) + &c. ;

par conséquent on aura y' = p'f'p. D’où résulte ce principe : que la fonction prime d’une fonction d’une quantité qui est elle-même une fonction de x,est égale au produit des fonctions primes des deux fonctions.

Supposons maintenant que y soit une fonction de p et de q , que nous désignerons par/( p , q ) , il s’agit donc de substituer x + i à la place de x dans les deux fonctions p et q. Or , i! est visible que l’on doit avoir le même résultat, soit qu’on fasse ces deux substitutions à-la- fois ou successivement, puisque les quantités p et q sont regardées comme indépendantes.

En substituant d’abord x ■+• i à la place de x dans la fonction p , la fonction f(p,ç)> regardée seulement comme fonction dep, devient f(p,q) 4 - i p'f(p) + &c., j’écris simplement/^) pour désigner la fonction prime de f(p , q ) , prise relativement à p seul , q étant regardée comme constante. Substituons maintenant x + i pour x dans q , la fonction f(p , q) deviendra pareillement f(p,q)~\~i q'f‘ ( q ) H~ &c. , o uf'(q) représente la fonction prime def(p,q) , prise relativement à q seul , p étant regardée comme constante. Quant au terme ip'f‘ ( p ) , il est visible que par cette nouvelle substitution il se trouverait augmenté de termes multipliés part* , t' , &c. Ainsi les deux premiers termes de la série provenant du développement d ef(p,q), après la substitution de x + i pour x, seront simplemenr/(/> ,q) 4- i [p'f {p) + f' (ÿ )] ; de sorte qu’on aura

Si y était une fonction de p , q , r représentée par f (p , q , r) , on trouverait de la même manière

et ainsi de suite.

D’où il est aisé de tirer cette conclusion générale , que la fonction prime d’une fonction composée de différentes fonctions particulières , sera la somme des fonctions primes relatives à chacune de ces mêmes fonctions , considérées séparément et indépendamment l’une de l’autre.

Ce principe, combiné avec le précédent, suffira pour trouver les fonctions primes de toutes sortes du fonctions , ainsi que les autres fonctions dérivées des ordres supérieurs.

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. ji

31. Ainsi , en supposant X une fonction quelconque de x, les fonctions

primes de X m , IX, a* , sin. X , cos. X , &c. seront mX"' ' X 1 , — , a* l a X 1 , X 1 cos. X, — X sin. X, &c. * et leurs fonctions secondes seror t mX m ~ l X" +m(m— 1 ) X m ~ ' X>' , laX ! + a<

A Ji

( la y X n , X" cos. X— X‘‘ sin. X , — X" sin. X— X 1 ' cos. X, &c. ; et ainsi de suite.

33. Mais la fonction y pourrait n’être donnée que par une équation quelconque entre x et y.

Représentons cette équation en général par F(x, y )= o , on aura , par la résolution , y égal à une fonction quelconque de x, qu’on pourra désigner par fx ; de sorte qu’en substituant/* pour y dans la fonction F(x, y) , elle deviendra F (x , f x) , fonction de * seul , que nous désignerons par <px. Cette fonction <px devra donc être nulle, quelle que soit la valeur de x. Donc elle le sera aussi en mettant * -(- i pour * , quelle que soit la valeur

de i. Mais par cette substitution cpx devient <px + ip'x -\-~-p"x -f- &c. ;

donc , pour que i puisse être une quantité quelconque , il faudra que l’on ait séparément les équations <px = o , tp' x = o, <f>" x= o , &c. , dont la première est l’équation donnée , la seconde est sa fonction prime , la troisième sa fonction seconde , &c.

Or, puisque <p* = F (x, f x) = F (x , y) , <p‘ x sera la fonction primede F(x, y ),y étant regardé comme fonction de x, et par le principe établi dans le n.°3i, cette fonction prime sera exprimée par F'(x) +y ; F' (y), en désignant par F' (x) et F 1 (y) les fonctions primes de la fonction F(x,y) r prises relativement à * seul et à y seul.

Donc l’équaticn <p'x = o donnera F 1 (x) -J- y 1 F 1 (y) = o ; d’où l’on tire

Ayant ainsi la valeur de la fonction prime y' en fonction de x et y , on aura celle de en prenant la fonction prime de cette fonction, et ainsi de suite.

3 i THÉORIE

11 résulte de l’analyse précédente ce principe :

Lorsqu’on a une équation quelconque entre deux variables x, y ', l’équation subsistera encore entre les fonctions primes de tous ses termes, ainsi qu’entre leurs fonctions secondes, &c. Nous appellerons ces nouvelles équations , équations dérivées ; & en particulier, équations primes , équations secondes , &c. , celles qu’on obtient en prenant les fonctions primes , secondes , &c.

Si l’équation ne contenait qu’une seule variable x , qui dût demeurer indéterminée , ce qui a lieu dans les équations identiques, le même principe subsisterait , et l’on aurait également une équation prime , une équation seconde, &c. qui seraient aussi identiques.

34. Quelle que soit donc la fonction proposée^*, et de quelque manière qu’elle soit donnée , on a des méthodes simples et générales pour trouver sa fonction prime f'x; et de- là, par la répétition des mêmes opérations, on pourra trouver toutes les autres fonctions dérivées. On aura ainsi facilement

tous les termes de la série fx -j~ if x ri — f'x -f- &c. qui naît du

développement de la fonction f (x + i) , lorsque ce développement est susceptible de cette forme.

Il est donc nécessaire , avant d’aller plus loin , d’examiner quand et comment cette forme pourrait être en défaut.

Nous avons déjà démontré plus haut (n.° 1 o) que cela ne peut arriver que lorsqu’on donnera à x une valeur déterminée, telle qu’elle fasse disparaître dans 1 $ fonction fx,et dans ses dérivées, quelques radicaux. Or, un radical ne peut disparaître dans une fonction que de deux manières, ou parce que la quantité qui multiplie le radical devient nulle , ou parce que le radical lui-même devient nul.

Dans le premier cas , il est clair que le radical disparaissant dans fx , il pourra ne pas disparaître dans f x, f'x, &c. , ou bien que disparaissant à-la-fois dans f x, f x, il pourra ne pas disparaître dans f" x,f" x, &c. , et ainsi du reste , parce que le radical acquérant des coèfîiciens dififérens dans les fonctions dérivées , ces coclF ciens ne deviendront plus nuis par la même supposition de la variable,

Da is

Dans le second cas , au contraire , il est évident que le radical disparaîtra nécessairement danstoutes les fonctions fx,fx ,f" x , &c. à l’infini, puisque c’est la quantité radicale elle-même qui est supposée s’évanouir pour une valeur donnée de la variable x.

Or, comme l’évanouissement du radical ne peut plus avoir lieu dans la fonction f(x-\-i), où i est une quantité indéterminée et indépendante de x ,

il s’ensuit que la série fx + if x H f'x -f- &c. qui représente le

développement de cette fonction , ne pourra être exacte, qu’autant que le même radical s’y trouvera ; par conséquent cette série sera légitime dans le premier cas , et ne le sera pas dans le second.

35. Soit y — fx, et par conséquent , en prenant les fonctions primes secondes, &c.y'==/'x, y" =f'x&cc.-, supposons que pour une valeur donnée dex,il disparaisse dans fx un radical, lequel ne disparaisse pas dans/ 7 .* y il est clair que pour cette valeur de x , la fonction fx devra avoir un plus grand nombre de valeurs différentes que la fonction fx, à raison du radical qui se trouve dans fx et qui a disparu dans fx; d’où il s’ensuit que la valeur de y 1 ne pourra pas être donnée par une fonction de x et y qui ne contiendrait pas ce radical. Cependant, si dans l’équation y =fx on détruit ce même radical par l’élévation des puissances , et que l’équation résultante soit représentée par F(x, y ) = o , son équation prime donnera généralement, comme

nous l’avons vu ( n.* 33 ) , y' = Ç/ Donc cette expression

sera en défaut dans le cas où l’on donnerait à x la valeur en question, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que les quantités F' (x) et F 1 (y) seront l’une et l’autre nulles à la fois. Ainsi , dans le cas dont il s’agit , l’expression de y' deviendra égale à zéro divisé par zéro ; et réciproquement lorsque cela arrivera , ce sera une marque que la valeur correspondante de x aura détruit dans fx un radical, sans le détruire dans f x.

Pour avoir dans ce cas la valeur de y 1 , il ne suffira donc pas de s’arrêter à l’équation prime de F ( x , y ) = o , laquelle étant y' F' (y) F 1 (x)=o

( n.° y j ) aura lieu d’elle-même , indépendamment de la valeur de y'; mais il faudra passer à l’équation seconde , qu’on trouvera par les mêmes règles de

cette forme

en désignant par F ' 1 (y) et F" (x) les fonctions primes de F 1 (y) et F 1 ( x ), prises , la première relativement à y seul , et la seconde relativement à x seul , c’est-à-dire , les fonctions secondes de F (y, x) prises relativement aux mêmes variables isolées, et par F" (y)(x) la fonction prime de F 1 (y), prise relativement à x, ou la fonction prime de F‘ ( x ) , prise relativement à y, ces deux fonctions étant la même chose , comme il est facile de s’en convaincre , et comme nous le démontrerons plus bas , lorsque nous traiterons dès fonctions de plusieurs variables , c’est-à-dire , la fonction seconde de F (y, x), prise relativement à y et à x.

Cette équation donne généralement la valeur de y"; mais dans le cas proposé, la quantité F 1 (y) devenant nulle, le terme qui contient y" disparaîtra , et l’équation restante sera une équation du second degré en y', par laquelle on déterminera la valeur de y', qui sera par conséquent double,

36. Soit , par exemple , fx=(x — a ) V (x — b) , en sorte qu’on ait l’équation y = (x — a) V (x — b ) , on aura f' x=y' = V (* — b) +

- 2 --z zrïyi faisant x— a , on a y = o,y'=v'(x — b),= l/(a — b)>

où l’on voit que le radical disparaît dans la valeur de y, mais non pas dans celle de y', en sorte que la valeur de y est simple , et celle de y' double.

Maintenant, si on réduit l’équation proposée àcetteformerationnelley’^s (x — a) 1 (x — b ), et qu’on en prenne l’équation prime, on aura xyy'=.

i(x — a)(x — b + (x — a)’; doulon tirey'= —

faisant x=a, on a y 1 = ; passant donc à l’équation seconde, on aura

xy n -f- zyy" = 4(x — a) -J- x(x — b).

Ici x = fl donne (à cause de y = o dans ce cas) xy n =x x (x — b ) =r X (fl — b){ donc y' =V (û — b ), comme plus haut.

II serait possible , au reste , que la même valeur de x qui détruit les termes de l’équation prime , détruisît aussi ceux de l’équation seconde ; alors il faudrait passer à l’équation tierce , laquelle , par la destruction des termes

qui contiendraient y " et y deviendraient une simple équation en y, mais du troisième degré , et ainsi de suite. Cela dépend de la nature du radical qui aura été détruit dans fx, et qui doit être remplacé par le degré de l’équation d’oà dépend la valeur de y' y mais nous n’entrerons dans aucun détail sur ce point , pour ne pas trop nous écarter de notre objet.

37. Supposons en second lieu que la même valeur de x , qui fait disparaître un radical dans j x , le fasse disparaître aussi dans f'x , sans le faire disparaître néanmoins dans f u x , alors les valeurs correspondantes d efx et de f'x seront en même nombre ; mais celles de f"x seront en nombre plus grand. Si donc on détruit ce radical dans l’équation y = fx , la valeur de y"

qu’on en déduira , se trouvera = , et il faudra passer aux équations

dérivées d’un ordre supérieur pour avoir la valeur de y".

Soit y = ( jc — a) z y (x — b), on aura y' = 2 (x — a) y (a — b) +

>VU— M ’ ' T V " '' 1 VU b) 4(x — *)' *

faisant x — a, onay = o,y' = o ety"=2 V(* — b) = z V (a — b). Mais si on réduit l’équation proposée à cette forme rationnelle y* =(x — af ( x — b), on en tirera l’équation prime 2yy' = 4 (x — a) 3 ( x — b) -f-

( x — a y, laquelle donne , lorsque x = fl , y ' — , % cause de y = o ,

à moins qu’en substituant la valeur de y, on ne divise le tout par (x — a)*, et qu’ensuite on ne fasse x = a , ce qui donnera y' = o.

Passant à l’équation seconde, on aura y ' 2 y y" =.6 (x — a ) 2 (x — b) -f- 4 (x — a) 3 ; faisant x = a, on aura y' = o , comme ci-dessus. Mais pour avoir la valeur de y", il faudra avoir recours à l’équation tierce et même à l’équation quarte. Celle-là sera 3 y' y" + y y"' = 18 (x — a ) 2 4- iz(x — a) (x — b), où tous les termes disparaissent lorsque x — a. La suivante fera 3 y " 2 + 4y'y w + y y” = 48 (x — a) 4 ~ 12 {x — b). Faisant x==a, et par conséquent y = o, et y' = 0, on aura 3y' /1 = 12 (* — b), y"= 2 V ( x — b) — xy/ (a — b ), comme plus haut.

38. Nous ne pousserons pas cette analyse plus loin , qui d’ailleurs n’a plus de difficulté d’après les principes établis. Nous nous contenterons de

remarquer que si on construit la courbe dont x serait l’abscisse et y =/x l’ordonnée , cette courbe aura ce qu’on appelle un point multiple dans l’endroit correspondant à la valeur donnée de x, qui fera disparaître un radical dans fx , sans le faire disparaître en même temps dans fx; qu’elle aura un point d’attouchement , si la même valeur de x fait disparaître à la fois le radical dans fx et dans fx; que ce sera un point d’osculation, si le radical disparaît en même temps dans f'x , et ainsi de suite. On en verra la raison , lorsque nous appliquerons la théorie des fonctions à celle des courbes,

39. A l’occasion de la difficulté que nous venons de résoudre, nous allons donner la théorie de la méthode pour trouver la valeur d'une fraction , dans le cas où le numérateur et le dénominateur deviennent zéro à la fois.

Soit - f* - «ne pareille fraction, fx et Fx étant des fonctions de x,

telles que la supposition de x = a les rende toutes les deux nulles à la fois , et qu’on demande la valeur de cette fraction lorsque x = a.

On fora y ===-—-, et par conséquent y Fx==/x. En supposant x= a,

cette équation se vérifie d’elle-même , indépendamment de la valeur de y qui demeure par cônséquent indéterminée ; ainsi elle ne peut servir dans cer état à la détermination dey,lorsque x= a. Mais, en prenant l’équation prime, on aura y' Fx + y F' x=f x ; la supposition de x=a fait disparaître le

terme y' Fx; et le reste de l’équation donne y = -p— ■ S’il arrivait que les

fonctions primes f'x, F'x devinssent aussi nulles par la même supposition , alors on trouverait par le même principe , en substituant dans l’équation ci-dessus f'x, F'x, pour fx, Fx, cette nouvelle expression de y,

y = -jt, * - , et ainsi de suite. On pourrait aussi la déduire directement

de la même équation prime, en considérant que, comme elle se vérifie de nouveau d’elle-même , elle ne peut pas servir non plus à la détermination de y ; que par conséquent il sera nécessaire de passer à l’équation seconde , laquelle sera f F x -f- xy'F'x -f- y F u x=f li x. Comme la supposition

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 37 de x = o rend nulles les fonctions Fx et Px, les termes qui contiennent y 1

ftt

et y" s’en iront d’eux-mêmes , et les termes restans donneront y = ™ comme plus haut.

Il n’est pas à craindre que les fonctions fx ,fx,f'x, &c. Fx, Fx, F'x , &c. à l’infini , puissent devenir nulles en même temps par la supposition de x = a , comme quelques géomètres paraissent le supposer ; car ,

puisque /( x i ) = fx -f- if x H — f" x &c. en faisant x = a on

aurait/(a -f- i ) = o , quel que soit i , ce qui est impossible ; il en serait de même de F(x +i). Mais il peut arriver que ces fonctions deviennent infinies par la même supposition de x = a , ce qui rendra également les

fractions [ x - , , &c. indéterminées : mais la solution de cette

difficulté dépend de l’examen du second cas du n.° 34 , dont nous allons nous occuper.

40. Ce cas a lieu lorsque la supposition de x = a fait disparaître dans fx un radical en le rendant nul , auquel cas elle le fera disparaître de même dans les fonctions dérivées; mais ce radical restant dans la fonction/^ x -J- i ) , il doit rester aussi dans le développement de cette fonction ; par conséquent ne pouvant affecter la valeur de x , il faudra qu’il affecte l’t ; d’où i! lait que ce développement doit contenir nécessairement des puissances irrationnelles de i. Il est clair, en effet , que si fx contient la quantité y X, X étant une fonction de x, qui devient nulle lorsque x=a , en mettant* -fi

à la place de * , X deviendra X-\-il f' -J- ~-X" -J- &c. et faisant * =r a ,

on aura simplement i X 1 + -f— X" -f- &c. pour la valeur de X; de sorte

que y/ X deviendra y i ( X' -f ~ — X" -j- &c. ) ; donc la fonction

f ( * + i ) contiendra ,>dans le cas de x = a , le radical y i , qui devra par conséquent se trouver dans son développement suivant les puissances de i. Voyons donc ce que adonnera alors le développement

fautif fx -j- if x 4- -X — fx + &c.

4 1 . Pour cela , j’observe que les fonctions /' ( * + i ) ,/" ( * -}- i ) , &c. sont également les fonctions primes , secondes , &c. delà fonction /(* -)-/), soit qu’on les prenne relativement à x , soit qu’on les prenne relativement à i , ce qui est évident , puisque en augmentant soit x , soit i d’une même quantité quelconque , on a le mente accroissement de la quantité x -f- i. D’où il suit que l’on aura également les valeurs d e /'*,/"* , &c. quel que soit * , en prenant les fonctions primes , secondes , &c. de/ ( x + i ) relativement à i , et faisant ensuite i = o.

Or , si on suppose que le développement de /( * + i) doive contenir, lorsque x = a , un terme affecté de i m , tel que Ai m , A étant une fonction de a , et m n’étant pas un nombre entier positif, en prenant les fonctions primes, secondes , &c. relativement à i , il faudra que les développemens de P ( * + i ) , f" ( x + i ) , &c. contiennent les termes m Ai n ~ 1 , m ( m — i ) A i m ~ 1 , &c. ( n° 1 8 ). Donc , faisant i = o , on en conclura que les fonctions/* ,/'* ,f"x , &c. lorsque* = a , contiendront respectivement les termes A o m , m Ao w ~ ' , m(m — i ) A o m ~ 1 , & c.

Si m est un nombre quelconque négatif, il est clair .que tous ces termes seront infinis.

Si m est un nombre positif non entier , soit rt le nombre entier immédiatement plus grand que m , il est visible que le terme m(m — i )

( m • — n-\-i) A o m ~ n sera infini ainsi que tous les termes suivans , et que tous les précédens seront nuis.

Donc en général la fonction /"* et toutes les suivantes fx n +, ,/t” + 3 , &c. à l’infini ( n , n + i , &c. étant des indices , seront infinies ) , n étant le nombre entier positif immédiatement plus grand que l’exposant m.

41. On conclura de-là que le développement /* + !/'* + — *■ —

f"x + &c. ne peut devenir fautif pour une valeur donnée de * , qu’autant qu’une des fonctions /*,/'*,/"*, &c. deviendra infinie , ainsi que toutes les suivantes pour cette valeur de *. Alors si n est l’indice de la première fonction qui devient infinie , le développement dont il s’agit àevra contenir un terme de la forme m étant un nombre compris entre n — 1 et n.

jEt si toutes les fonctions /* ,f x ,f"x , &c. devenaient infinies pour la

DE« FONCTIONS ANALYTIQUES. 39 meme valeur de x , le développement de f(x + t) contiendrait dans ce cas des puissances négatives de i.

Pour trouver alors la vraie forme du développement suivant les puissances ascendantes de i , il faudra faire d’abord dans la fonction f(x -f- i ) , x égal à la valeur donnée , et développer ensuite suivant les puissances croissantes de i par les règles connues , en ayant égard aux puissances fractionnaires ou négatives de i qui se trouveraient dans la fonction même.

Au reste , nous remarquerons qu’en faisant y = fx, et prenant x et y pour les coordonnées d’une courbe , cette courbe aura dans le point où l’une des fonctions y , y', y" , &c. devient infinie, ainsi que toutes les suivantes , un rebroussement dont l’espèce dépendra de l’indice n , pourvu que l’exposant fractionnaire m ait pour dénominateur un nombre pair ; et l’on déterminera la nature du rebroussement par la forme du développement de f(x-\-i) dans ce cas.

43. Dans l’exemple du n.° 36 , où y =. (x — a)^(x — b), on voit que la supposition de x = b détruit le radical dans y, et doit par conséquent le détruire aussi dans les fonctions dérivées y' , y" , Szc. Donc

le développement fx + if'x -( f"x -J- &c. , de /( x -j- i ) , en

supposant y =fx= ( x — a ) yj(x — b), sera fautif dans le cas de x=b.

En effet, on aura dans cecasy = o,y'=V(.v — b)-\- - J y ~ = CC,

x étant = b , et on trouvera de même y" = 00 , y'" = CO , &c. Donc le développement dont il s’agit devra contenir alors un terme de la forme i m » m étant entre o et 1.

Soit , en effet , x = b -f- i ,fx deviendra ( b — a -f- i ) yf i , de serre que le vrai développement de cette fonction sera ( b — a J V / -f- i 1 ’.

44. C’est aussi de la même manière qu’on résoudra la difficulté proposée à la fin du n.° 39 , sur les fractions qui demeureraient toujours indéterminées , en prenant à l’infini les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur. Nous y avons vu que cela ne saurait arriver que dans le cas où la même valeur de x rendrait ces fonctions successives

4 o THÉORIE

infinies. Il faudra donc alors supposer x = a -f- * ( cl étant la valeur de x qui rend ces fonctions infinies ) , dans l’expression générale de la fraction , réduire ensuite cette expression en série , suivant les puissances ascendantes de i , et le premier terme de la série , en faisant i = o , donnera la valeur cherchée de la fraction pour le cas de x = a.

Ainsi , si l’on avait la fraction - V * ^ ^ , qui devient —

lorsque x = a , et dont les fonctions primes , secondes , &c. du numérateur et du dénominateur deviennent toutes infinies par la même valeur de x , en y mettant a + i au lieu de x , et réduisant le numérateur et le dénominateur en série , elle deviendra

z y la

de sorte qu’en faisant i = o , on aura fraction , lorsque x = a.

En effet , si , suivant la méthode du n.“ 39 , on prend les fonctions primes du numérateur et du dénominateur , on aura

pour la valeur cherchée de la

et

quantités qui deviennent infinies , lorsque x = a ; mais en les multipliant f une et l’autre par 1 V ( x — a), la nouvelle fraction sera

laquelle , en faisant x = a , devient •

y la

-, comme plus haut.

Nous avons donc résolu les difficultés qui peuvent se rencontrer dans le développement de /(x -j- i ) ,* et quoique nous n’ayons considéré que des fonctions algébriques , il n’est pas difficile d’étendre nos solutions aux fonctions transcendantes. Comme ces difficultés n’ont lieu que pour des Valeurs particulières de x t il est clair qu’elles n’influent en rien sur la

théorie

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 4 * théorie des fonctions dérivées f'x ,f"x, &cc. ; mais il était nécessaire de les examiner , et de donner les moyens de les lever , pour ne laisser » aucun nuage sur cette théorie.

4.5. Non-seulement on peut par cette théorie trouver directement tous les fermes du développement de la fonction f( x + i ) , suivant les puissances de i ; mais on peut aussi en général développer une fonction quelconque , suivant les puissances ascendantes d’une des variables contenues dans la fonction.

En effet , si on reprend la formule /( x + i ) =fx -f- if'x H —

f'x -f- f ■ f m x + &c. , puisque x et i sont deux quantités indéterminées , on y peut substituer x — i à la place de x , ce qui donnera

fx—f(x — i) + */'(* — *) “I 7 —f"(* — *) + &c.

De plus , on pourra mettre ici x ç à la place de i, et l’on aura

où { est une quantité arbitraire quelconque.

Ici ,fx représente , comme l’on voit , une fonction quelconque de je , etf'(x — — *{)> &c. représentent les fonctions primes,

secondes , &c. de fx , en y substituant * ( 1 — { ) à la place de x. Mais , quoique fx ne représente qu’une fonction de x relativement à scs fonctions dérivées , il est clair qu’elle peut représenter en général une fonction quelconque de x et d’autres quantités quelconques , pourvu que ces quantités y soient regardées comme constantes dans la formation des fonctions dérivées f'x , f" x , &c.

Si dans la formule précédente on fait ^ = o , l’équation devient identique fx=fx , et si on y fait {.= 1 , la quantité x = x^ s’évanouit ; de sorte que si on dénote simplement par f. f. f". &c. les valeurs des fonctions fx , f'x , f'x , &c. , lorsque x= o , on aura

fx —f + xf. + —~f". + &c.

Ainsi, lorsque fx sera une fonction donnée de plusieurs variables x ,

y , &c. , il n’y aura qu’à chercher par les règles générales les fonctions dérivées par rapport à x seul , et y faire ensuite x = o , on aura tous les termes du développement de la fonction suivant les puissances ascendantes de x ; et il est clair que les valeurs des quantités f .f" . Scc. , seront des fonctions de y , &c. sans x , toutes, dérivées de la fonction primitive » suivant une loi dépendant de la manière dont la quantité x entrera dans cette fonction.

46. On aurait pu résoudre le problème précédent d’une manière plus simple , en supposant tout de suite fx = A + Bx + Cx 1 -f- Dx ’ -f- & c. A , B , C , &c. étant des quantités indépendantes de x. Pour les déterminer , on considérera que cette équarion devant être identique , doit avoir lieu pour toutes les valeurs de x. Donc , i.° , en faisant x = o , on aura f. = A ; i.° en prenant les fonctions primes de tous ses termes ( n * 33 ) , on aura encore l’équation identique fx = B -q- z Cx -J- 3 Dx 1 -{- Scc.

où, faisant de nouveau x = o , on aura f . = B . ; 3.°en prenant denouveau les fonctions primes , on aura

fx = 1C + 1 . 3 Dx + 3.4 Ex * + Scc., où„ faisant derechef x = o , ou aura,/". = zC. Continuant de la même, manière , on trouvera

d’où l’on tire

A =/. B =f .,C — --f , D = f"., Scc . ,

ce qui donnera., par la substitution , la même série pour fx que ci-dessus. Mais cette méthode est moins directe que la précédente , et elle suppose déjà la théorie des fonctions dérivées ; elle est d’ailleurs moins rigoureuse , en ce qu’elle suppose que la somme de tous les termes affectés de x devient nulle , lorsque x = o. , quoique les coèffkiens de ces termes augmentent à l’infini dans les équations dérivées ; mais le grand avantage de la méthode précédente consiste en ce qu’elle donne le moyen d’arrêter le développement de la série à tel terme que l’on voudra , et de juger 4e; la valeur du reste de la série. j

Ce problème > l’un des plus importans de la théorie des séries, n*a pas encore été résolu d’une manière générale. On pourrait , à la vérité , la résoudre pour chaque fonction en particulier , par les méthodes exposées au commencement (n.* n); mais il serait impossible de parvenir par cette voie à une solution générale pour une fonction quelconque.

47. Reprenons donc la formule générale trouvée ci-dessus (n.*45),

et supposons qu’on veuille s’arrêter au premier terme^X* — x ç ). Comme tous les termes suivans sont multipliés par x , nous supposerons fx—f(x — xç)-f*P,

P étant regardé comme une fonction de ^ , qui devra être nulle lorsque 7 = o , puisque alors f (x — *3 ) devient fx.

Comme cette équation doit avoir lieu , quelle que soit la valeur de ^ , qui est arbitraire, son équation prime, relativement à aura donc lieu aussi ( n.° 33 ). On prendra donc les fonctions primes relativement à cette variable , et il est facile de voir que la fonction prime du terme f(x — x j) sera — */'(* — ■*■{)• Car on a vu (n.° 31 ) que si y=f.p, p étant* une fonction de x , on a y' = p'f p ; ainsi , prenant ^ à la place de x , et faisan tp=x — on aura p '= — xet j / = — xfp= — xf'(x — x ç.)

Ainsi , à cause que fx ne renferme point ç , l’équation prime relativement à 1 , sera

o = — */>(* — x { ) + xP',

P 1 étant la fonction prime de P relativement à f ; d’où l’on tire

On aura donc la valeur de P, en cherchant une fonction de £ dont la fonction prime soit égale à /' (x — x { ) , et qui de plus soit telle , qu’elle devienne nulle lorsque f== o. Cette valeur de P ainsi trouvée* si on y fait ^ = 1 , on aura

Supposons , en - second lieu ,

Q étant une fonction de { , qui devra être nulle % comme l’on voit , lorsque ç = o.

En prenant , comme ci-dessus , les fonctions primes relativement à { , on aura cette équation prime

o = — xf(x — *{) + */ ( * — *{) — x 1 ^ f" ( x — xi ) + x z Q' y où les fonctions désignées par f , f 11 sont les fonctions primes et secondes àefx relativement à x , et dans lesquelles on a mis ensuite x — x^ pour x. On tire de-là , en effaçant ce qui se détruit ,

de sorte qu’on aura la valeur de Q en cherchant une fonction de ^ , dont la fonction prime ait la valeur qu’on vient de trouver pour Q 1 , et qui ait la condition de devenir nulle lorsque \ = o. Si ensuite on fait { = i , on aura

fx=f +xf. + X’Q.

Soit , en troisième lieu ,

R étant une fonction de f , qui s’évanouisse lorsque f = o. On trouvera * en prenant les fonctions primes relativement à ç , et effaçant les termes qui se détruisent mutuellement ,

la fonction représentée par/ 7 " étant la fonction tierce de fx relativement à x , transformée par la substitution de si — x ^ à la place de x.

Il faudra donc , pour avoir la valeur de R , trouver une fonction prb mitive de f , dont la fonction prime soit la valeur précédente de R' , et qui soit telle , qu’elle s’évanouisse lorsque { o. Cette fonction étant trouvée , on aura , en faisant ^ = i ,

fx =f + xf. + -£-/». + X 3 R,

et ainsi de suite.

En continuant ainsi , on aura la formule du n.” 45 ,

fx=f+xf+ 4 f" + -~Y f 1 " + &c.

Mais l’analyse précédente a l’avantage de donner la manière d’avoir les

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 4Ï restes xP, x'Q, x'R, &c. de la série, lorsqu’on veut l’interrompre à son premier , $pcond , troisième , &c. terme.

48. Voilà le problème résolu analytiquement ; mais comme les quantités P , Q , R , &c. ne sont connues que par leurs fonctions primes , il reste encore à remonter de ces fonctions aux fonctions primitives ; ce qui peut être souvent fort difficile , et même impossible. Cependant on peut trouver des limites de ces quantités , ce-qui suffira pour apprécier l’erreur qu’on peut commettre en s’en tenant à quelques-uns des premiers termes de la série.

Pour cela , nous allons établir ce lemme général.

Si une fonction prime de ç , telle que fç est toujours positive pour toutes les valeurs de f , depuis { =slb jusqu’à { = b , b étant > a , la différence des fonctions primitives qui répondent à ces deux valeurs de savoir , f b — fa, sera nécessairement une quantité positive.

Considérons la fonction /({-+- 1 ) > dont développement est f •»

if \ ri l — f 1 ri- &c. , nous avons vu qu’on peut toujours prendre la

quantité i assez petite pour qu’un terme quelconque de cette série devienne plus grand que la somme de tous ceux qui le suivent ( n° 14 ). Ainsi le terme if 7 pourra devenir plus grand que le reste de la série ; par conséquent si f { est une quantité positive , on pourra prendre i positif et

assez petit pour que toute la série if { -{ — T~f'{ + ait nécessairement une valeur positive ; mais cette série est =f ({ i ) — j\ ; donc, si ff est une quantité positive, on pourra prendre pour i une quantité positive et assez petite pour que la quantité/ ({ ri- t ) — /{ soit nécessairement positive.

Mettons successivement à la place de ^ les quantités a 3 a i t a + xi ,

a 3 i , &c . , a -jr ni , il en résultera que l’on peut prendre i positif et assez petit pour que toutes les quantités f (a i) — f a , f{a -f- xi)

— f(a + -f 3/) — /(fl + it), jusqu’à f[a + (n + i)i]

— f(a ri -ni), soient nécessairement positives, si les quantités J' a, f {a -j - i) , f (a -|- xi), &c. jusqu’à f ( a -f- n i ) le sont. Donc aussi ,

dans ce cas , la somme des premières quantités , c’est-à-dire , la quantité /[fl + (« -j- t) t] — fa, sera positive.

Faisons maintenant a - 1- (n + i ) t = b , on aura i = , et l’on

en conclura que la quantité fb — fa sera nécessairement positive, si

toutes les quantités f a , f ( a -J- ^ ) , f (a -{- — y 7 ( a +

) » &c., jusqu’à /' (fl + — )» sont positives, en

prenant n aussi grand qu’on voudra.

Donc, à plus forte raison , la quantité fb — fa sera positive, si ff est toujours une quantité positive , en donnant à { toutes les valeurs possibles depuis { = a, jusqu’à £==/>, puiS^ue parmi ces valeurs se trouveront

nécessairement les valeurs a , a - 1 b ~~ a - , a -f- - 1 ^ ~ ^ — , &c.

n -f- x nfi

a 4 ” > en prenant n aussi grand qu’on voudra.

49. A l’aide de ce lemme , on peut trouver des limites en plus et en moins de toute fonction primitive dont on connaît la fonction prime.

Soit la fonction primitive dont la fonction prime F' ^ soit exprimée par fZ , Z étant une fonction donnée de ç. Soit M la plus grande, et N la plus petite valeur de Z pour toutes les valeurs de ^ comprises entre les quantités a et b, en regardant comme plus grandes les négatives moindres , et comme moindres les négatives plus grandes , ce qui est conforme à la marche du calcul , puisque , par exemple , — 1 > — 2 , — 5 > — 7 , et de même — 2 < — 1 , et ainsi des autres. Donc les quantités M — Z et Z — N seront toujours positives depuis f = a jusqu’à 1 = b , et il en sera de même des quantités f ( M — Z ) et i m ( Z • — N ).

Donc , i. 9 , si on fait // = /•( M — Z), on aura par le lemme précédent fb — fa > o ; or , f Z étant Ff, sa fonction primitive sera F^, et comme M est une quantité constante, la fonction primitive de Ai ?" 1