AT
j t F^ ,• et faisant successivement ^ = a et ç = b , l’équation fb — fa > o donnera
Fa > o ;
A/A m + ‘ ^ Ma
d’où l’on tire
Fb < Fa -j-
i.* Si on fait ,f'j = j m (Z — N ) , on aura aussi fb — /a > o , et l’on
trouvera , comme ci-dessus ,fj = Fj ; donc faisant successi-
vement j = a et = b , l’équation fb — fa > o , donnera Fb —
Nt>"
Fa -f-
A'a mT1 m -(- I
> o ,• d’où l’on tire
Fb > Fa -Jr
JH -j- i
50. Appliquons ces résultats aux quantités P, Q, R , &c. du n.° 47; Comme ces quantités sont regardées comme des fonctions de j , noussupposerons d’abord P= F^,etparconséquent P' = Fj =f (x — rç); donc , puisqu’on a supposé F'j = ÇZ , prenant m = o , on aura Z =f { x — xj ). Supposons maintenant a = o , et b = 1 , la condition de la fonction P , qui doit être nulle lorsque ^ = o donnera Fa = o , et alors F b sera la valeur de P , répondant à j= i-
Donc, si Met iYsont la plus grande et la plus petite valeur de/* ( x — xj ) , relativement à toutes les valeurs de { depuis j = o jusqu’à j = 1 , on aura F b < Me t > N. Par conséquent M et N seront les deux limites de la quantité P , en y faisant {= i- *
Supposons, en second lieu, Q=±= Fj ,on aura Q , = F'j=jf r (x — xj);. donc , faisant m = 1 , on aura Z =f" ( x — xj). Soit pareillement a = 0 et b = 1 , on aura aussi par la condition de la fonction Q , qui doit être nulle lorsque j est nul , Fa = o et alors Fb sera égale à la valeur de Q r répondant à { = 1,.
Donc , si M i et N i sont la plus grande et la plus petite valeur de f" ( x — x {) pour toutes les valeurs de { depuis f = o jusqu’à j = i,
P f f JV I T> I N I |
on aura t b < et > . De sorte que et seront les
limites de la valeur de Q , lorsque { y est = i.
Supposons , en troisième Heu , R = Fç , on aura R 1 = F 1 ç = ■ ^ -
f" ( x — x ^ ) ; donc , faisant m = 1 , a = o , 5 = i , on trouvera de la même manière que si Mx et Nx sont la plus grande et la plus
petite valeur de — ( x — x ^ ) , en donnant à ^ toutes les valeurs depuis
zéro jusqu’à l’unité , on aura et pour les limites de la valeur
de la quantité R , lorsqu’on y fait { = i.
Et ainsi de suite.
51. Maintenant il est clair qu’en donnant à dans une fonction
de x ( x — { ) , toutes les valeurs depuis ç = o jusqu’à { = 1 , les valeurs que recevra cette fonction seront les mêmes que celles que recevrait une pareille fonction de u, en donnant successivement à u toutes les valeurs depuis u = o jusqu’à u = x ; car faisant x ( 1 — ç ) = u , ç = o donne u = x, {= 1 donne // = o , et les valeurs intermédiaires de £ donneront des valeurs de u intermédiaires entre celles-ci. D’où il est aisé de conclure que les quantités M et N seront la plus grande et la plus petite valeur def'u, relativement à toutes les valeurs de //depuis u = o jusqu’à t/=x,-etque par conséquent toute valeur intermédiaire entre M et iVpourra être exprimée par f u, en donnant à u une valeur intermédiaire entre o et x. Donc la valeur de la quantité P relative à ^ = 1 pourra être exprimée par f'u , « étant une quantité entre o et x. On en conclura de même que
la valeur de Q répondant à ç = 1 , pourra être exprimée par — f'u , en donnant à u une valeur intermédiaire entre o et*;
Et pareillement que la valeur de R relative à ^ = 1 pourra être exprimée par -- -- - - f" u , en prenant pour u une quantité entre o et x.
Et ainsi de suite.
41. D’où résulte enfin ce théorème nouveau et remarquable par sa simplicité et sa généralité , qu’en désignant par u une quantité inconnue, mais renfermée entre les limites o et x , on peut développer successivement toute fonction de x et d’autres quantités quelconques suivant les puissances de x , de cette manière
fx—f.+xf'u, *
=f.+xf. + -f
=/• + */'• + "T"/" ■ + f"' Ut
les quantités /. ,f . ,f . , &c. , étant les valeurs de la fonction fx et de ses dérivées f'x , fx , &c. , lorsqu’on y fait x = o.
53. Ainsi , pour le développement de/( ^ + x ) suivant les puissances de x , on aura f. =/{ , f • = ,f- =fl > &c. où l’on remarquera
que les quantités f'i , fi , &c. sont également les fonctions primes , secondes , &c. de f , ce qui est évident , car il est visible que /*(?+*)> &c. sont également les fonctions primes , secondes , &c. de f ( x) , soit qu’on les prenne relativement à x ou relativement à ç ,
puisque l’augmentation de j + x est la même en changeant x en x -f- t ou f en ç + è.
Prenant donc f '1 , fl , &c. pour les fonctions dérivées àcf , on aura
=f{ + x f'l + J T~fU + “). -
=fl + xf'i + ~-fl + - f ( l + u ) , i-
où u désigne une quantité indéterminée , mais renfermée entre les limites o et x.
En changeant ç en x et x en i , en aura le développement de/( x -}- i ) suivant les puissances de i ; et l’on voit que dans ce développement la série infinie, à commencer d’un terme quelconque, est toujours égale à la valeur de ce premier terme , en y mettant x + j à la place de x\, j étant une
î« THÉORIE
quantité entre o et i ,* que par conséquent la plus grande et la plus petite valeur de ce terme , relativement à toutes les valeurs de j depuis o jusqu’à i, seront les limites de la valeur du reste de la série continuée à l’infini.
Si on fait = { ra , on aura le développement du binôme ( { + x) m y et on en conclura que la somme de tous les termes , à commencer
d’un termê quelconque : O.- • — y — — ' ^ m ~ nJr 1 \ ç n ~ a x" r
sera renfermée entre ces limites — ^ m ~~~ 1 ^ ^ t m ~ * x" et
m ( m O y ( m .ZZ. Urb .- 1 L -j- x) m ~ * A' m ;car il est évident que la plus-
grande et la plus petite valeur de ( £ 4" u ) m " n seront ( f+ x )“"* et f
La perfecion des méthodes d’approximation dans lesquelles on emploie les séries , dépend non seulement de la convergence des séries , mais encore de ce qu’on puisse estimer l’erreur qui résulte des termes qu’on néglige r et à cet égard on peut dire que presque toutes les méthodes d’approximation dont on fait usage dans la solution des problèmes géométriques et mécaniques , sont encore très-imparfaites. Le théorème précédent pourra servir dans beaucoup d’occasions à donner à ces méthodes la perfection qui leur manque , et sans laquelle il est souvent dangereux de les employer.
54. Jusqu’à présent nous n’avons considéré les fonctions dérivées ,, que comme pouvant servir à la formation des séries ; mais ces fonctions v considérées en elles- mêmes , offrent un nouveau système d’opérationsalgébriques , et fournissent des transformations qui sont d’un usage immense dans toute l’analyse.
Nous avons déjà vu ( n. a 33 ) , que si on a une équation quelconque en x et y , ou simplement en x , laquelle doive avoir lieu , quelle que soie h valeur de * , les équations dérivées qu’on obtiendra , en prenant le* fonctions dérivées de chaque terme de la proposée , auront lieu aussi» Chacune de ces équations , et même une combinaison quelconque de ces équations , pourra donc tenir lieu de l’équation primitive ; et oa obtiendra souvent par ce moyen des équations subsidiaires , plus simples ou plus faciles à résoudre que les équations principales»
Nous avons nommé équations primes , secondes , &c. , les équations dérivées qu’on obtient en prenant les fonctions primes , secondes , &c. de tous les termes de l’équation primitive donnée ; mais nous nommerons en général équations dérivées du premier ordre , du second ordre , &c. , les équations qu’on pourra former par une combinaison quelconque de l’équation primitive et de son équation prime , ou de celle-ci et de l’équation seconde*, et ainsi de suite. *
Ainsi l’équation primitive contenant x et y , l’équation dérivée du premier ordre contiendra x , y et y', l’équation dérivée du second contiendra x, y, y' et y " ; et ainsi du reste.
55. Nous allons’ montrer par quelques exemples l’usage des équations dérivées pour la transformation des fonctions. Et d’abord nous remarquerons que par la combinaison d’une fonction avec sa fonction prime, on peut faire 'disparaître un exposant quelconque. En effet, soit l’équation y = X m , X étant une fonction quelconque de xj en prenant les fonctions primes on aura (n.* qz ) y 1 = m X m ~ ’ X 1 ; donc , divisant cette équation par la précédente , on aura U- = —yjh , savoir Xy 1 — mX'y^= o,
équation dérivée du premier ordre où la puissance X m ne se trouve plus^, et*qui dans cet état est bien plus commode pour développer la valeur y en série, par la méthode usitée des coèfficiens fhdéterminés.
En effet , si l’on a ,' par exemple ,
X = a + b x -J- ex 1 -+• dx* + &c. ,
et qu’on suppose
y = A + Bx -{- Cx 2 -f- Dx s -1- &c. , •
on aura , en prenant les fonctions primes ,
X I = b -|-i cx-f-3 dx* -f- &c. , y' =B z C x 3 Dx 1 + &c. ;
donc , substituant et réunissant les termes affectés de la même puissance de x, on aura
a B — mb A ri - [iû C ri - bB — m(icAl-\- bB)~\x
+ [iaD -J- xbc ■+* cS ■ ri- &c. = o ,
m^dA ri- icB -f* bC)]x a
i% THÉORIE
équation qui devant être identique, c’est-à-dire , avoir lieu quel que soit x , pour que l’expression supposée de y soit vraie , donnera autant d’équations particulières qu’il y a de différentes puissances de x , et on tirera de ce» équations
mbA
On aura ainsi successivement tou% les coèfficiens B ,.C , D , &c. par des formules dont la loi est visible , et qu!on pourra par conséquent continuer aussi loin qu’on voudra.
Mais le premier coèfficlent A demeure indéterminé ; il faut , pour le déterminer, recourir à l’équation primitive y = X" ; faisant x = o , on a , d’un côté , X = a , et , de l’autre , y = A ; donc A = a m .
5 6. On peut dé meme , par les fonctions dérivées , faire disparaître les logarithmes , les exponentielles , et les sinus et co-sinus.
En effet , si y = / . X, on aura l’équation du premier ordre y'X — X 1 = o ; si y = r* , on aura celle-ci , y' — X' y = o ; mais pour faire disparaître les sinus ou co-sinus , il faudra aller à une équation du second ordre.
Soit donc y = sin. X, X étant toujours une fonction quelconque de x en prenant les fonctions primes, on aura (n.° jz) y 1 = X' cos. X , et, prenant de nouveau les fonctions primes , y 11 = X" cos. X — X n sin. X ; donc , éliminant de ces trois équations sin. X et cos. X , on aura cette équation dérivée du second ordre ,
où il n’y a plus de transcendantes ; on trouvera la même*équation en faisant y = cos. x.
Si donc on fait ici pour X et y les mêmes substitutions que ci-dessus ( /i. 0 5 5 ) , et qu’après avoir ordonné les termes suivant les puissance^
J 3 ES FONCTIONS ANALYTIQUES. y> de x y on égale à zéro la somme de tous c«ux qui se trouveront multipliés par la même puissance de x , on aura autant d’équations particulières qui serviront à déterminer les coèfficiens indéterminés de l’expression supposée de y par les deux qui précèdent. A l’égard des deux premiers , ils demeureront indéterminés ; mais il faudra les déterminer de manière que l’équation primitive et l’équation prime aient lieu en faisant x = o. Or, l’équation y = sin. X devient alors A = sin. a, et l’équation y' = X' cos. X devient B = b cos. a.
57. Non-seulement l’équation dérivée du second ordre que nous venoncde trouver, peut servir à développer en série la valeur de sin. X ou cos. X ; elle peut servir aussi à trouver une autre transformation de cette valeur , au moyen des exponentielles.
Supposons , en effet , y = <? r , e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est -l’unité (rt. Q zo) , et V une fonction indéterminée de x, en prenant les fonctions primes et secondes on aura y 1 = V t y , y n = ( V 11 -J- V" e r )., et ces valeurs étant substituées dans l’équation dont il s’agit , on aura, après la division par la quantité e r qui en multiplie tous les termes,
J’observe qu’on peut satisfaire à cette équation en faisant V = m X 1 , m étant un coefficient constant , ce qui donne V tl = m X car substituant ces valeurs , l’équation se réduit à ( 1 -f- m 1 ) X 13 = o ; donc 1 + ni 1 = o et m = V — 1 ••
Ainsi on aura V 1 = X 1 V — 1 ; et de-là , en remontant à l’équation primitive, V = X V — 1 + a, a étant une constante arbitraire; donc e r = c a * x ' ~ 1 = x e x K = Ae’* / ~ t , en faisant e“ = A pour plus de simplicité.
On aura donc y = Ae x * " et comme le radical V — 1 peut être priségalement en plus et en moins, on aura également y = Be ~ x f '~*,B étant une autre constante arbitraire ; en effet, il est aisé de voir que chacune de ces deux valeurs satisfait à l’équation X 1 y " — X n y‘ + X 13 = o ; et om \u)it aussi facilement que leur somme y satisfait encore, parce que les
quantités y , y' , y" n’y sont que sous la forme linéaire. De sorte qu’oa aura en général
yz=At x "' + Be-*'-' ,
A et B étant de nouveau deux coèfficiens indéterminés comme ci-dessus.
Voilà donc l’expression de sin. x transformée en une expression exponentielle au moyen de l’équation dérivée du second ordre. Mais pour que ces deux expressions soient absolument identiques , il faut encore déterminer convenablement les constantes A et B , ce qui se fera par la comparaison des valeurs dey et de y' pour une valeur quelconque de X. Ainsi , puisque sin. X doit devenir nul lorsque X = o par la nature des sinus , il faudra que l’on ait A^\- B = o ; de plus , y' étant = X'cos. X, et l’expression précédente de y donnant y' = X 1 V — i ( Ae x/ ~ 1 — Be~ xÿ ~ 1 ') > on aura cos. X = y — i (Ae xt '~ l — faisant X =’o , on sait que cos. X= i ; donc V — i{A — B) — i. Ces deux équations donnent
donc , enfin ,
et B ■
sin. X = —
iy — i •
cos.
expressions connues , et que nous avions déjà trouvées par
i^e autre voie
5 8 . Dans les exemples précédées , nous avons cherché l’équation dérivée , et nous avons ensuite déterminé par cette équation la valeur de la fonction primitive y. Cette dernière opération est , comme l’on voit , l’inverse de celle par laquelle on descend de' la fonction primitive aux fonctions dérivées ; elle peut toujours s’exécuter par le moyen des séries , en employant , comme nous l’avons fait , une série avec des coèfficiens indéterminés., et faisant des équations séparées des termes affectés de chaque puissance de x. De cette manière , on détermine les coèfficiens les uns par les autres , et on a souvent l’avantage d’appercevoir la loi générale qui règne entre ces coèfficiens.
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. y? *
Mais on peut aussi trouver immédiatement chaque coefficient par la méthode des n. 0 ’ 45 et suiv. ; car il n’y a qu’à chercher successivement le 3 valeurs des fonctions dérivées , et si on désigne par ( y) , (y') , ( y ") , 5 c c. les valeurs de y , y , y" , &c. lorsque * — o , on a en général
Cette formule a l’avantage de foire voir la raison pourquoi il reste des coèfficiens indéterminés , comme nous l’avons trouvé ci-dessus. En effet , si on veut déterminer la valeur de y par une équation dérivée du premier ordre , cette équation donnera la valeur de y' en x et y , et de-Ià on trouvera une équation du second ordre en y" , y 1 , y , x , une équation du troisième en y"', y", y , y , x , et ainsi de suite ; de sorte qu’en substituant successivement dans ces équations les valeurs de y 1 , y" , &c. données par les équations précédentes , on aura en dernière analyse ÿ , y" , y '" , &c. exprimés en x et y. Donc , faisant x= o , oaaura (y') , (y") , (y 111 ), &c, exprimés en (y) qui demeurera indéterminé.
De même si on ne fait dépendre la détermination de y que d’une équation dérivée du second ordre en x , y , y 1 et y" , on en tirera successivement une équation tierce entre x , y , y' , y", y'", et ainsi de suite ; et par des substitutions successives on aura en dernière analyse , y" , y '" , &c. r donnés en x , y ,y‘ ; de sorte qu’en faisant x = o , on aura les valeurs de (y".), (y'"), (y”) > exprimées en (y) et (y') , ces deux quantités demeurant indéterminées ; et ainsi de suite.
Ainsi , lorsqu’on part d’une équation dérivée du premier ordre , il reste une indéterminée (y) ; lorsqu’on parr d’une équation du second ordre , il reste deux indéterminées (y) et (y') , et ainsi de suite; et l’on voit que ces indéterminées sont constantes, puisque ce sont les valeurs de y ,y' , y", Sic. , Jorsque x = o.
59. Quoique la conclusion précédente soit fondée sur la théorie des séries, il n’est pas difficile de se convaincre qu’elle doit avoir lieu généralement , quelle que soit l’expression dey , puisqu’on peut toujours regarder une expression en série comme le développement d’une expression finie. ÏVlais comme c’est la une propriété caractéristique des équations dérivées
r 6 THÉORIE
entre deux variables , il est important de l’établir sur la nature même de ces équations.
Considérons donc en général l’équation à deux variables F(x,y) = o, et désignons simplement par F(x,y )'= o son équation prime , par F(x,y)"= o l’équation seconde , et ainsi de suite , en regardant x et y comme variables à-la-fois. Soient a , b , c , &c. des constantes quelconques contenues clans la fonction F ( x , y ) , ces constantes seront les mêmes dans le» fonctions dérivées ; ainsi , puisque les deux équations F( x , y ) = o et F(x , y) 1 = o ont lieu en même temps , on pourra en éliminer une constante a , et l’équation résultante sera une équation du premier ordre entre x , y et y' , qui renfermera une constante de moins que l’équation primitive , et qui aura par conséquent lieu en même temps que celle-ci. De m êm e les troi s équa rions F( x , y ) = o , F( x , y )';= o , F( x , y )“ = o , aya n t lieu à-la- fois , on pourra en éliminer deux constantes ,.a , b ; et l’équation résultante sera une équation du second ordre entre x , y , y 1 et y" , qui renfermera deux constantes de moins que l’équation primitive , et qui aura lieu en même temps qu’elle ; et ainsi de suite.
Donc , puisque dans les équations à deux variables une équation du ptemicr ordre peut renfermer une constante de moins que l’équation primitive , une équation du second ordre peut renfermer deux constantes de pioins que l’équation primitive , et ainsi de suite , il s’ensuit réciproquement que l’équation primitive doit contenir une constante de plus que l’équation dérivée du premier ordre , deux constantes de plus que l’équation dérivée du second ordre , et ainsi de suite , constantes qui seront par conséquent arbitraires ; et il est visible en même temps qu’elles ne sauraient en contenir davantage , puisqu’on ne pourrait pas les faire disparaître toutes par le moyen des équations dérivées.
Donc , si l’on n’a pour la détermination d’une fonction qu’une équation du premier ordre , ou du second , ou , &c. l’équation primitive prise dans toute sa généralité devra contenir une constante arbitraire , ou deux, &c. t suivant l’ordre de l’équation donnée : et on déterminera ces constantes p?r des valcuts particulières données de la fonction ou de ses dérivées.
Si donc on trouve d’une manière quelconque une équation en x et y qui sa: : s fasse 3 une équation donnée d’un ordre quelconque , et qui renferme
autant
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. î7 autant de constantes arbitraires qu’il y a d’unités dans l’indice de cet ordre, on en conclura que cette équation sera l’équation primitive de l’équation donnée, et po'urra, dans tous les cas, être employée à la place de celle-ci.
6 o. Au lieu d’éliminer à la fois les deux constantes a et b des trois équations F ( x , y ) = o , F ( x , y )' = o , F (x , y)" = o , on peut n’éliminer d’abord que la constante b ou a des deux premières ; on aura ainsi deux équations du premier ordre , dont l’une ne renfermera que la constante a, et l’autre la constante b. Si maintenant on élimine de chacune de ces équations la constante a ou b par le moyen de son équation prime , on aura deux équations du second ordre sans a ni b , qui devront coïncider avec l’équation résultant de l’élimination simultanée de ces constantes, |Jar le moyen des trois équations jF(x, y) = o, F 1 {x, y)' = o, F (x , y)" = o , parce que la valeur de y" que ces équations du second ordre donneront, et qui sera exprimée en x, y, et y' sans a ni b, ne peut qu’être la même , de quelque manière qu’elle soit déduite de l’équation primitive.
D ’où l’on peut conclure qu’une équation du second ordre peut être dérivée de deux équations différentes du premier ordre , renfermant chacune une constante arbitraire de plus.
Et l’on prouvera de la même manière qu’une équation du troisième ordre pourra être dérivée de trois équations différentes du second ordre, renfermant chacune une constante arbitraire ; et ainsi de suite.
En même temps on voit que si pour une équation donnée du second ordre, on en trouve deux du premier ordre qui satisfassent chacune à cette équation , et qui renferment chacune une constante arbitraire a ou b, on en pourra déduire immédiatement l’équation primitive ; car il suffira de chasser de ces équations la quantité y', et l’on aura une équation en x et y, avec deux constantes arbitraires a et b.
Il en sera de même pour les équations du troisième ordre ; car, si on trouve trois équations du second ordre qui satisfassent chacune à une même équation du troisième ordre, et qui aient en même temps les constantes arbitraires a , b, c , on auta, en éliminant y' et y" , une équation
en x , y et a , b , c , qui sera par conséquent l’équation primitive it l’équatioa donnée ; et ainsi de suite.
61. Mais si pour une équation du second ordre on en trouve deuxdu premier ordre qui y satisfassent , et dont une seule renferme une constante arbitraire , alors en éliminant y 1 on aura une équation en x et y , qui ne renfermera qu’une constante arbitraire , et qui ne sera pas l’équation primitive complète de la proposée du second ordre ; mais cette équation satisfera également aux deux du premier ordre , puisqu’elle satisfait à celle du second ordre , qui est également dérivée de ces deux-ci ; donc elle pourra être regardée comme l’équation primitive complète de l’équation du premier ord^e qui ne renferme point de constante arbitraire. D’où je conclus qu’étant proposée une équation du premier ordre en x , y et y 1 , si on eh. déduit d’une manière quelconque une équation du second , soit en éliminant une constante ou non , et qu’ensuite on trouve une autre équation primitive du premier ordre avec une constante arbitraire a , on aura par l'élimination de y 1 entre celle-ci et la proposée , une équation en x et y qui contiendra la constante arbitraire a , et qui sera par conséquent l’équation primitive complète de la proposée.
Cn prouvera de la même manière que si de la proposée du premier ordre on déduit une équation du troisième ordre , et qu’ensuite on trouve pour celle-ci une équation primitive du second avec une constante arbitraire , dans laquelle la proposée ne soit pas renfermée , il n’y aura qu’à éliminer les y" et y 1 au moyen de la proposée , et l’on aura une équation, en x et y qui renfermera une constante arbitraire , et qui sera par conséquent l’équation primitive complète de la proposée ; et ainsi de suite*.
On peut appliquer le même raisonnement aux équations des ordres supérieurs au premier , et eu tirer des conclusions semblables.
61. Ainsi , si une équation du premier ordre en x , y et y' étant donnée > on peur, par des opérations quelconques, la ramener à la forme f{x,y)'= o, où /(x , y )' désigne la fonction prime d’une fonction de x , y , maropuée par /(x, y), on aura sur-le-champ l’équation primitive/^ x , y) = a » dans laquelle a sera la constante arbitraire.
DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 59 Par exemple , l’équation y 1 = o donne sur-le-champ y = a ; l’équa*-
tion xy' — y = o étant divisée parx 1 , se réduit à ( — )'= o : j’entends
par ( -U- y la fonction prime de la quantité — renfermée entre lesdeux
crochets ; d'où l’on tire-^L- = a , ou bien , en divisant la même équation
par at j, elle devient -*£ = o , dans laquelle les variables x, y
ne sont plus mêlées ; prenant donc la fonction prime de chaque terme , on aura ly — Ix = la , la caractéristique / indiquant les logarithmes
hyperboliques ; d’où l’on tire — = a comme plus haut.
En général , si on peut réduire l’équation à la forme f x + y' Fy = o , où les variables sont séparées , il n’y aura qu’à prendre les fonctions primitives de j x et dey' Fy ,et faire la somme égaleà une constante arbitraire æ,et la même chose aura lieu si on peut ramener la proposée à cette forme par une substitution quelconque.
Soit, par exemple, une équation de la forme y' = /( — j — )» je fais -f = u ; donc y = xu , y' = xu' + u ; et l’équation devient par ces substitutions xu' -f- u =/. u , laquelle peut se mettre sous la forme— — “1 u -—fj ~ === 0 > 1 U1 est com prise dans la précédente.
Si on avait l’équation y = x f. y ' , au lieu de la réduire à la forme précédente , j’en prendrais les fonctions primes , ce qui me donnerait
y = xy" f y + fy ,
équation réductible à la forme — (- -—A -?■?’- = o , et qui en faisant y' = u , rentre encore dans le cas précédent. Ayant trouvé ainsi une équation primitive entre x et u avec une constante arbitraire , c’està-dire entre x et y , on chassera y' par le moyen de la proposée , et l’on aura une équation entre x et y avec la constante arbitraire , laquelle sera par conséquent l’équation primitive complète de la proposée. Cette
dernière méthode est , comme l’on voir , une application -de la théorie du numéro précédent.
6 3. De cette manière on ramène , comme l’on voir , la recherche des fonctions primitives de deux variables , à celle des fonctions primitives d’une seule variable ; mais comme on n’y parvient ordinairement qu’eo employant pour* et y d’autres variables, comme t et u , c’est-à-dire en substituant pour x et y des fonctions données de t et u , il faut observer , à l’égard de ces substitutions , que u devenant fonction de t , x et y devront être aussi regardés comme fonctions de t. Donc , ayant supposé y =fx , on aura , en regardant maintenant x et y comme fonctions de t ,y' = x'f x ( n.° 31 ) ,• mais lorsqu’on regarde y simplement comme fonction de x , on a y' = f' x , comme nous l’avons fait jusqu’ici : donc, pour passer de cette hypothèse à celle où x et y sont fonctions de t , il faut mettre à la place
de y' la quantité — ^ — .
Ainsi , ayant l’équation y' = F ( x , y ) , on commencera par la trans-
former en — *^ — = F (x , y ), ou y' = x 1 F ( x , y ) , ensuite on substituera
pour x , y , x' , y' leurs valeurs en t , u et u 1 , où u' sera la fonction prime de // regardé comme fonction de t.
De même , puisque y" est la fonction prime de y' , regardé comme
fonction de x , il faudra substituer pour y" la quantité
— r , c est-a-
dire -4; —f— i et ainsi de suite.
Donc , si dans une équation , au lieu de regarder y comme fonction de x , on voulait réciproquement regarder x comme fonction dey , alors la fonction
prime de y deviendrait l’unité , et l’on y substituerait simplement ~ —
ff
pour y' , pour y"; et ainsi de suite. Foy<rf plus bas , le n.° 100.
64. Quant à la manière de trouver les fonctions primitives des fonctions d’une seule variable , comme de Fx ou de y' Fy , on sait que si Fx est
. ■Li'i. 'iâltil
une fonction rationnelle dex, on peut toujours la décomposer en difFérens
termes de la forme x m ou — — , m étant un nombre entier positif,
(a-rbx)
et a bx un facteur du dénominateur de la fonction , s’il en a un. Ainsi la fonction primitive de Fx sera composée d’autant de termes de la
forme
, et
(a-\-bx)' m j /(a-j-éx)
r — r— , ou Ix et j si m =
et il
J v k i g \ 9 vu « vi |
en sera de même de la fonction primitive de y'Fy ( n.° jz ).
Si Fx contient des quantités irrationnelles , on les fera disparaître par des substitutions , ce qui n’est possible en général par les méthodes connues que pour les radicaux de la forme V ( a + b* + c* 1 ). Quand il y a dans Fx des radicaux plus compliqués , ou même quand il y a plus d’un radical de cette forme , la recherche de la fonction primitive devient impossible en général par les méthodes connues; et on ne peut l’obtenir que par le moyen des séries , soit en faisant disparaître les radicaux par leur résolution en série , soit en employant la méthode générale pour le développement en série de toute fonction de x ( n.° 45 ). Pour cela , on supposera fx = Fx ; de-làon aura f"x = F 1 x ,f m x = F" x , &c. Donc la valeur d cfx, fonction primitive de Fx , sera représentée ainsi ,
fx ==/. + xF. -J- ~ F 1 . + F" t & c. ,
les quantités f.,F., F' . , &c. étant les valeurs de fx , Fx, F'x , &c. lorsque x = o , où l’on voit que/, sera une constante indéterminée.
6$. Si , pour une équation proposée d’un ordre quelconque , on parvient à trouver une équation d’un ordre inférieur qui ne renferme point de constantes arbitraires , ou qui n’en renferme pas autant qu’il peut y en avoir , alors cette équation ne pourra pas être regardée comme une équation primitive complète, mais elle ne sera qu’un cas particulier de cette équation , dans lequel on aurait donné aux constantes arbitraires des valeurs particulières.
Mais il y a un cas très-étendu , dans lequel il suffit d’avoir plusieurs
Ci. THÉORIE
Soit , en effet , proposée l’équation
A y + B y 1 4 " Cy" 4 " Dy m 4 ~ &c. = o , clans laquelle A , B , C , & c. soient des fonctions données de x seul. Soient p , q , r , &c. des fonctions différentes de x , qui , étant substituées pour y , satisfassent chacune en particulier à cette équation , je dis que l’on a ui a en général
y = o p + bq -j- cr -f- &c. ,
a , b, c , &c. étant des constantes arbitraires ; ce qui est évident ; car cette expression de y étant substituée dans la même équation , y satisfera indépendamment de ces constantes. D’où il suit que si le nombre des valeurs particulières p , q , r , &c. est égal à celui de l’ordre de l’équation proposée , c’est- h-dire h l’indice de la fonction dérivée y" :U ‘‘ la plus élevée , on aura l’expression complète de y. L’analyse du n 57 , fournit un exemple de cette méthode.
Mais il y a plus ; on peut alors trouver aussi la valeur complète de y , qui satisfera h l’équation
Ay -f- B y 1 4- Cy" 4 ~ &c. = X ,
X étant aussi une fonction quelconque de x.
Comme cette méthode est une des plus utiles dans ce genre d’analyse , je crois devoir l’exposer ici en peu de mots.
66 . Supposons que l’équation proposée soit du troisième ordre , on verra aisément que la méthode est générale pour un ordre quelconque.
Soit donc l’équation
A y 4- B y 1 4 - Cy" 4 - y'" = X,
et soient p , q , r trois valeurs différentes et particulières de y en x , qui satisfassent h l’équation A y 4- B y 1 4 ~ Cy" 4- y'" = 0 ; en sorte que l’cn ait Ap 4~ Bp' -f- Cp" 4 ~ p m = o , Aq 4 ~ Bq 1 4" Cq" q 1 " = o et A r' 4 " 4“ Cr" -f- r"' = o.
Supposons y = ap 4- bq -j- cr , et regardons a ,b , c , comme trois fonctions inconnues de x qu’il s’agira de déterminer ; en prenant les fonctions primes , secondes et tierces de y , on aura d’abord
y 1 = ap 1 4" b q' 4* cr' 4~ P a' 4* q V + rc '> •'*,
-Vf*’?' .
Je suppose pa! + qb' + rc'=o, j’aurai simplement y 1 = ap' + bq 1 + c r'. De-là , en prenant de nouveau les fonctions primes , j’aurai
y " = a p" + b q" -j- cr" -f- a! p' + b'q 1 -f- d r' ;
je suppose dereçhef a' p 1 -f- b'q' + c'r'=o, j’aurai simplement y"=ap" -|bq" + cr"; d’où je tire , en prenant encore les fonctions primes , y'" = a p 111 + bq" + cr“> + a' p" + b' q" + c'r".
Je substitue maintenant ces valeurs de y, y'» y" et y* 7 dans l’équation proposée, il est visible que par la nature des quantités p , q , r, les termes qui contiendront a, b, c se détruiront, et il ne restera que l’équation a' p" + b 1 q" + c'r" = X , qui étant combinée avec les deux équations supposées a' p + b' q -f - c'r = o, a' p' -f- b' q' -f- c'r' = o r
servira à déterminer les trois quantités a', b 1 , c', les quantités p , q , r et leurs fonctions primes et secondes étant connues, ainsi que la quantité X.
Supposons donc qu’on ait trouvé a' = P , b’ = Q , t' = R , ces quantités P , Q , R étant des fonctions connues de x, il n’y aura qu’a les regarder comme des fonctions primes et en chercher les fonctions primitives, qui contiendront chacune une constante arbitraire qui pourra lui être ajoutée. On aura ainsi les valeurs des inconnues a ,b ,c , qu’on substituera, ensuite dans l’expression de y.
67. Lorsque l’équation n’est que du premier ordre, on n’a besoin que d’une valeur p , et on peut toujours la trouver ; car on a alors l’équation A p -j- p‘ = o , à laquelle satisfait cette valeur p = e~ M , AJ étant la fonction primitive de A , de manière que M' = A , et e dénotant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité en effet , on aura , en prenant les fonctions primes ,,
Pour les équations d’un ordre supérieur au premier , il n’y a pas de méthode générale pour trouver les valeurs de p , q , & c. , à moins que les coèfficiens A , B , C , &c. ne soient constans. Mais, dans ce cas , il est aisé de les trouver; car il u’y a qu’à supposer p=.c mx > m étant une
constante indéterminée , on aura p' = mc mx , p 11 = m 1 e mx , &c. ; donc l’équation
x 4 p+ Bp' + C P " + Dp" 1 + &c. = o
deviendra .
yi -J- B m -}- Cm- -j- D m? -(- &c. — o ,
laquelle sera , généralement parlant , d’un degré égal à l’ordre de 1 équation proposée. Elle aura donc autant de racines qu’il y a d unités dans ce degré; et si on désigne ces racines par m , n , &c. on aura p = e mx , q — e " x , &c. ; de sorte que dans ce cas la difficulté est réduite à la résolution des équations.
68. On peut souvent rendre linéaires des équations qui ne le sont pas, par le moyen des substitutions ; et comme cette transformation est toujours avantageuse , voici deux cas très-étendus ou elle réussit :
Le premier est celui de l’équation y = xfy l Fy 1 , qui est plus générale
que celle que nous avons traitée ci-dessus (n.* 6z). J’en prends d’abord les fonctions primes , j’ai
y'= x y"f'ÿ +fy‘ + y" F' y 1 ; je fais y' = ? , et par conséquent y" = z' , j’ai
équation du premier ordre en x et ^ , où ç est censé fonction de x.
Maintenant je regarde x comme une fonction de \ ; il faudra mettre -yrà la place de ^ ( n.° 63 ) , et il viendra l’équation
xf‘\ + (/{ — f ) x? + *’'{ = o »
qui est , comme l’on voit, du premier ordre et linéaire en x. On pourra donc , par la méthode précédente , en trouver l’équation primitive en x et ^ ; mais la proposée par la substitution de y' , au lieu de ^ , devient y — xfi F^; éliminant donc { de ces deux équations , on aura une équation en x et y , qui sera l’équation primitive de l’équation proposée.
Le second cas est celui de l’équation y' -f- My* + K = o , M et N
étant des fonctions de x. Ici je fais y = — ^ 7- , ce qui donne y'
MF
J , - ; substituant ces valeurs et multipliant par iHç ,
l’équation
l ! équation devient
? ^f- + MNj = o,
qui est , comme l’on voit , du second ordre , mais linéaire par rapport à £.
Supposons qu’on ait trouvé d’une manière quelconque deux valeurs particulières de y en x , c’est-à-dire sans constante arbitraire , que nous
dénoterons par p et q. Pour la valeur p on aura
Mï
= p , d’où l’on
tire 7 = e r , en dénotant par P la fonction primitive de pM ; on aura de même pour ht valeur q , ç = e Q , Q étant la fonction primitive de q M. Ayant ainsi deux valeurs particulières de { , on aura la valeur complète ( n.° 6 5 ) { = a e? -J- b e Q , a et b étant deux constantes arbitraires ; donc ,
puisque y = et que P 1 = pM , Ç)‘ = qM , on aura cette valeur
complète dey ,y = — - p - \ , c’est-à-dire en faisant =: c ,
ae -f- 6 e v a
y = P --- - ! o — r ) où c est la constante arbitraire.
1 + ce
Par exemple , si N = — mM, m étant une constante , il est aisé de voir que l’on satisfera à la proposée en y , en faisant y = ^ m ; donc , à cause de l’ambiguité du radical , on aura p = yj m , q = — V m » donc , nommant L la fonction primitive de M , on aura P = L\J m , Ç) = — L V m , et la valeur complète de y sera
V I Ct ) \ m
ce
Au reste , dans ce cas , l’équation proposée peut se mettre sous la forme ? + M = o , où les variables x et y sont séparées > et dont on
peut tftjuver l’équation primitive , comme nous l'avons montré plus haut ( n.°‘ 62. j 64 ). .
69. Lorsque l'équation proposée n’est pas linéaire en y , y 1 ,y", &c. , ou qu’elle n’est pas comprise sous la forme précédente , je ne connais aucune méthode générale pour compléter les valeurs particulières de y qu'on aurait trouvées ; mais on y peut toujours parvenir par le moyen des séries. . • ,* . .
