T H É O R I ET

* Supposons en effet que pour une (quation du premier ordre en x , y et j' , la valeur complète dey soit/(x , fl ) , a étant la constante arbitraire. En donnant à a une valeur particulière h » la quantité J ( x , a ) deviendra une valeur particulière de y , que nous nommerons p , et que nous supposerons connue d'une manière quelconque. Faisons maintenant a = k -f- i et développons la fonction f ( x , h -+• i) en série ascendante suivant les puissances de i , le premier terme sera f(x,h)=p,tt les autres termes seront de la forme qi -f- ri' &c. ,q t r , &c. étant des fonctions de x. & on substitue cette expression de y dans l’équation donnée du premier ordre , il faudra qu’elle se vérifie indépendamment de la constante i qut doit demeurer arbitraire.

Soit donc y' = F( x,y ) l’équation du premier ordre , b- laquelle satisfait* k valeur particulière y =p, on aura, d’après cette condition, y = F(x,p).

Substituons pour y la série p + i q + t’V -F &c. , et développons aussi k fonction F ( x , y ) en série suivant les puissances de i , si on dénote simplement par F' ( y ) , F" (y ) , &c. les fonctions primes, secondes , &c. de F( x , y ) prises, relativement à y seul , et qu’on fasse , pour abréger o = iq -f- t*r -j- &c , on aura , par la théorie exposée glus haut v sur le développement des fonctions ,

D’un autre côté on aura , en prenant les fonctions primes , y l = p l - J- q*i *+- r'i 1 -j- &c. ; donc , substituant ces valeurs dans l’équation du premier ordre *et ordonnant les.termes suivant les puissances de i , on aura , à cause.*

dey s* F(x,p) ,iq l + i V + &c. = if F' {p) + i l [rF v (/>) +

F'00] + &c. d’où l’on rire , par la comparaison des termes affectés des mêmes puissances de i les équations suivantes

q‘ = qP(p),F = rF' (p) + -Ç F"{ P y, &c. r

qui serviront à déterminer successivement toutes les inconnues q,r, &c.- Comme les quantités F' (/>) , F 11 (p ) &c. sont des fonctions données: dfe x , il est visible qu’on n’aura pour ees inconnues que des équations: linéaires du premier ordre « susceptibles de la méthode du n,° 6j ; il ne seca*

DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 6 y pas même nécessaire d’avoir les valeurs complètes de q , r ,rftc. , il suffira d’avoir des valeurs quelconques qui satisfassent à ces équations de condition.

Ayant ainsi déterminé les valeurs des quantités, q , r , s , &c. on aura cette valeur complète de y ,y = p + i q i~ r &c. ,dans laquelle i sera la constante arbitraire qui manquait à la valeur particulière y = p. Cette valeur sera à la vérité exprimée par une série , mais la convergence de cette série ne dépendra que de la valeur de la constante t.

Cette méthode est aussi applicable , avec l’extension convenable , aux équations des ordres supérieurs au premier ; mais les équations qu’on trouvera pour la détermination des fonctions iq^onnues , seront du même ordre , et par conséquent on ne pourra trouver en général les valeurs de ces fonctions que dans le cas où les coèfficiens seront constans.

Au reste, cette méthode est le fondement des solutions des principaux problèmes de la théorie des planètes. Comme les excentricités et les inclinaisons , qu’on doit regarder comme des constantes arbitraires , sont fort petites , et que l’effet des attractions est aussi très-petit , le cercle fournit d’abord des valeurs particulières, et on complète ensuite ces valeurs par des séries qui procèdent sui>pnt les puissances de ces constantes très-petites.

Voyt[ sur-tout la Théorie de la Lune d’Euler.

70. Nous avons supposé que la fonction F(x , y) pouvait toujours , par la substitution de p -f- qi -f- ri 1 -j- &c, à la place de y , se développer en une série ascendante suivant les puissances entières de i ; mais comme cette série résulte du développement d’une fonction de y -f- o , en donnant à y une valeur particulière p, il s’ensuit de la théorie que nous avons donnée ♦ ci-dessus ( n.° 40 ) , que ce développement pourrait contenir des puissances fractionnaires ou négatives de o , auquel cas la série dont il s’agit, contiendrait nécessairement de pareilles puissances de i. Alors la série qui doit représenter la valeur de y pourra ne plus avoir la même forme ; mais comme y z=f ( x , a J , et qu’ou suppose a = h H- i , et p = f( x , h ) , le premier terme sera toujours p , et le second pourra encore être supposé de la forme qi ; car s'il était de la forme qi n , n étant un exposant quel-

* conque , il n’y aurait qu’à subst’t ;er i n à la place de i , et supposer que *

devienne h -j- i " , ce qui est indifférent , puisqu’on regarde i comme une constante arbitraire ; mais les termes suivans pourront être de la forme ri n 4 ~ s i n + &c. , où ni devra être > i , n > m , &c. par l’hypothèse.

Substituant donc dans F(x,y) pour y la série p-\-qi -\-ri m 4-5/" + &c., .

et développant suivant les puissances ascendantes de i , on aura une série de cette forme F(x,.p ) P + Qi’ + &c. , /a étant different de

l’unité , y > /j., &c. , et P , Q étant des fonctions données de a. Donc l’équation y' =/(*> y) deviendra, par ces substitutions y

iq' 4 - i m r' 4 ~ i n s‘ &c. = P f + Qi’ -J- &c. , laquelle devra se vérifier indépendamment de la valeur de i.

Donc, si ,u > 1 , on pourra faire q' = o, m = /j. et r' = P , ensuite n = y, s'= Q,&cc. Ainsi on aura d’abord q = aune constante, ou plus simplement q - = 1 ; ensuite, comme P ne dépend que de q et de x, on trouvera la valeur de r en prenant la fonction primitive de P; et ainsi de suite.

7 1 . Mais si pt < 1 , alors il sera impossible de satisfaire à l’équation , de manière que i demeure une constante arbitraire^ et l’on devra en conclure que la valeur particulière p ne pouvant pas être complétée ainsi , ne saurait être contenue dans l’expression générale /( x , a) qui représente la valeur complète de y.

Maintenant il est visible que, quel que puisse être le premier terme P l du développement de F(x,y ) , par la substitution de p 4 ~ qi + r i m + &c. à la place dey, il ne peut venir que des termes p 4 - qi, de sorte qu’il sera • le même que si on substituait simplement p 4 - q i à la place de y. Donc aussi le développement de F(x,y ) par la substitution de p 4- 0 à la place de y,

sera F (x, p) 4 H &c. ; donc , puisque la série résultant de ce

développement contient un terme affecté de cF où fx est > o et < 1 , il s’ensuit de la théorie donnée ( n.° 41 ) , que la fonction prime F 1 (y) devra devenir infinie lorsque y = p.

De-là on tire cette conclusion que la valeur particulière p ne pourra pas être contenue dans l’expression complète de y , si cette valeur rend la fonction F' {y) infinie, c’est-à-dire, la fonction — ■jn-j— y— nulle- •

Réciproquement donc l’équation F ^ ^ = o donnera toutes les valeurs

de y , qui , pouvant satisfaire à l’équation y 1 = F (x , y) , comme valeurs particulières , ne seront pas renfermées dans la valeur complète. On pourra appeler ces valeurs , valeurs singulières, pour les distinguer des autres; et , en général , on pourra appeler équation primitive singulière , toute équation en a: et y qui satisfera à une équation du premier ordre entre x , y , et y' , ou à une équation d’un ordre supérieur , et qui ne sera pas comprise dans l’équation primitive complète , c’est-à-dire , qui ne sera pas un cas pai-riculier de cette équation, .

jx. Nous venons de voir qu’il y a une espèce d’équations qui peuvent satisfaire à des équations d’un ordre supérieur , et qui ne satisfont pas aux équations d’où celles-ci peuvent être dérivées , parce qu’elles ne sent pas renfermées dans les équations complètes d’un ordre inférieur à celles-ci. Ces équations ne forment pas une exception à la théorie générale exposée plus haut ( n.° ) ; mais elles résultent d’une considération particulière

dans la manière dont les équations d’un ordre supérieur^sont dérivées par l'élimination des constantes. En effet , on y a vu que les deux équations F( x , y )= o et F(x ,y )' = o , donnent , par l’élimination d’une constante a , une équation dérivée du premier ordre entre x x y , et y' , dont F (x , y) =o sera l’équation primitive.

Or, il est évident que le résultat de cette élimination serait le même , si la quantité a , au lieu d’être constante , était une fonction quelconque de x ; mais dans ce cas la fonction prime de F(x, y) ne serait plus simplement F (x, y) 7 , elle contiendrait de plus une partie provenant de la variation de a ; et si ou désigne par F (a) la fonction prime de F(x ,.y ), prise relativement à la variable a , onaura a 1 F 1 (a) pour la partie dont il s’agit, a' étant la fonction prime de a regardé comme fonction de x (n.“ 3 t.)

Ainsi , dans le cas où a serait fonction de jt , l’équation prime de F(x , y) = o serait F {x r y )' -f- a 1 F (a) = o ; donc , pour qu’eile se réduise à F (x, y) 1 = o , comme dans le cas de a constante il faudra que l’on ait F (a) = o, équation qui servira à déterminer la valeur de a , et qui n’est autre chose , comme l’on voit , que l’équation prime de l’équation-

7 a THÉORIE

primitive prise relativement à a. D’où il s’ensuit que si on substitue cette valeur de a dans l’équation primitive F(x, y) = o , on aura une équation en x et y , qui satisfera également à l’équation du premier ordre , et qui ne sera pas renfermée dansl’équation primitive où a est la constante arbitraire.

On pourra appliquer la même théorie aux équations des ordres supérieurs , et en déduire des conclusions semblables.

73. Pour voir maintenant si l’équation qui résulte de cette considération est la même chose que l’équation primitive singulière , déduite de l’analyse du numéro 71 ; supposons , comme plus haut (n.° 63 ) , que l’équation du premier ordre soit réduite à la forme y' = F ( x , y ) , et que son équation primitive complète soit y =f (x ,a) , a étant la constante arbitraire. Pour en déduire l’équation primitive , où a est variable , on prendra l’équation prime , relativement à a seul ; et si on désigne par <p ( x , a ) la fonction prime de /( x , a) prise relativement à a , on aura ç p(x , a) =0 ; d’où l’on tire#a a , qu’on substituera dans f {x , a), et l’on aura une valeur particulière de y , qui satisfera aussi à la proposée du premier ordre. Nous appellerons p cette valeur particulière , comme dans le numéro cité.

Maintenant , puisque la valeur complète / ( x , a) de y doit satisfaire à l’équation y 1 = F (x,y), quelle que soit la constante a , il s’ensuit qu’en faisant cette sqbstitution, l’équation résultante/' (x, a ) = F[x,f ( x , a)] devra avoir lieu , quelle que soit la valeur de a. Par conséquent son équation prime , prise relativement à a , regardée comme seule variable , devra avoir lieu aussi , quelle que soit la valeur de a ( n.° 33 ).

Puisque /' (x , a) est la fonction prime de/(x , a) prise rtslativement à x , la fonction prime de celle-ci , prise relativement à a , sera donc la fonction seconde de/( x , a ) , prise d’abord relativement à x , et ensuite relativement à a j laquelle est la même chose, comme nous le démontrerons plus bas (n.* 8 G ) , que la fonction seconde de /(x , a) , prise d’abord relativement à a , et ensuite relativement à x. Ainsi ayant désigné par o ( x , a ) la fonction prime de /( x , a ) par rapport à a , on aura f 1 ( x , a) ppur la fonction prime de/' ( x , a ) , prise également par rapport à a , les traits appliqués aux caractéristes/ et <p ne se rapportant qu’à la variable x.

A l’égard de la fonction F[x , f(x , a)],, comme elle résulte de la substitution de /(x, a) à la placede y dans F(x, y), sa fonction prime, relativement à a , sera exprimée par F' (y ) x ç (x , a), (h.* j.t), puisque bous avons déjà désigné par F' (y) la fonction prime de F(x, y ) relativement à j, et par f (x, a) la fonction prime de/(x,a) ou y, relativement à a.

Donc l’équation prime de l’équation f (x,a)=x F(x,y), prise relativement à a , sera <p' (x, a) = F 1 ( y ) x <p (x, a); d’où l’on tire F 1 (y);

Or , nous venons de voir que pour avoir fa valeur particulière p , il fcut substituer dans /(x, a) la valeur de fl, tirée de l’équation <p (x, a) = o.- Dénotons par X cetre valeur de a, qui sera une fonction de x, on auraf (x",fl) = y (X — fl)”, m étant > o , et V étant une fonction de x v qui ne deviendra ni nulle ni infinie lorsque a = X ; on tirera de làp' (x, a) = V ( Jf — û) m m V X‘ ( JC — fl)"“V Donc on aura*

mX'

Mais y devient p lorsque a == X; donc F' (y) deviendra infini lorsque? y = p ,. comme dans le cas du n.® 71. Ainsi les deux méthodes des^ n.°* 7 l et 71 conduisent aux mêmes résultats et donnent les mêmes valeurs singulières ; mais la seconde a l’avantage d’être plus directe et de donnerla vraie métaphysique de cette espèce de paradoxe.

74. Supposons , pour donner un exemple , que l’équation primitive soiif x* — a fl y — æ’ — b' = o en prenant les fonctions primes , on aura Kéquation prime x — ay' = o ; éliminant a par le moyen de l’équation: primitive, on aura l’équation du premier ordre

x — [ — y + V ( ** + y 1 — b' ) ] y! ==. o donr celle-là sera l’équation primitive complète , a étant la constante* arbi traire.

Maintenant si on prend la fonction prime de la même équation 1

x* ifly — fl* — F = 0 , relativement à la quantité a regardée

comme une fonction de x, on aura — t (y -f* a) û' = o, ce qui donne* y -h a = o , a = — y i et substituant cette valeur dans l’équation; dont il s’agit ün aura x 1 + y 1 — b' = o.

7 i THÉORIE

Cette équation satisfera par conséquent aussi à la même équation du premier ordre , ce qui est aisé à vérifier ; car elle donne y 1 = b z — x x et y y' ;= — x , valeurs qui étant substituées dans la quantité

* + yy'—Y , V(* z + y' — t> 1 ),

la rendent identiquement nulle. Ce sera donc l’équation primitive singulière. En eff'er , suivant la théorie du n.° 7 1 , on aura dans le cas présent ,

et p = V(P — * 1 ) ; donc en prenant les fonctions primes relativement à y seul , on trouvera

quantifié qui devient infinie , comme l’on voit , par la supposition de y =/> «= V ( 4 * — x').

7$. Supposons maintenant que l’on ait l’équation du premier ordre

y 1 = F y , et que la fonction Fy de y soit telle qu’elle devienne nulle lorsque y est égal à une constante donnée b ; il est visible que cette valeur de y satisfera à l’équation ; car y = b donne aussi y'c= o. On demande si cette valeur de y est une valeur particulière comprise dans la valeur complète , ou bien si ce n’est qu’une valeur singulière. On prendra la fonction prime de F y , et si F y devient infini lorsque y = b , la valeur b ne sera qu’une valeur singulière , sinon elle sera une valeur particulière.

Soit F y = K (y — b ) m , m étant > o et K une constante , on aura Fy= m K (y — è) m I , quantité qui devient infinie lorsque m < 1 ; donc la valeur y = b sera une valeur singulière si m > o et < 1 , et une simple valeur particulière si m = ou > 1. En effet , l’équation y 1 = K (y — b) m étant divisée par (y — b) m et mise sous la forme (y — b)~ m y 1 — K = o , a pour équation primitive

. 0' — Kx = a,

a étant la constante arbitraire ; d’où l’on tire y — b + [ (m — 1 )

(a-f-K.v)] 1 “ m . Donc pour que l’on ait y = l , .il faudra que la

quantité

quantité (a 4 “ k x)' ~ m devienne nulle. Or , si m > o et < 1 ,

l’exposant -L sera positif, par conséquent il sera impossible de

donner à a une valeur qui fasse évanouir la quantité dont il s’agit. Mais si m > 1 , alors l’exposant j 1 - - — devenant négatif, la quantité

( a -f- k x)' ~ m deviendra nulle lorsque a sera infinie ; car faisant

a = , cette quantité deviendra - : , laquelle

( 1 + kcx)~ l

devient zéro lorsque c = o.

La même chose a lieu lorsque m = 1 ; alors l’équation primitive contient des logarithmes ou des exponentielles; car on a y' = K (y — 6),

et divisant par y — b , - ^ b K = o , dont l’équation primitive

est / ( y — b ) — K x = la , d’où l’on tire y = b a e KX , e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité , et a la constante arbitraire. Ici il est .évident qu’en faisant a égal à zéro, on aura y = b. Supposons encore F y = V Y, Y étant une fonction de y qui devienne

nulle lorsque y = b, on aura F 1 y = — ^ ÿ - ; donc , puisque Y devient

nul lorsque y = b , si Y’ ne devient pas nul en même temps , F 1 y deviendra alors infini , et la valeur y = 6 ne sera qu’une valeur singulière. Donc , pour que cette valeur soit une simple valeur particulière, il faudra que Y 1 devienne nul en même temps que Y , en faisant Y = b.

7 6. Par les principes que nous venons d’établir à l’égard des constantes arbitraires , on voit que ces constantes forment la liaison entre les équations primitives et les équations dérivées : celles-ci sont par elles-mêmes plus générales que les équations d’où elles dérivent , à raison des constantes qui ont disparu ou qui peuvent avoir disparu ; elles équivalent proprement à toutes les équations primitives qui ne différeraient entre elles que par les valeurs de ccs constantes.

On peut donc toujours passer d’une équation regardée comme primitive, à une de ses dérivées d’un ordre quelconque , et réciproquement revenir de celle-ci à celle-rlà , pourvu que cette dernière opération introduise toujours des constantes arbitraires , et qu’on ait soin de déterminer ces constantes , d’une manière conforme à l’équation primitive , comme nous en avons déjà donné des exemples ( n.’ 55 et suiv. ). Avec cette attention , on pourra employer dans l’analyse les opérations relatives aux fonctions , comme on y emploie les opérations ordinaires d’algèbre.

Ainsi, ayant une équation en x et y, on pourra immédiatement en déduire des équations dérivées d’un ordre quelconque ; mais pour revenir de celles-ci à une équation en x et y, il faudra tenir compte des constantes arbitraires , et les déterminer de manière que les valeurs de y et de ses dérivées y y", &c. soient les mêmes pour une valeur donnée de x, comme x = o , que celles qui résultent de l’équation donnée.

Si l’équation proposée n’était que du premier ordre en x, y , y 1 , alors cette équation ne pouvant fournir que les valeurs de y', y", &c. en x et y , ces valeurs, pour x = o, contiendraient la valeur indéterminée de y; par conséquent les constantes arbitraires dépendraient alors de cette valeur, qui serait elle-même une constante arbitraire ; de sorte que dans ce cas toutes les constantes arbitraires se réduiraient à une seule. Elles se réduiraient à deux , par la même raison , si l’équation proposée était du second ordre en x, y , y', et y"; et ainsi de suite.

77. Pour faire mieux sentir l’esprit et l’usage de ces opérations, nour allons les appliquer encore à quelques exemples qui serviront en mêmetemps d’exercices de calcul.

Soit proposée la série

dont on demande la somme.

Supposons-la égale à y, en sorte qu’on ait une équation en * et y,' je multiplie cette équation par x n ~ ce qui donne

Je prends les fonctions primes de tous' les termes , j’ai •

y' x" ~ 1 -J- (n — x) yx" ~ = ( n — i ) x n “ * + mt"