CHAPITRE. SRIZIEME

dont la première contiendra çp, et dont la seconde ne contiendra point p: celle-ci servira à éliminer l'inconnue r'; la première, jointe a son équation primitive, servira à éliminer l’inconnue <pp-

Cette méthode a l’avantage de pouvoir s'appliquer aux équations qui contiendraient plusieurs fonctions arbitraires de la même Jonction pr.

En effet, si l’on avait l’équation (r, r, z, $p, -\p ) — o, on trouverait d’abord, comme ci-dessus, une équation du premier ordre sans la fonction <pp, mais cpii contiendrait encore la fonction ensuite, appliquant à cette équation le même procédé, et éliminant de nouveau la fonction y ' qui paraîtra dans son équation prime par la même équation ci-dessus, on aura une équation du second ordre qui contiendra "Ÿp, et d’où l'on éliminera cette fonction par le moyen de I équation du premier ordre ; et ainsi de suite, quel que puisse être le nombre des fonctions arbitraires dé la même quantité p.

Mais, si l’équation proposée contenait les fonctions zp et -4</, p et </ étant des fonctions' différentes de vr ,r, -, on ne pourrait pas parvenir à une équation du second ordre, débarrassée des fonctions <pp et et de leurs dérivées; il faudrait alors passer à 'les équations d’un ordre supérieur., . •

89. Considérons les équations du premier ordre qui peu veut résulter de l’éliminatipn d'une fonction arbitraire çp, et supposons v pour plus' de simplicité, ce qui est toujours possible, que l’équation primitive soit de la forme

b (-r, y , z)' — <pp, p étant — ' f (J, y, z)., on aura alors les deux équations primes

qui seront délivrées de^p;«t il. ne s'agira plus que d'éliminer y'.

Le résultat de cette élimination est

F (x)-h«'F'W ?’(.?■)+ a .P'fa) ; s

<1 où résulte cette équation du premier ordre

F'(*).f'(.r) - F'(. r ).f'(.r) + z'[ F'(z).f'(j) - F'( j).f'(z)] - t -z / fFV)f'(*)-F'(ï).f'(x)] = o,

qui ne contient que X, y, z avec les fonctions primes z «t z r - < lette équation pourra donc être mise sous cette forme

en faisant

ii ^ F(i).'fM-y:(:MW

.... ' V F '^).rç K) -FYr).rw ■

■ " 7 F (ïpTr) - f ’(*) ’

d'où I on peut coijclwrè:

î". Que toutes .les équations du premier ordre entre .t, y, z' et qui ne seront pas réductibles à la forme précédente, ne pourront jws être dérivées d’une équation primitive entre x, y, z et rpp, p étant îfue fonction de jt, j, z- ; ‘ 1 * * ' .

a°. Que toutes les équations du premier ordre réductibles à fa formé précédents pourront toujours avoir pour équation primitive une équation de H» forme supposée F (,r, v, z) p étant égal à

f(.Ci ,r,*c). . *■ . •

(’.ar |es valeurs* des coefficients M et N étant données en -fonctions

de .r,*)*,' on aura deux é([ nations par lesquelles on pourra déterminer les deux fonctions marquées par les caractéristiques F et f; et la fonction marquée pour ©.demeurera arbitraire. .

Ce problème étant Fuit dés plus intéressants dé la théorie des fonctions, ie vais en donner-ici tine solution directe

90. Regardons, ce qiîî est pernfts; y et.: comme des. fonetioas de .r, dont les fonctions primes Soient y* et .et considérons les deux quantités z' -y- N etIWz'-F Ny'; oes quantités deviendront, par 4a substitution des expressions précédente? de MV de N,

fyrXF'frK + F-Ça»)] - F’Cyjfffaja’ + ftxjl *

'(*) * ’+ f '( y) x'i*- *"(je)[ P ( z) * ’ -F F ( r). y ' J

■if*