PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE SEIZIEME. I r

Si l'on ajoute et que l’on retranche en même temps du numérateur de la première la quantité F f (y). F et du numérateur de la

seconde la quantité F ' (.r) .' f ' (x ) , et que l’on fasse attention que F' (x) -+- F' F' (s) z est la fonction prime de F (.r, v, r),-

que nous dénoterons simplement par F (.r, y, z)', que de même f' (x) 4 -»f' (y)/' -1- f' (z) z est la fonction prime de f (.r, r, s), que nous dénoterons pareillement par f (x, r, 3)', on aura

- ' iV — Ftj')- f (

• m' . wJ' Li ?'(*)• f '('&).¥ (x, y, *)'■ ♦

Donc, si l’on fait les deux équations

%' -4- N = o, ' Mî' + Nv' =^o;

ces équations seront équivalentes à ces deux-ci : ' ■* .

. F (as, y, r zj* = o;' et IV,' z)'-= o,

dont les équations primitives sont évidemment

A et B étant des constantes arbitraires ; de sorte que ces équations primitives Useront complètes à cause des deux constantes arbitraires A et R. " . ' f ,

Mais il est possible qu'en cherchant les équations primitives des équations . .• . ’•

•} , -l ; N = o, -t- fty* == o,

où M et N sont des fonctions, données de x, j-, s, on ne les trouve pas sous la forme précédente. Cependant, sous quelqqe forme qu elles puissent se présenter, $1 elles renferment deux, constantes arbitraires a et b , elles doivent être comprises vlaus les précédentes, et les constantes A et 6 ne pourront (pi ètre fonctions des constantes 11 et b. Si donc o* tire- da.ces équations primitives les Valeurs des constantes «

THÉORIE DES PONCTIONS.

et h en .r, y, z, et que ces valeurs soient P et Q , ' en sorte que les équations dont il s’agit soient réduites à la forme P = a, Q — h, il s'ensuit que les fonctions F (.r, y, z) et f (.r,. y, z) ne pourront être

aussi que des fonctions de P et

Donc, puisque l'équation primitive d’où l’équation du premier ordre z' -+- Mz, -t- N = o est dérivée, est de la forme *

. V (i, y, z) =± <pp <P rç(a-,

cette équation primitive deviendra

fonct. (P, Q) = 9 (fonct. P,*Q), ...

la fonction marquée par ç demeurant arbitraire : d’où il résulte que

P serq une fonction quelconque de Q ; de sorte que l’équation primitive de l’équation du premier ordre

• , *'-4- Mz, + Nto

pourra être réduite, en général, à cette forme très-simple.

la . fonction marquée par la caractéristique tp étant arbitraire. Cette méthode réduit, comme Von voit, la détermination de la fonction de deux variables à celle de deux fonctions d’une seule variante ; et elle est surtout remarquable par la simplicité et la généralité du résultat.

91 . J, a méthode précédente peut s'étendre 'aussi âüx fonctions de plus de deux variables. Ainsi, si u est une fonction ne trois variables .r, v, z. déterminée par l'équation

f> e’t <y étant des fonctions données de x, y , z, «, et tp (p, q) étant une fonction qnelcontjtie de p, 'q t on trouvera, par u'ne analyse semblable à celle du n° 89, et regardant r et z eoéime des fonctions de r, dont 011 détermiiïera les fonctions primes y et/', par la supposition que p