CHAPITRE SEIZIEME

et (/ demeurent constantes; on trouvera, dis-je, une équation du premier ordre, dérivée de la fonction <p , de la forme suivante,

u H- Lu, — f- M ,u IV = o,

L, M, N étant des fonctions données de x, y, z, u, et ,u étant

les fonctions primes de u relativement à x, y. et z ; de sorte «pie tonte équation entre vr, r, z, u et les fonctions primes de h, qui né serait pas de cette tonne', 11 e pourra pas être dérivée d'une équation primitive de la forme ci-dessus. , r /»

Pour les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente, on trouvera anssi, par une analyse semblable à. celle du numéro précédent, que si l'on regarde y, z , u eoinme des fonctions de x déterminées par ces trois équations du premier ordre

u' -1- N = o, Liu -i- Nr' = o> Mt/ N;' = o,

et que Ion eh .cherche les équations primitives qui devront renfermer trois constantes arbitraires a, b, c, qu’ensuite on tire de ces équations les valeurs tle ces constante^, de manière que l’on ait

. ’ « = = Q. fc = R.

P, Q, R étant des fonctions données de %i r , y, z , u,-p n aura snr-lecliamp

pour l’équation primitive de f équation propos* 1 ?, dans laquelle <p(P; Q) sera une fonction ifrbittaire de P et-Q. » ' ' .

Cette méthode est présentée d’une manière plus sitnple et plus directe 'dans la leçon X V du Ch/cul ries Fimt-tinris., à laquelle . nous nous contentons de renvoyer. . *

9ü, Mais si l’on avait, pour la détermination de’-en fonction de •r et y, une équation quelconque du preirçier ordre entrte x m y % z, z' et s, non réductible ci la forme. du,.n“ 89, la même méthode ne servirait plus. Cependant on peut toujours, quelle que soit la forme de j’équa-

tion proposée, la ramener à la forme du n“ 91 , en y introduisant une variable de plus.

Soit donc proposée l'équation

la (onction indiquée par la caractéristique F étant doiuiée ; je sqppose z, =? u, et comme z est fonction de ,r, y, il est clair que u sera aussi ibnt’.tion de .r, y; donc, prenant les fonctions primes relativement à .r seul, On-, aura z — u' : Maintenant l'équation proposée deviendra

prenant les fonctions primes relativement à y seul, et observant que z et « sont des fonctions de .r, r. on aura

où les quantités F'(jr), F '(z) , F'(«) dénotent les fonctions primes de

F te, y, z, tz), prises relativement aux variables isolées T- a, u, ainsi

que nous l’avons pratiqué jusqu'ici ; donc, substituant ri et «'pour

z, et z' , on aura l’équation

. u' = ■+- «F'(z) F '(fi);

dans laquelle les quantités F 1 -' (y), F'(z), F'(*é) seront des fonctions données de x, y,z et u. • • . .

Cette 'équation serait donc susceptible de la méthode précédente, si m était une fonctionnes variables x,y,z, regardées comme indépendantes entre elles; mais rien n’empèelie de les regarder comme telles, .et de regarder qp même tfmps u comme une simple fonction de .r, -y, z, pourvu que l’on exprime, d’une manière conforme à cette supposition, les fonctions primes u et u, qui se rapportent aux setdes variables ’.r et y.

Que i’on Ménote |>ar tï y zr et ,« les fonctions primes de « relativement'à .r, r, z, il est facile de voir, par les principes établis pour la formation des fonctions primes, que, puisque z est essentiellement