première partie. — chapitre seizième.. ifu

une fonction de .cet r, dont z' et z, sont les fonctions primes relativement à chacune de ces variables isolées, la valeur complète de la fonction prifhe de u relativement à .r sera u' -+- ,uz', et que la valeur complète de la fonction prime de u relativement à y sera //, -f- l uz l : ces valeurs sont celles qui, dans l'équation ci-dessus, sont représentées simplement par u' et mais on a supposé z, = u , et, par l'équation proposée, on a. = F (x, y, z , u); donc les valeurs à

substituer à u' et », seront u ' -+- ,«F (x, y, z, u) et », -+- ,««. Faisant donc ces substitutions, dans la dernière équation en h, »', (/,, et ordonnant les termes suivant les quantités et on aura

n' — h, F' (u) -+-,«[ F(x, y, z, u ) — //F'(«)| — F' ( y ) • — uF'(z) = o, • * *. • • -

équation qui, étant comparée à la formule générale du n" 91, donne

et

J. = — » F'(«), M == F (x, y, z, n) — tiF'(«) .•:* N = — F'(J) — uF'(z) ;

«le sorte que les trois 'équations par. lesquelles il liiudra déterminer y, z, u en fonctions de x seront i

./*' — F'(j) — «F'(zj = o.

n' | F (X,j, s, ü) - mF'(u)J — x' f F'(.y) 4 - «F'fz)] o.

Ainsi, la difficulté est réduite à trouver les équations primitives d’où celles-ci peuvent être déduifes; mais il suffira d’éh trouver une, et il serait même inutile de trouver les<leux autres.

93. En effet, supposons que l’on ait trouvé les trois équations primitives avec les trois constantes arbitraires a, b, c, et S'oient P, Q, K les valeurs de ces constantes qui en résultent, on aura P = <p (Q, IW pour la forme générale de l’équation primitive en u {n° 91).

•Cette équation, où la caractéristique <p désigne une fonction arbitraire, satisfera dans toute son étendue à l’équation du premier ordre en b, dans laquelle n est regardée comme fonction de x, y, z ; mais u 3* <W. ai

a été supposée égale à z,, et z doit être, d’après l'équation proposée, une fonction de x et y ; donc l’équation P = <p (Q, R) est trop générale, et il faudra encore chercher les limitations que l’on doit donner à la fonction arbitraire relativement aux deux quantités P et Q, pour que cette équation réponde exactement à l’équation proposée.

Mais, sans entrer dans cette recherche, j’observe que, quelle que puisse être la vraie forme de la fonction arbitraire, on peut la supposer égale à une constante; de sorte que P = a, c'est-à-dire une des équations primitives des trois équations ci-dessus, avec urfe constante arbitraire, donnera une valeur de « qui satisfera à l’équation en u.

Maintenant, en remettant z r pour u dans cette équation, on aura une équation du premier ordre entre x, y, z et z,, dans laquelle z devra être regardée commfe fonction de x et y ; mais, puisque cette équation ne contient que la fonction prime z /( relative à y, on pourra regarder ■v comme constante, et z comme uae simple fonction de r ; on trouvera donc son équation primitive par l’analyse des fonctions. d'une seule variable, et, puisque ,r est regardée comme constante, la constante arbitraire qui entrera dans cette équation primitive pourra être aussi une fonction quelconque de .r, que nous nommerons //.

On ancrai nsi une valeuu.de z en .r et y avec les deux quantités a et p, qui satisfera à l’équation proposée. La constante a demeurera arbitraire ; mais la fonction p devra être déterminée conformément à cette équation. Pour cela, 11 n’y- aura, qu’à substituer l’expression de z dont il s’agit;- tous les termes quir renfermeront y se détruiront, et il ne restera quç des termes qui contiendrpnt .r, p et p'\ de sorte que l’on aura de nouveau nne équation du premier ordre entre les variables .r et p , dont l’équation primitive donnera la valeur de p en x, avec une nouvelle constante arbitraire b.

De cette manière, on aura enfin une valeur tle z en .r et y, avec deux constantes arbitraires a et b., qui satisfera à la proposée indépendamment des constantes. Cette valeur ne sera que particulière; mais on pourra, par la méthode du n" 83, trouver la valeur générale de z, qui contiendra une fonction arbitraire.

En effet, si f(x, j, z, a, b ) == o est l’équation trouvée -pour la