PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE SEIZIEME
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détermination de z, on fera b = ça, et l'on égalera à zéro la fonction prime de f (.r, y, s, a, ça), prise relativement à la quantité a , regardée comme seule variable; on aura une équation qui servira à déterminer a, et l’équation f (x, y, z,a , ça) = o sera l’équation primitive cherchée de la proposée du premier ordre, la fonction marquée par la caractéristique ç demeurant arbitraire.
J’ai cru devoir exposer cette méthode avec tout le détail nécessaire pour la faire bien entendre, parce qu’elle est nouvelle et qu’elle réduit toute l’analyse inverse des fonctions de deux variables qui tapassent pas le premier ordre, à l’analyse des fonctions d’une seule variable.
1)4. Pour éclaircir cette méthode par un exemple dont le calcul soit assez simple, supposons que l’équation projiosée soit de cette forme
z' = A y -t- Ba -l- f(x, zfc*
V et B étant des constantes, et f(x, a,) une fonction quelconque donnée de x et de z f . M En rapportant cette équation à la formule générale du numéro précédent, on aura ,
F fr,*, *,3) = aJ^Bz -4- f-(x,z,) ;
donc
et de là, en prenant les fonctions primes relativement à y et z,
de sorte qu’en faisant ces substitutions dans les trois équations du
premier ordre entre x, y, z, u, la»première d’entre elleS deviendra
laquelle ne contenant que la variable v , que l’on suppose fonction de x, aura une équation primitive indépendamment ^fes <teux autres. F.n effet, ‘si l’on multiplie cette équation par e ftr , e étant le nombre
ai .
dont le logarithme hyperbolique est l'unité, son premier membre deviendra la fonction prime de i/c -Br -+- » comme il est aisé de
s'en assurer, en cherchant la fonction prime de cette quantité par les formules du chapitre III. . *
Ainsi, comme le second membre est nul, on aura, en passant aux
fonctions primitives, (^it •+- g ) <? -Br = « étant une constante arbi-
traire. Cette équation donnera clone
» Bj*
et substituant pour u sa valeur on aura l’équation prime
dans lacpielle 3, étant la fonction piime de z relativement à y seul, on pourra regarder x comme constante, et 5 comme fonction de Ainsi, ranime le second membre 11e contient ni y ni z, sa fonction primitive
dans cette supposition sera simplement ^ — g -+- fle ,u ^ )'; donc, passant des fonctions primes relatives à. y seul, aux fonctions primitives, on aura l’équation'primitive / ■' . ' ,
p étant une fpnetion <|uelconque de x qui peut être ajoutée oopime constante, puisque sa fonction prime Velhtrvement à y est nulle.
De cette expression de s on tirera celles des deux fonctions primes 3' et 3, relatives à <r e^ y ; et l’on aura
3' = «Br»’*
ac
ces valeurs étpnt substituées dans l’équation proposée, elle deviendra aBe“îj —Ay-y B (— g -y «e Br jj+ B/>h- f^x, -r g -yae**^>
