CHAPITRÉ PREMIER

Des différentes manières dont on a considéré , les tangentes. Théorie

des tangentes et des contacts de différents ordres, d'après les principes de la géométrie ancienne.

1 . lies opérations ordinaires de l'algèbre suffisent pour résoudre les problèmes de la théorie des courbes, qui ne consistent que dans des rapports de lignes tirées d’Hiic certaine manière et terminées aux courbes ; mais la détermination des tangentes, des rayons de courbure, des aires, "etc., dépend essentiellement des opérations relatives aux fonctions. * .

Suivant les anciens géomètres, une ligne droite est taugente d’une courbe, lorsque ayant un point commun avec la courbe, 011 ne peut mener par ce point aucune droite entre elle et la courbe; c'est par ce principe qu’ils ont déterminé les tangentes dans le petit nombre des courbes qu’ils ont considérées. Mais depuis que, par l'application de l’algèbre à la géométrie, les courbes ont été soumises à l’analyse, on

a envisagé les tangentes sous d'autres points de vue ; on les a regardées commp des sécantes dont les deux points d’intersection sont réunis , ou comme le prolongement des côtés infiniment petits de la courbe considérée comme un polygone d'une infinité fie côtés, ou comme la direction du mouvement composé, par lequel la courbe peut être décrite ; et ces différentes manières de considérer les tangentes ont donné lieu aux méthodes algébriques fondées sur l’égalité des racines des équatioas, et aux méthodes différentielles fondées sur le rapport des différences infiniment petites, ou des fluxions des coordonnées. Ces méthodes ne laissent rien à désirer pour la généralité et la simplicité; mais ceux qui admirent avec raison l’évidence et la rigueur des anciennes démonstrations regrettent de ne; pas trouver ces avantages dans les principes de ces nouvelles méthodes. I^a théorie des fonctions que nous avons développée dans la première partie nous inet en état de traiter le problème des tangentes, et les autres problèmes du même genre, d’après les notions et les principes des anciens, et de donner ainsi aux résultats de l’analyse le caractère qui distingue leurs' solutions. *

2 . Pour considérer ces questions d'une manière générale, soient y = f.r l'équation d’une coûrbe quelconque proposée, et 7 = Fp l’équation d’ilne ligne droite ou d’une antre courbe que l’on veut comparer à celle-là; x et y sont l’abscisse et l’ordonnée de la première courbe, p et 7 sont aussi l'abscisse et l’ordonnée de l’autre courbe, rapportées aux mêmes axes que a ’ et y.

Pour que ces deux courbes aient mi point commun relatif à l'abscisse .r, il faut qu’en faisant p — x , 4>n ait 7 — y ; <lonc y — F.r, et par conséquent Fa: == fjr. ,

Pour comparer maintenant le cours lie ces courbes, au delà de ce poiut, 011 mettra dam lêurS équations jf-+- t à la place de x et de p, et l'on aura f (.r -+- i) et F(.r -+- i) pour les ordonnées répondant au même point de l’axe des x, yt éloignées de la quantité t (le f ordonnée qui passe pa y le point commun. Donc la differehce.de ces ordonnées sera f(x -F- *) — F (a’ -4- if, savoir’, en développant les fonction» et