DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE PREMIER. I Gy

observant que l’on a déjà fa? — Fa: — o,

iiî'x— V'x) 4- a - (f ff x - F "a?) 4- ~ (f m x - F M .r) -+- . . . ,

et cette différence exprimera la distance des points des deux courbes qui répondent à la même abscisse x 4- i.

On voit d'abord, en général, que cette distance sera d'autant plus petite, et que, par conséquent, les courbes se rapprocheront d’autant plus qu’il y aura plus de termes qui disparaîtront au commencement de cette série.

Ainsi, le rapprochement sera plus grand si l’on a f'x = F'#, c'està-dire si les fonctionsprimes des ordonnées des deux courbes deviennent égales pour la même abscisse x ; il sera plus grand encore si, de plus, les fonctions secondes f"x, F^x, des mêmes ordonnées, deviennent aussi égales, et ainsi de suite.

3. Mais pour voir de plus près en quoi consistent ces différents degrés de rapprochement, nous considérerons une troisième courbe quelconque, rapportée aux mêmes axes par les coordonnées ret t, et dont l’équation soit s — tpr , et nous supposerons d abord qu'elle ait aussi avec 'les deux autres un point commun pour la même abscisse x, ce qui exige que les ordonnées à cette abscisse soient égales , et, par conséquent, que l’on ait aussi f.r = fx — Fx>

Soient D la différence des ordonnées îles denx premières courbes pour la même abscisse x 4 - », et A la différence des ordonnées de la première courbe et de la troisième pour cette même abscisse x+t; on aura

et de même

Il est clair que la troisième courbe ne pourra passer entre les deux premières, à moins que pour une valeur quelconque de », aussi petite que l’on voudra, la valeur de D ne surpasse celle de A , abstraction faite des signes.

tjïo

THÉORIE DES PONCTIONS.

Développons les fonctions f (.r +i), F (x -+- i), <p (.r 4- 1 ) partiellement, suivant la formule du n° 40 de la première partie, et arrêtons-nous d’abord aux deux premiers termes. Nommant y une quantité indéterminée, mais renfermée entre les limites o et i, on aura par cette formule

f (•*■-+- *') = fa -+- i f fa 4- faf"(x 4 - j ) , •

et de même .

F (.r /) = Fx 4 - f f fa 4 - ^ F" (.r 4- j) ,

. <P (* 4- i) = 4- ip'-v 4- ^ <p" (.t-fj),

où la quantité y pourra n’être pas la même dans les trois fonctions, mais sera renfermée entre les mêmes limites.

Faisant ces substitutions dans les expressions de D et 0, on aura, à cause de fx — F,r = <p,r, en vertu du point commun aux trois courbes,

D = f (ffa - F fa) 4- 1 [f"(x 4 -y ) - F"(x 4- y )],

a = « (ffa — <pfa) 4 - l - [f'(x 4-y) — <p"{x -+-y)].

Supposons maintenant que les deux premières courbes soient telles que l’on ait ffa = Ffa, la valeur D se réduira à

„ - D = 7 ff"(x 4-y) — F'(x 4-y )J ;

et il est aisé de se convaincre que tant que le terme affecté de i dans l’expression de A ne sera pas nul, on pourra toujours prendre i assez petit pour que la quantité A devienne plus grande que la quantité D, abstraction faite des signes. En effet, en divisant ces deux quantités par t, il suffira que la quantité ffa — <p'x soit plus grande

que 4- y) — F*(x-f- y)], ce qui est évidemment toujours

possible, en prenant i aussi petit que l’on voudra ; et il est visible