CHAPITRE PREMIER

aussi qu’aussitôt que cette condition aura lieu pour une valeur déterminée de i, elle aura lieu, à plus forte raison, pour toutes les valeurs plus petites de

Donc la troisième courbe ne pourra, dans ce cas, passer entre les deux premières, à moins que la quantité f'x — <p'x ne devienne nulle, c’est-à-dire que l’on n’ait ç'x — f'x, auquel cas la conclusion précédente cessera d’avoir lieu.

4. Supposons ensuite que l’on ait à la fois F'x = f'x et F"x = f'x;

en prenant trois termes dans le développement des fonctions, nous aurons par la même formule du n° 40 (première partie):

f(x -4- i) = fx 4- if'x - 4 - f "x 4- f" (x -4- y),

F (x 4 - i) = Fx 4- iF'x 4 - ~ F"x 4- ^ F”(x 4- y),

<p (x 4 - t) = <px 4 - iqt-x 4 - — <p"x 4^jî'(ï4 -j).

Ces valeurs étant substituées dans les expressions générales de D et A, à cause de fx = Fx= <px, et f'x — F'x, f"x = F"x,' don-

neront

Ici, il . est aisé de voir que, tant que les termes affectés de i et de i 1 dans l’expression de A ne seront pas nuis, on pourra prendre i assez petit [jour que la quantité A devienne plus grande que D, abstraction faite des signes. Car, divisant ces deux quantités par i,

il suffira que la quantité f'x — <p'x 4 - -■ (f"x — 1 p"x) soit plus grande

que [<p"(x 4 - y ) — ,F'(x 4 - y )],.ce qui est évidemment possible

lorsque f'x — ^'x n’est pas nulle; et si f'x — p'x est nulle, alors, en divisant encore par /, il suffira que f"x — <p"x soit une quantité plus

THÉORIE DES PONCTIONS.

grande que ^ [<p'"(x -f- y) — F "(a? -+- y)]; ce qui est encore visiblement possible, en diminuant la valeur de i tant que l’on voudra, pourvu que f"x — <p"x ne soit pas nulle.

Donc, dans ce cas, la troisième courbe ne pourra passer entre les deux premières, à moins que l’on n’ait à la fois f ' j; = <p'x et <p"x = f"x.

On prouvera, de la même manière, que si l’on a pour les deux preirtières courbes

f'x — F'.r, fx = F" j? et f^r = F m .r,

la troisième courbe ne pourra passer entre les deux premières, à moins que l’on ait aussi

<p’x = f ’xt J>"x = f"x, <p"’x = ï m x ;

et ainsi de suite.

S. On peut conclure de là, en général, que si l’on a une courbe quelconque, et qu’une autre courbe donnée ait un point commun avec celle-là, ce qui exige que leurs ordonnées pour la même abscisse soient égales; que, de plus, les fonctions primes de ces ordonnées pour la même abscisse commune soient aussi égales, alors il sera impossible qu’aucune autre courbe que l’on mènerait par le même point commun passe entre les deux courbes, à moins que là fonction prime de son ordonnée pour la même abscisse ne soit aussi égale à la fonction prime de l’ordonnée commune aux deux courbes.

Et si, outre les fonctions primes de ces ordonnées, leurs fonctions secondes pour ta même abscisse étaient aussi égales, alors il serait impossible qu’aucune autre courbe qui passerait par le point commun passât entre les deux courbes, à moins que les fonctions prime et seconde de son ordonnée ne fussent respectivement égales aux fonctions prime êt seconde de l’ordonnée commune aux deux courbes, et ainsi du reste.

A proprement parler, ces courbes ne coïncident que dans le point