DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME. I

Donc l’équation de la ligne droite deviendra q — {x — xf'x -+- pfx,

p et q étant les deux coordonnées, et l’abscisse x étant regardée

comme constante.

Je dis maintenant que cette droite a la propriété qu'aucune autre droite ne pourra être menée entre elle et la courbe.

Car, soit s — <pr — g br l’équation d’une autre droite quelconque; pour qu'elle passe par le même point commun, il faudra que l’on ait aussi tpx = fx; et pour qu’elle puisse passer entre la courbe et la droite que nous venons de déterminer, il faudra, de plus, que l’on ait <p'x = fx (n° 3); ces deux conditions donnent

g -+- hx = fx et h = fx ;

d'où l’on rire pour g et h les mêmes valeurs que nous venons de trouver pour a et b; de sorte que cette dernière droite coïncidera avec la première.

Donc la droite déterminée par l’équation q—ay-bp, où a— f r — u fx, et b=f'x, sera tangente de la courbe représentée par l’équation y— fx, au point qui répond à l'abscisse p — x.

Puisque j = fx, on aura, suivant la notation employée dans la première partie,

donc les expressions de a et b seront plus simplement a ±=y — xy’ et b=y'.

Dans l’équation de la ligne droite q — a y- bp, il est aisé de voir que b exprime la tangente de l'angle que cette droite fait avec Taxe.

et que — ■ | est l’abscisse qui répond au point où la même droite coupe l’axe. Dqnc cette droite étant tangente à la courbe au point où p — x, y' sera la tangente de l’angle qu’elle fait avec l’axe, et x -h i = sera ce que l'on appelle la sous-tangente.

7 . Représentons par s = a -h fi r une autre droite qui passe par le même point de la courbe, r et s étant les deux coordonnées de cette droite, on aura pour ce point

donc

r=p = x, s=q=y; a “H bx = u -f -

Pour que cette droite coupe la première sous un angle dont la tangente soit m, comme b et f, sont les tangentes des angles que ces deux droites font avec le même axe, on aura, par les formules connues de la trigonométrie,

fi —

b -f- m 1 — hm ’

donc

1 — bm

où il n’y aura<]u’à substituer les valeurs de a et b.

Si l'on veut que cette seconde droite soit perpendiculaire à la tan-

gente, on fera ni = » , c’est-à-dire — = o, et l’on aura simplement

Ainsi — — : sera la tangente de l’angle que cette perpendiculaire que l’on appelle communément normale, fera avec l’axe, et 1 -4- * = — yy' sera la partie de l'axe comprise entre le point oit

elle coupe l’axe et l’ordonnée, c’est-à-dire la sous-normale.

Si les deux coordonnées x, y de la courbe étaient exprimées en fonctions d’une troisième variable quelconque, alors, prenant x' et y' |K»ur les fonctions primes de x et y relativement à cette autre variable, il n’y aurait qu'à mettre partout, dans les tormules précédentes,

’l—, à la place de y' (n° 50 , première partie). r ..."

11 serait superflu d'appliquer ces formules à des exemples ; car,