DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE DEUXIEME
pour peu que l'on sache les premiers éléments du calcul différentiel, on ne peut manquer d’apercevoir l’identité des formules précédentes
avec les formules différentielles connues. Il suffit de mettre à la place de la fonction dérivée y'.
8. Prenons maintenant le cercle pour le comparer avec la courbe proposée. L’équation générale du cercle rapportée aux coordonnées rectangles p et q est *'
où « et b sont les coordonnées qui répondent au centre, et c est le rayon du cercle. De là on tire
donc
q — b-\- \Jc* — (p — a) 1 = F p',
Fx — b -+- \Jc* — (x — «)* et F'x = *
"Faisons donc »
Fx — îx—y et F'x = f ’x—y', '•
et tirons de ces équations les valeurs de a et b, la seconde donne
d’où l’on tire
er
ensuite la première donne
* < * * y — b = \Jc* — (x — a)* = — = —
donc
Si l’on regarde- le rayon c comme donné, il ne reste plus d'arbi-
3* éd. aâ
THBORIB DES PONCTIONS.
traites dam l’équation ; et l'on en conclura que le cercle donné, dont le centre est déterminé par les coordonnées a et A, est tel qu’on ne pourrait mener entre lui et la courbe aucun autre arc de même rayon, mais placé différemment. ,
Car pour un autre cercle du même rayon c, rapporté aux coordonnées r et s, et dont les coordonnées du. centre seraient g et h, oh . aurait l’équation
s == <pr = A -4- \c* — (r — g)* ;
et pour que ce cercle eût le même point commun avec la courbe proposée, et put passer entre cette courbe et le cercle déjà déterminé, il faudrait que l'on eût aussi
tpx = f.r — y et <p'.r = Cx — y'.
équations qui serviraient à déterminer les deux quantités g et h ; or il est visible que ces équations sont de la même forme que les précédentes, les quantités g’ et A étant à la place de a et A: donc elles donneront pour g et h les mêmes valeurs que l’ona trouvées pour a et A; par conséquent, je nouveau cercle se confondra avec le cercle déterminé par ces valeurs.
Donc , suivant la même notion des tangentes , le cercle de rayon e , donf le centre sera déterminé par les coordonnée^ a et A , sera tangent à la courbe proposée dont x et y sont les coordonnées.
Comme cette conclusion a lieu, quelle que soit la valeur du rayon c, on peut regarder c comrae indéterminé dans les expressions de a et A ; alors ces coordonnées a et A appartiendront à une ligne droite dont l'équation résultera de l’élimination de c, et qui sera, par conséquent,
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- Cette droite séria donc Je lieu des centres de tous les cercles qui peuvent être tangents à là courbe; elle sera donc normale à la courbe; en effet , on voit que l’équation de cette droite, où a et A sont les coordonnées, coïncide avec celle de la normale trouvée plus haut (*i # 7), en -- y changeant r et r en « et A.
