DEUXIÈME PARTIE. »— CHAPITRE DEUXIÈME. I

9. Maintenant, parmi ees différents cercles qui satisfont aux conditions Fx = Ce —y, F'x =* f'x=j', on peut en trouver un qui satisfasse de plus à la condition F"x = Cx—y".

En effet , ayant trouvé ci-dessus .

on en déduira

ainsi, on aura l’équation

Or on a déjà trouvé dans le même endroit #

\fc' — (x — a)’ = — X -=A = — donc on aura

vi+y

et dë là

O +ÏV y" ■ *

Substituant .cette valeur dans les expressions de a et b, on aura

- a=x -yi b=Y + i±yi.

Les trois constantes a, b, c qui entrent dans i’équation générale du cercle étant ainsi déterminées, on en peut conclure qu’aucun autre cercle ne pourra passer entre la courbe proposée et celui qui est déterminé par ces valeurs de a, b, c. En effet, pour qu’une autre courbe quelconque rapportée aux coordonnées r, s, et représentée par l’équation s = <pr, pût passer entre la courbe et le cercle dont il s'agit, il faudrait que l’on eût ‘ r- t

<px = fx —y, y'x = f'ft «=/' et <p"x = f "x =/* (u° 4);-

l8o THÉORIE DES PONCTIONS. .

or, si cette courbe est un cercle, prenant les quantités g, h, k à la place de a, b, c, on aura pour ®.r, <p'x, ip"x les mêmes expressions que pour I\r, Fr, F".r, en substituant seulement, dans celles-ci, g, h, k au lieu de a, b, c ; donc les trois équations que l’on aura pour * la détermination de g, h, k seront les mêmes que celles par lesquelles on a déterminé- a, b, c; donc les valeurs de g, h, k seront nécessairement les mêmes que celles de a, b, c ; par conséquent, le nouveau cercle qui devrait passer entre la courbe et le cercle déjà déterminé, coïncidera avec celui-ci, et n’en formera qu’un avec lui.

Donc ce cercle aura, relativement aux cercles, la même propriété que la tangente à l’égard des lignes droites ; ce sera ce que les géomètres appellent cercle oscillateur ou ctrclc de éourbure, parce qu’il sert à mesurer la courbure de la courbe. , , •

La quantité c sera le rayon de ce cercle, que l'on nomme simplement rayon de courbure, 'et les quantités*' a,. b seront les coordonnées de la courbe qui sera le lieu de tous les centres de ces cercles;

Si l’on veut transporter ces formules au calcul différentiel, il n’y

ajira qu’à substituer ~ à la place de y', et à la place de y" .

10. On peut maintenant présenter cette théorie d’une manière plus générale. . -

Soient x, y les coordonnées de la courbe proposée, qui peut être quelconque, et />, q les coordonnées de la courbe que l’on veut lui comparer, et qui est supposée donnée.

Supposons que l’équation de cette courbe renferme, avec les variables p et q , des constantes indéterminées a, b, c, etc. , et représentonsla par

Si dans cette équation on change p en .r, q en y, on a F(x,/, a, b , c-,...) =o,

équation qui donne ia condition nécessaire pour que la courbe donnée

ait un point commun avec la courbe proposée.