DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DEUXIEME. l8î

• Dénotons par F (.r, y, a, b, c,...)' la fonction prime, par F (a:, y, a, b, c, . la fonction seconde, etc., de la fonction F (x, y , a, , b, c, ...), en regardant y comme fonction de x, et a, b, c, etc., comme des constantes.

Cela posé, s’il n’y a que deux constantes indéterminées a et h, et qu’on les détermine par les deux équations

alors la courbe donnée, dont l’équation est F (p, (/, a, b) = o, sera tangente de la courbe proposée, au point où p = x.

S’il y a trois constantes indéterminées a, b, c, et qu’on les détermine par les trois équations \ *

F (xÿy, a, b, c) = o, F (x, y, a, b, c)' = Of. F (x, y, a, b, ç)"= o,

la courbe donnée, dont l’équation est F (p, ej, a, b, c) = o, sera osculatoire de la courbe proposée, c’est-à-dire aura même courbure, au point qui répond à l’abscisse p = x ; et ainsi de suite.

Cela suit immédiatement des principes établis ci-dessus, car l'équation prime F (x, y, q, b, e, ...)'= o donne la valeur de j' en x,.y, a, b, c,... ; l’équation seconde F (x,y, a, b , c,...)" = o donne celle de y" en x, y, Y et a, b, e,...; et ainsi de suite.

On peut, en général, appeler contact du premier ordre le rapprochement de deux courbes qui se touchent dans un point ; contact du second ordre, lorsqu’elles ont de plus la mêpie courbure; et ainsi de suite.

On peut appeler aussi les constantes a , b, c , etc., qui déterminent le contact, éléments du contact.

Ainsi, le contact d’un ordre quelconque m dépendra de m -+- i éléments a, b , c, etc. ; et la détermination de ces éléments se tirera de l’équation i *

de la courbe donnée qui forme le contact, et des équations dérivées de celle-ci jusqu’à celle de l’ordre •

La propriété analytique de ces contacts est donc que, lorsque deux, courbes ont entre elles un contact d’un ordre donné, leurs ordonnées • et les fonctions primes, secondes, etc., de ces ordonnées jusqu'à l’ordre du contact sont les mêmes , et leur propriété géométrique consiste en ce qu’une autre courbe, qui n’aura pas avec elle un contact du même ordre, ne pourra être menée entre l’une et l’autre (n° 5) .

H. La courbe donnée qui forme le contact étant, par exemple, une ligne droite dont l’équation la plus générale est

y — a — bx = o,

ne sera susceptible que d‘un contact, du premier ordre, puisqu'il n’y a que deux éléments a et b ; et l’on aura pour la détermination de ces cléments les deux équations

Y — a—bx — o, y' — b = o,

d’où l’on tire

b = y' et a —y — xy', comme ci-dessus (n°6).

Prenons pour la courbe du contact un cercle dont l’équation la plus générale est

elle ne sera susceptible que d’un contact du second ordre, puisqu’il

• n’y a que trois élément^ a, b , c. On déterminera donc ces éléments par les trois équations

dont la seconde et la troisième sont les équations prime et seconde de la première. De ces équations on tire tout de suite

comme plus haut (n°9). • •