DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME

Si l’on prenait l’équation à la parabole y = a -4- bx -y ex’, qui n’a aussi que trois constantes arbitraires, on aurait de même, pour la détermination de ces constantes regardées comme éléments d’un contact du second ordre, les équations

y — a — bx — ex 1

lesquelles donnent

y' — b — aex == o,

;=•!-, b=ÿ~ xy".

*. a—y — jy

y — ac = o ,

Mais si l’on prenait l’équation à la parabole cubique

elle pourrait avoir un contact du troisième ordre, dont les éléments seraient a, b, c, d, et se détermineraient par les équations

y — a — bx ex’ — dx‘ = o,

y' — b — aex — îflr* ztz o,

y" —, ac —

6 dx == o ,

on aurait ainsi

— Z xr -i — 1

y — ay' -+■-£-

et ainsi de suite.

12. Enfin, si l’on demande la courbe la plus simple qui aura avec une courbe proposée un contact d’un ordre quelconque m, prenant x et j pour l’abscisse et l’ordonnée de la proposée, p et q pour celles de la courbe cherchée, et regardant y comme fonction de x, q comme fonction de p, on fera , .

i/+ ( '7'V+ ligàv* +

en prenant dans le second membre autant de termes qu’il y a d’unités dans m -+- î .

i84 THÉORIE DES FONCTIONS.

Car, en prenant les fonctions dérivées relativement à p, et faisant P = x, on aura q =y, q' =,y', = y”, etc -> jusqu’à q m =y m ;

donc ces deux courbes auront, dans le point commun qui répond à p — x, les conditions nécessaires pour un contact de l’ordre m‘ tmr

La courbe représentée par l’écjuation précédente, et qui est, comme l’on voit, du genre parabolique, aura ainsi, dans le point commun à la courbe proposée, le cours le plus approchant de celui de cette courbe, de manière qu’aucune autre courbe du même genre ne pourra passer entre ces deux, si elle n’est pas d’un degré plus haut.