La théorie que noys venons de donner sur le contact des

courbes n’est qu’.une suite de la théorie générale du développement des fonctions, exposée dans ja première partie. Mais nous avons vu (n os 29 et suivants, première partie) qu’il y a des cas particuliers où ce développement échappe à la forme générale, et que ces cas sont ceux où uue valeur donnée de x rend infinies les fonctions dérivées f'.r, r.c, etc. Alors le développement de ((x i) contiendra nécessairement, pour cette valeur de x, d’autres puissances de i que les simples puissances de », /*, etc. , et l’analyse des n°" 5 et 4 se trouvera en défaut. Quoique ces exceptions ne portent aucune atteinte à la théorie générale, il est nécessaire, pour ne rien laisser à désirer, de voir comment elle doit être modifiée dans les cas particuliers dont il s'agit. »

Supposons donc qu’en faisant x=rn, la fonction f (x -4- i), développée en une série ascendante de i, soit de la forme t

f tu + A# -f - B/ -l- Ci -4“ • • » y

fjty v, etc., étant toujours des nombres positifs.

Je remarque d’abord que l'on peut trouver les coefficients A, B, G, etc., ainsi que les exposants A, /u, r, etc. , par une méthode semblable à celle du n° 3 de la première partie. On fera d'abord

f (m -+- i) = fi n