deuxième partie. — chapitre deuxième. i

et l’on prendra pour i la plus haute puissance de i qui divisera f (m - 4 - i) — fin, après les réductions convenables, de manière que le quotient P ne devienne ni nul ni infini en faisant i — o. Lorsque m — o, l’exposant A pourra être négatif; dans tout autre cas, il sera évidemment toujours positif (*). On fera ensuite

A étant la valeur de P lorsque i = o, et l'on prendra pour i' la plus haute puissance positive de i, qui divisera P — A, de manière que le quotient Q ne devienne ni nul ni infini lorsque i — o. On continuera en supposant

B étant la valeur de Q lorsque i = o, et i la plus haute puissance positive de i qui divisera Q — B, en sorte que le quotient R ne soit ni nul ni infini lorsque * =o; et ainsi de suite. On aura, de cette manière,

f (m -f- 1 ) = f/n + iP= f/« / A + i

On a, pour trouver les termes successifs d'une série, des méthodes plus courtes ou d’un calcul plus facile; mais la précédente a l’avantage de ne développer la série qu’autant que l’on veut, et de donner la valeur du reste. Nous n’aurons pas besoin, pour notre objet, de connaître ces restes; il nous suffira de savoir qu’ils peuvent toujours s’exprimer par des quantités de la forme que nous venons de trouver.

Cela posé, considérons la courbe représentée par l’équation r = Cr, x étant l’abscisse, et r l’ordonnée; supposons qu'elle ait un point

{*) Une inadvertance singulière a été commise ici par Lagrange. L’exposant À ne peut jamais être négatif, car le développement de f[m -f- / } ne peut contenir de puissances négatives de t que si f{ m ) est inlini; d'ailleurs Thypothèse de m ==o ne saurait constituer aucune particularité: on peut toujours faire en sorte qu'il en soit ainsi, par un déplacement de l'origine des coordonnées sur l’axe des abscisses.

Je n’ai pas cru pouvoir me permettre la moindre altération au texte de l’illustre auteur, et j'ai laissé subsister la faute dans cette nouvelle édition. [J. -A. Serret .}

3* éd, a4