THEORIE 1 >ES FONCTIONS

commun avec une autre courbe dont l'ordonnée soit Fr, et que ce point réponde à l’abscisse ni, en sorte que l’on ait Fm = fm. Au delà de ce point, les ordonnées des deux courbes seront f (ni -+- i), F (m -j- i) pour une abscisse quelconque ni -P i ; et leur différence, que je désignerai par I), sera f (m -p i) — F (ni -P i).

Développons la fonction F (ni -p i) comme la fonction f (ni -4- i), et soient

h (m -H *) = Fm -4- i p y p = a -h i q, q = fi -h i r, etc. ,

y, t, etc., étant des nombres positifs, et ®, |5 etc., étant les valeurs de p, q, etc., lorsque i = o; on aura d’abord, à cause de Fm = fm,

1 ,es deux premiers tenues du développement de f (ni -t- i) étant I ni -f- i A, et ceux du développement de F (m -t- t) étant Fm -t- / supposons qu’ils deviennent égaux, en sorte que l’on ait aussi p = A, et a. = A ; la première de ces deux conditions dépendra de la nature des fonctions désignées par f et F, mais la seconde pourra toujours être remplie comme la condition de Fm = fm par le moyen des constantes arbitraires a, b, c, etc., qui entreront dans la fonction Fr. On aura donc, dans ce cas,

et il sera impossible qu'aucune autre courbe passe entre les deux courbes dont il s’agit, dans le même point qui répond à l’abscisse m, à moins que les deux premiers termes du développement de (p(m -p i), 9.r étant l’ordonnée de cette autre courbe, ne soient aussi les mêmes que ceux du développement de f(m -p i).

Car, s'ils sont différents, ils ne pourront passe détruire dans l’expression de la différence A des deux ordonnées f (m -p i) et 9 (ni -p i), et l’on aura, en général,

à cause de <pm = fm par la condition supposée de la coïncidence des