DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME

courbes dans le point qui répond à .v—m. Cette expression de A

étant comparée à celle D = i Q — i //, il est facile de voir qu’à cause que les exposants u, <r sont nécessairement positifs par la nature du développement, il sera toujours possible de prendre i assez petit pour que la valeur de A surpasse celle de D, abstraction laite îles signes, tant que l’on n’aura pas p — A et * = A, comme dans les deux premières courbes. Donc, dans tout autre cas, la troisième courbe passera nécessairement en dehors des deux autres.

En poussant plus loin le développement des fonctions f (/« -+- # ) et F {m -h i), on prouvera , de la meme manière, que si les trois premiers termes du développement de ces fonctions sont les mêmes, aucune autre courbe ne pourra passer entre elles, à moins qu'elle n'ait aussi les mêmes termes communs avec celles-là ; et ainsi de suite.

On pourra donc appeler aussi, comme dans le n" 10, contact du premier ordre, du second, etc. , le rapprochement de deux courbes pour lesquelles les deux premiers termes, ou les trois premiers, ou, etc., seront les mêmes dans les développements «les fonctions qui représentent les ordonnées.

Ainsi, la courbe dont l’équation est r = f.r étant donnée, la courlie la plus simple qui aura avec elle un contact du premier ordre au point où x — m, sera représentée par l’équation

y = {m -I- A (.r — ni) ;

et celle qui aura un contact du second ordre le sera par

y = f/n -+- A (æ — m )‘ Il (.r — m)' * ;

et ainsi de suite. Car, en substituant m -f - i pour .r, on aura simplement

lesdeux premiers termes fm-t- A/ ,oulestroispremiersf/n-t-A/ - 4 -IÎ 1 ,

ou, etc. , du développement de f(/n -f- i). Ces courbes auront donc aussi dans le même point le cours le plus approchant de celui de la courbe proposée, et pourront, par conséquent, servir à en faire connaître les propriétés comme les points singuliers, les points de rebroussement. etc.; sur quoi voyez Y Analyse des lignes courbes de Cramer.

fi. Supposons maintenant que, dans l’équation y == fx de la courbe proposée, on substitue ’ à la place de x, et que l’on développe

la fonction f ’ en une série ascendante de la forme

At - f- 13/ — f- Ci “f* • • • •

Si l'on fait la même chose pour l’équation y = Fx d’une autre courbe, et que les premiers termes du développement de F ! soient les même*

que ceux du développement de f 4 , on pourra prouver, par un raisonnement semblable à celui qui a été fait ci-dessus, que l’on pourra toujours prendre i assez petit pour qu’aucune autre courbe, représentée par l’équation >' = ipx, et dont la (onction q> ‘ développée de même en série ascendante n’aurait autant de termes identiques avec ceux de ces courbes, ne puisse passer entre ces mêmes courbes dans les points qui répondront à l'abscisse x = ' > et à toutes les abscisses plus grandes à l'infini, puisque dès que la condition qui peut empêcher que cette courbe ne passe entre les deux autres aura lieu pour une certaine valeur de i, elle aura lieu, à plus forte raison, pour toutes les valeurs de i plus petites.

D’où l'on peut conclure que la courbe dont l'équation sera simplement

y — Ax , ou y = Ax Bx * , ou etc.,

ira en s’approchant continuellement de la courbe proposée, à mesure que les abscisses x deviendront plus grandes, mais sans pouvoir jamais l’atteindre, de manière qu’elle parviendra à un terme passe lequel aucune autre courbe du même genre parabolique, ou hyperbolique, qui ne sera pas d'un degré plus haut, ne pourra passer entre les deux courbes. Cette seconde courbe sera donc une asymptote de la première, et cette idée «le l’asymptote me parait la plus simple et la plus générale que l'on en puisse donner, en même temps qu'elle est aussi la plus propre à caractériser la nature du rapprochement «pii constitue le vrai asymptotisnae. ’

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