CHAPITRE TROISIÈME

Problèmes directs et inverses sur le contact des courbes. Analyse des cas oit /’ on propose une relation entre les deux éléments du contact du premier ordre. De la courbe représentée par l’équation primitive singulière d'une équation du premier ordre.

15. Les problèmes que l'on peut proposer sur les tangentes, les rayons de courbure, etc., et en général sur les contacts des courbes, sont de deux sortes: directs ou inverses. Les problèmes directs se réduisent toujours à trouver quelques-uns des éléments du contact d’un certain ordre , et comme ils ne dépendent que de l'analyse directe des fonctions, ils sont toujours résolubles analytiquement. Dans les problèmes inverses, on suppose qu'il y a une relation donnée entre quelques-uns de ces éléments et les coordonnées x, y, avec les fonctions dérivées y', y", etc.; et cette relation, en y substituant les expressions générales des éléments en x, y, y \ y " , etc. , devient une équation dérivée d’un certain ordre, dont il faut trouver l'équation primitive pour avoir celle de la courbe cherchée en x et/. Ces problèmes conduisent donc immédiatement à des équations dérivées, et leur solution dépendant essentiellement de l’analyse inverse des fonctions, se trouve sujette à toutes les difficultés de cette analyse.

11 y a cependant des cas où l’on peut les résoudre directement par des considérations particulières, qui méritent d’autant plus d'attention, qu’elles tiennent à des finesses d’analyse qu’il est intéressant de connaître.

| cjo THEORIE DES FONCTIONS.

Ces cas sont ceux oii la relation donnée n’est qu’entre les éléments mêmes du contact, sans que les coordonnées ,r, y y entrent.

Pour donner d’abord, par un exemple, ime idée de ces sortes de problèmes, supposons qu’on demande la courbe dont chaque tangente coupera deux ordonnées ( prolongées s’il est nécessaire) répondant aux abscisses données x = m et x = n, de manière que le produit des parties de ces ordoimées comprises entre la même tangente et l’axe des abscisses soit toujours constant et égal a K .

Puisque l’équation à la tangente est (n° 6)

q = a -+- bp,

en faisant successivement p — m et p = n , on aura les deux valeurs de q, dont le produit devra être égal à K; on aura donc, entre les éléments du contact a et b, l’équation

(a -+- mb) (a -4- nb ) = K .

' Wn - M j ■

I ,a marche naturelle et directe serait donc de substituer, à la place de a et b, leurs valeurs y — xy' et y’ (numéro cite); on aurait alors cette équation du premier ordre

dont il ne serait pas aisé de trouver l’équation primitive par les méthodes ordinaires.

Mais si l’on prend les fonctions primes de cette équation, il vient celle-ci,

dont tous les termes se trouvent multipliés par y" -, de sorte quelle

peut se décomposer dans ces deux :

y*= o et [y-^ r (n—x)y , '\iim—J)-h[y^r{m—x)y , \{n — x) = o. - r - ijj* ^ . Z*? it -4* . “ '

La première, qui est du second ordre, donne sur-le-champ celle-ci du

premier, • v ~ - &