DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE TROISIEME. 19I

où A est une constante arbitraire; ainsi, parles principes établis dans le n“ 46 et suivants, de la première partie, on aura l’équation primitive complète de la proposée, en y substituant simplement cette valeur de y'.

Cette équation sera donc de la forme

[y — Ax -+- «A) (y — Ax -f- «A) = K ;

savoir, en développant les termes

(y — Ax)’ -+• (y — Ax) (m -4- n) A -4- mnA* — K = o;

d'oii, en extrayant la racine, on tire

en prenant pour B la racine, de l’équation

B 5 -4- (m - 4 - n) AB mnA* — K = o;

d’où l’on voit que l’on n’a de cette manière qu’une équation à la ligne droite.

En effet, l’équation y" = o ayant donné y' = A, celle-ci donnera l'équation primitive

y = Ax -4- B,

A et B étant deux constantes arbitraires ; mais par la théorie des numéros cités ci-dessus, ces deux constantes ne peuvent pas être arbitraires à la fois, car il faut que l’équation trouvée coïncide avec la proposée, pour une valeur de x; or, faisant x = o, 011 a

donc 011 aura entre A et B cette équation de condition

(B -4- ni A) (B -4- «A) = K,

qui est la même que celle que nous avons trouvée ci-dessus, pour la détermination de B en A .

Venons maintenant à l’autre équation qui n'est que du premier ordre ; celle-ci servira également à trouver une équation primitive de la proposée par l’élimination de y'. En effet, elle donne

Y '— m— n)jr

valeur qui, étant substituée dans la proposée, la réduira à celle-ci, 17 (m — ny

équation à l’ellipse ou à l’hyperbole, suivant que K sera une quantité

positive ou négative. L'axe focal sera m — n, le second axe a \Jdsz K , et les deux sommets seront aux points où x = m et où x — n.

La propriété des tangentes qui nous a conduits à cette équation est démontrée dans la proposition XLI1* du troisième livre des Coniques d’Apollonius; mais l’analyse précédente a l’avantage de faire voir que cette propriété appartient uniquement aux sections coniques.

16. Si l’on examine maintenant les deux solutions que l’on vient de trouver, il est facile de voir que la première ne donne que la ligne droite même que l’on a supposée tangente, en regardant les deux éléments n et b comme constants : car l'équation y = A.r + Bne diffère point de l’équation q z= a bp de cette tangente, l’équation entre les deux constantes A et B étant évidemment la même que celle que l’on a supposée entre les quantités b et a.

En effet, il est visible que toute droite peut résoudre le problème, pourvu qu’il y ait entre ses deux constantes la relation donnée par les conditions du problème; et comme il reste une constante arbitraire, il s’ensuit que l’équation de cette droite doit être l’équation primitive complète de l’équation du premier ordre donnée par le problème. Donc, analytiquement parlant, le problème est résolu complètement par l'équation mèmey = a + bx, a et b étant deux constantes, dont l'une est arbitraire, et l’autre en dépend par l’équation

(a -+■ rnb) (a -+■ nb) — K .