DEUXIÈME PARTIE. — CH APITRE TROISIEME. I g

A l’égard de la seconde solution, comme elle ne contient point de .constante arbitraire, elle est à la rigueur moins générale que la première, et ne peut être qu’tin cas particulier de cellé-ci, ou bien une solution singulière provenant de la considération que nous avons développée au n° 60 de la première partie.

11 est d’abord jacile de se convaincre que cette dernière solution ne peut être un cas particulier de la première ; car il faudrait pour cela que l’équation y — a -+- bx de la première put satisfaire à l’équation

r* -t- — — — ' r ) '' = o de la seconde, en déterminant convena-

blement sa constante arbitraire, et, par conséquent, qu’en éliminant

>• de ces deux équations, la résultante ne contint plus que des con- , * stantes; ce qui h est pas.

Elle ne peut donc être qu’une solution singulière ; et, en effet, nous avons vu (n“ ail), première partie) que le caractère de l’équation primitive singulière de toute équation du premier ordre de la forme y' — F (x, y) est de rendre infinie la fonction F (y), c’est-à-dire la fonction prime de F (x,y) prise relativement à y seul. Or, l’équation

de notre problème »

( y -+- (m — x)y r ) [ y -H (« — x) r ' I = Jv ,-

étant mise sous la forme précédente, donne

p/ , v(ax— m— /<)-hv4K(m— x)(n — —

d'où l’on tire - ’ *

p/ , , (m — «)*•> — n) y ’4K {m — x)(n — x)+ (m — njS ’ ,

où l’on voit que F'(/l devient infini par l’équation -

4K (rn — x) (n — x) -4- (m — «) a J a .== 6,. qui est celle de la seconde solution.

17. En examinant la manière dont nous sommes parvenus à cette

3 r ëd. : . • • * * 1 a5

THÉORIE DES PONCTIONS.

solution, on verra qu’elle dépend de cette circonstance, que les fonctions primes de a et b regardés comme fonctions de æ, y, y' sont entre elles dans iin rapport qui ne contient pas lu fonction seconde ) "; en effet, ayant b = y' et a =y — xy' , on a

b' = y* 'et a — — jçyf, « *.

ce qui donne - - , * ,

de sorte qu'en prenant la fonction prime de l’équation

[a 4- ni b) (a 4 - «$) = K,, *

et divisant par b', on a une équation qui est également du premier ordre, et le résultat de l'élimination de y' entre ces deux équations donne l'équation aux sections coniques trouvées pins haut. Or je considère que les quantités (l et h sont données par les équations