DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE TROISIEME

d’où l'on tire

b — (»*— m— «)j t • a(m — x)(n — or)

valeur qui, substituée dans l’autre équation, donnera comme ci-dessus Inéquation

"(ni — /*) i^"’ /j K \i n — .r) {ri — •*)>= o,

qui îentérme la seconde solution. *

On peut encore considérer qlie l'équation (a -P tub) (« -t- h b) = K , qui contient la .relation entre net b. pans latjuellé -consiste la condition du problème, donne, paria résolution, à — {b, valeur (fui. étant substituée dans l'équation y = à bu , la réduit à celle-cf, y = fri -+- bx, qui ne contient plus que la constante arbitraire./», que l’on éliminera par l'équation prime prise relativement à b , savoir, f 'b -t- x o, ce qui donnera encore le même résultat Or, par ce que l'on a vu ci-dessus , l’équation ÿ ç= f b eH l'équation primitive

complète de l'équation du premier ordre donnée par lu problème; doue l'équation résultante de ^élimination de,/» entre celle-ci et Inéquation f'b -4j.c = osera précisément l’équation.primitive singulière, d’après la théorie du n° GO de la première partie.

D’un autre côté, comme l'équation r — t'b -t- bu est l'équation générale des tangente» dp l,u conrlie cherchée (n° là»), on en peut conclure que, pour avoir l’équation de cette courbe, il n'y a qu’à regarder la constante arbitraire; /» «pii dificrentie les tangentes,, comme variable, et la déterminer par la condition (pie l équation prime relative a cette seule variable ait lieu en meme temps. Et de là l’on voit aussi que l’équation primitive singulière (pie nous avons -trouvée pour l’équation du premier ordre donnée par le problème! n'est autre chose que Inéquation de la courbe formée par l’intersection continuelle des droites représentée# par l’équation primitive complète de la thème équation du premier ordre.

18. Après avoir ainsi éclairci la matière par un exemple, nous allons la traiter d'une manière générale. Sort, comme dans le n“ 10,

l Wm Cïf - • W.

F a, b) — o l’équation de la courbe du contact, que nous avons supposée ci-dessus une ligne droite, et soit <p (a, b) = o l’équation qui détermine la relation entre les deux éléments a et b, donnée par la nature du problème proposé; suivant la théorie donnée dans ce même numéro, il faudra déterminer a et h par les deux équations ,

F (x, y, ti, b) == o et F (x, .y, *«, />)'== o.

< )r nous avons vu, dans la première partie (n° 46) , que si l'on élimine n et o dés trois équations

Fv,/.«,A)=o, F (x, y, a, A)' = o et F (x, y,.«. b)" =

on a une équation du secoud ordre entre x, y, >•' et > que nous désignerons par V — o, .et dont F (x, y, a, i) — o sera l'équation primitive complète, u et b étant les constantes arbitraires; nous y avons vu aussi que si l’on élimiug a ou b des deux premières, les deux résultantes seront des équations primitives du premier ordre de la même équation V = t>, et dont celle-ci sera le résultat, en prenant de nouveau les fonctions primes et éliminant la constante qui y était rester (n® 47). Donc, si de ces deux premières équations on tire les valeurs de n et b , que nous désignerons par P et Q, en sorte «pie l'on ait « = 1‘, b==Q, P et Q étant des fonctions de x, y et y'; qu'ensuite I on prenne les fonctions primes de ces équations, en y regardant toujours n et b comme constantes, on aura les équations du second ordre P' = o, (J' — o, qui devront coïncider avec l'équation

V = o; de sorte que l’on aura nécessairement