première partie. •; — ■ chapitre premier

devient, après la division par i,

l = aP \Jt -b tP’; * faisant t*== o, P devient />, et l’on aura

i = zp^jr; d’où P —

On fera donc P = p ~b <Q, ce qui étant substitué, on aura, après la division par i,

o = y- -+- aQ \fx -b ^5

B*sr«viv t *■ 51

Faisant r’ = o, Q devient donc ou aura

d’où l'on tire

8 x\Jx

On fera donc Q = q -+- r’R , et ainsi de suite.

On peut, à la vérité, trouver les valeurs de p , r/, r, etc., d’une

manière plus expéditive , en faisant tout de suite l'équation

yX -b i = \x 4- pi -b qP b rP -b ■ ■ ■ ,

l’élevant au carré pour dégager la quantité i de dessoas le signe, et comparant ensuite les termes affectés des mêmes puissances de i, pour que cette quantité puisse demeurer indéterminée, comme on le suppose ; mais la méthode précédente a l’avantage de ne développer la série qu’autaut que l’on veut, et de donner In valeur •« iP*'»

exacte du reste.. En effet, si l’on voulait, par exemple, s’arrêter au , Jt. \ second ternie pi, on aurait Q i 1 pour la valeur du reste, et l’on pour-

iU ’ 'mm —■ - -

mit déterminer Q par la résolution de l’équation en Q. Dans l’exemple ci-dessus, cette équation est ■

THÉOBIE DES FONCTIONS, pt, pour la résoudre de manière que l'expression de Q ne présente pas la quantité^ au dénominateur, il n’y a qu'à faire Q = ce qui réduira l'équation à cette forme:

4V(ax \/7i

d’où l’on tire

\ vit -

et comme Q ne doit pas devenir infini lorsque i — o (0*3), il faudra que V ne devienne pas nul dans le même cas: par conséquent, il faudra prendre le signe inférieur du radical; on aura ainsi

V == — 2 \JC -f- i)

. Je

*/‘ v ' Pt de là

•fjvt v t finFWi V l^> , v sj*

a y'x (ax -t-i ) 4- 4* v x 4- i

a vx(v / .r4-<4- s/xj’ ’é **

Aff i lé V '

v * Æy>

comme plus haut. On en usera de meme dans tous les cas sem-

blables.

î -VT V f «i.

rr-:'

lÉOlH r ^

r/Æi

G. Mais le principal avantage de la méthode que nous avons exposée, consiste en ce qu elle fait voir comment les fonctions p > ij, « r, etc;, résultent de la fonction principale lx, et surtout en ce qu elle prouve que les restes fP, iQ, /11, etc., sont des quantités qui doivent devenir milles lorsque i=o; d’où l’on tire cette conséquence importante, que dans la série f.r 4- pi 4- qi 3 4- ri* -+-•••« qui naît du développement de f ( r 4- /) , on peut tou jours prendre i assez petit pour qu’un terme quelconque soit plus grand que la somme de tous les termes qui le suivent, et que cela doit avoir lieu aussi pour tontes les valeurs plus petites de i. ’ ‘ ,- r

Car, puisque les restes / P, /Q , /R , etc. , sont des fonction» de i qui Sÿ deviennent nulles par la nature même du développement , lorsque

i= o, il s'ensuit qu'en considérant la courbe dont i aérait l’asbcisae 9

ï{'. et l'une de ces fonctions l’ordonnée, cette courbe coupera l'axe g *' /■;} *ïd

% t if *

*4 itt -fl

l’origine des abscisses ; et. à moins que ce point ne soit un point sin-