deuxième partie. — chapitre quatrième. ao

M, N, L étant des fonctions de x, y, y' et y" sans y m ; de sorte qu'en prenant les fonctions primes de 1 équation <p (P,Q, R) = 0 , on aura

PV(P)H-QV(Q)-+-RV(R) =0 ; \

savoir :

V [Mp'(P) -(- N(p'(Q) -t- L<p'(R)] =o,

équation qui se partage naturellement dans ces deux-ci,

V = o et M<p'( P) -+- N?' (Q) -+- Lp'(R ) = 0 ,

ilont la première est du troisième ordre, et dont la seconde n’est que du second.

I. équation V = o a, comme nous l’avons déjà vu, pour équation primitive complète l’équation même

de la courbe du contact, dans laquelle a, b, c sont les trois constantes arbitraires; mais, comme l’équation du problème <p (P, Q, R)— 0 n'est que du second ordre, il doit y avoir une relation entre ces trois constantes, qui les réduise à deux arbitraires; et cette relation est donnée par I équation ip(a,b,c) = o qui résulte de la précédente, en substituant les valeurs de P, Q, R, tirées des équations a = P, b = O, c = R.

I. autre équation étant du second ordre, on pourra, par son moyen, éliminer la fonction y" de l’équation <p ( P, Q , R) = o, et la résultante sera une équation primitive de celle-ci du premier ordre, mais qui ne contiendra point de constante arbitraire. Cette équation sera donc le résultat de l'élimination des quantités a, b, c et y \ au moyen des équations

F(x,y,a,b,c) = o, F (x,y, a, b, c)’ = o, F (x,y, a, b, c)'=oj <P (o, b, c) = o et

Or, en regardant a, b, c comme des fonctions de x, la fonction

prime de F (x, >•, a, b, c) sera »

en dénotant simplement par F' (a), F '(b ) , F'(e) les fonctions primes de F (x,/, a i b, c) prises relativement à a, b, c, regardées comme seules variables ; donc les deux équations

F (x, y, «, b,c) = o et F (x, /, a, b, c)' = o

emporteront celle-ci:

De plus, la fonction prime de F (x, j, a, b, casera, par la même raison,

en dénotant de même par F '(a)', F '(&)', F'(r)' les fonctions primes de F'(x, Xt a i b , c)', prises relativement à a, b, c, regardées comme seules variables; et comme, dans la formation de ces fonctions dérivées, on regarde les quantités a, b, c comme indépendantes de x et x* Ü est aisé de prouver, par les principes établis dans la première partie (n° 74), que les fonctions F'(a)', F'(/>)', F '(<■)' seront la même chose que les fonctions primes des fonctions F '(a), F '(b), F'(c), prises relativement à x et Donc les deux équations

F (x, x, a , b, <•)' = o et F (x, j, a, b, c)" = o

emporteront encore nécessairement cette autre-ci :

Si donc on combine les deux équations