DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE QUATRIÈME. ao

avec l'équation

qui résulte de q> (a, b, c) = o, en prenant les fonctions primes, on aura, par l’élimination des quantités et une équation en a, b , à et a-,

y, y' sans y ", laquelle sera équivalente à celle que l’on aurait déduite des deux équations

F ( x , y, a, b, e)" = o et M<p'(«) -+- Ni p'(b) -f- Lip'(c) = o,

par l’élimination de y". Ainsi, il n’y aura plus qu’à en éliminer «, b , <• au moyen des équations

F(x,/, a, ?>, c) = o, F{x,y,a,b,c)'=o et <p(a,b, c) = o,

et le résultat final sera la même équation primitive du premier ordre de l’équation

laquelle ne contenant point, par sa nature, de constantes arbitraires, ne pourra être qu’une équation primitive singulière.

En effet, si pour simplifier la solution on commence par tirer fa valeur c de l’équation ç (a, b, c) = o, et qu’on la représente par

4 (a, b), alors la solution se réduira à éliminer a, b et ^ entre les deux équations

et les deux équations primes de celles-ci, prises relativement à a et 0 seuls et divisées par a, procédé analogue à celui du n° 18.

21. En général, si l’on a une équation en r , y et deux constantes arbitraires a et b, que nous représenterons par f (.r, y, a, b) = o; en éliminant ces deux constantes par le moyen des deux équations dérivées f (x, y, a, b)'= o et f (x, y, a, b)" — o, on aura une équation du second ordre V = o, qui appartiendra à toutes les courbes

2o6 théorie des fonctions.

représentées par l’équation

en donnant à n et b des valeurs quelconques, et dont, par conséquent, celle-ci sera l'équation primitive complète.

Donc elle appartiendra aussi à la courbe, ou aux courbes formées par toutes ces courbes, et qui les envelopperont de manière qu elles aient avec chacune d’elles un contact du second ordre, c’est-a-dire dans lequel les y, y' et y" soient les mêmes. .Mais les quantités a et b étant constantes dans chaque courbe enveloppée, et variables dans les courbes enveloppantes, pour que les y, y' et y" soient les mêmes dans les deux hypothèses, il faudra que les équations d’où elles dépendent soient aussi les mêmes. Or, dans la supposition de a et b variables, l'équation f ( x,y , a, b) = o donne l'équation prime

f (x, r, «, Vf -+- n'f'(a) 4- b'f'(b) = o; ■ '

donc, pour que cette équation se réduise à

comme dans le cas de a et b constantes, il liiudra que l’on ait

B'n«)+ bT(b) =o.

De la même manière, l’équation f {x,y, a, b)' = o donne, dans le cas de a et b variables, cette équation dérivée

f (x,jr, a, b)" -h a'('(a)'-±- b'\\b)' = o,

laquelle ne peut se réduire à f (.r, y, a, b)" = o, comme dans le cas de a et b constantes, qu’en supposant

flï>/+t'fW=0.

Ayant ainsi les quatre équations

n«>+ £»'(*) = o et l>)'+îfW = o,