DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE QUATRIEME

il n’y aura qu’à éliminer a, b et et l’on aura une équation du premier ordre entre x, y et y', qui sera celle des courbes enveloppantes, et qui sera en même temps l’équation primitive singulière de la même équation V = o.

On voit par là comment la théorie des équations primitives singulières peut s’étendre au second ordre et aux ordres supérieurs. On voit en même temps que ces équations représentent toujours des courbes enveloppantes, et qui ont des contacts d’un ordre donné avec les courbes enveloppées, représentées par les équations primitives complètes, dans lesquelles les constantes arbitraires varient d’une courbe à l'autre. Ceci peut servir de supplément et de complément à la théorie des équations primitives exposée dans la première partie (n° 60).

Au reste, de même que les quatre équations ci-dessus

{'(a) +■ J f» = o, 1»'+ K nb)' = o,

donnent, par l’élimination de a, b et^r> une équation du premier ordre en æ, y et y', ces équations donneront également, par l’élimination de ces trois dernières quantités, une équation en n, b et .

qui renfermera les relations que doivent avoir entre elles les deux variables a et b; d’où l’on voit que ces quantités, qui sont indépendantes entre elles dans chacune des courbes enveloppées, ne le sont plus lorsqu’elles se rapportent à la courbe enveloppante. On trouvera des résultats semblables pour les équations et les courbes des ordres supérieurs.

22. Supposons que l’on demande la courbe qui aura dans chacun de ses points un contact du second ordre avec un cercle représenté |»ar l’équation

et dont les éléments du contact a , b , c aient entre eux la relation déterminée par l’équation

r.a marche naturelle pour résoudre ce problème serait de substituer dans cette équation les valeurs des éléments a, b , c trouvées plus haut ( n ° II) , ce qui donnerait une équation du second ordre, d’où il faudrait remonter à l’équation primitive.

Mais, sans chercher cette équation du second ordre, on peut d’abord conclure de ce que nous venons de démontrer, que l’on aura son équation primitive complète, en supposant les quantités a, b , c constantes, ce qui redonnera la même équation au cercle. On en conclura ensuite que la même équation admettra aussi une équation primitive singulière du premier ordre, qu’on obtiendra en faisant varier les quantités n, b, c, de manière que les équations primes et secondes de l’équation au cercle soient les mêmes que si ces quantités étaient regardées comme constantes; et que cette équation primitive représentera alors la courbe ou les courbes formées par la réunion de tous les cercles représentés par la meme équation, c’est-à-dire qui envelopperont ou embrasseront tous ces cercles.

Cette équation sera donc, par les principes établis ci-dessus, le ré-

sultat de l'élimination des quantités a, b, c et ^7* entre les trois équations

(.r — x — n-hy\y — b) =0, <p(a,b,c)=o,

et les équations primes de celles-ci, prises relativement aux seules variables a, b, c, savoir:

<P( a ) ■+■ (b) -4- -, tp'(c) = o.

Mais, comme cette équation en x et y pourrait se présenter sous une forme assez compliquée, il sera plus simple de chercher à déterminer les valeurs mêmes de x et y par une troisième variable.