DEUXIEME PARTIE. — CHAPITRE QUATRIEME. ÜOQ

Pour cela, on éliminera d’abord y r au moyen des deux équations

x — a -+- y' (y — b) — o et on aura celle-ci.

qui , étant combinée avec la première . ‘

(x — a ) 1 -+- (y — b)' — c\ ; donnera snr-le-champ

ca , * . cb' . •

x — a ■+■ - , -fr. i . • y = b -7===-=--

De plus, si l’on substitue ces mêmes valeurs de .r et y dans P équa-

tion

on aura celle-ci ,

b' . . . ce'

X — a-h^r(y — b) = -rr »'

laquelle, étant combinée avec l’équation p (a, b, c) — o donnée par le problème, servira à déterminer deux des trois variables a, b, c par la troisième, moyennant quoi, les valeurs de x et y seront aussi exprimées par cette seule variable.

23. Comme les quantités a et b sont les coordonnées de la courbe qui est le lieu de tous les centres des cercles osculateurs (n° fl), si l'on suppose cette courbe donnée, 00 aura une équation entre a et b. par laquelle on pourra déterminer b en a. Soit donc b = pa, on aura

et de là

ainsi, en désignant par A la fonction primitive de a^i -+- ($'«)% 3 * M. »7 ,

on aura

h étant une constante arbitraire; ces valeurs de b et c étant substituées dans les expressions de .r, y, on aura la courbe cherchée.

Nous remarquerons maintenant que, quelle que soit la courbe des centres, l’équation c' ■= sjn ' 7 -f- b' 7 fait voir que le rayon c est égal à l’arc de cette' courbe (voyez ci-après le n° 29); de sorte que si l’on nomme s cet arc, on aura *

Nous remarquerons, de plus, que le rayon c sera nécessairement tangent à la même courbe; car l'angle que la tangente de cette courbe

lait avec l’axe a pour tangente la quantité — (n® 7), et comme le

rayon du cercle osculateur est perpendiculaire à la eourbe dont les coordonnées sont ,r et y (n° 8), la tangente de l’angle qu’il fait avec

l’axé sera = — (n° 7) = — en vertu de l’équation 1 = o,

et par conséquent la même que celle de la tangente à la courbe.

Mais, quoique cette propriété soit démontrée de cette manière, il est bon de faire voir qu’elle est une conséquence nécessaire de l'analyse employée dans la solution de la question. Pour cela, nous reprendrons les deux premières équations

(x — a ) 7 (y — b ) 7 — c 7 et x — a + y'( y — b) = o.

lesquelles donnent

n = x — et

vr-t-.r *

et nous observerons que ces expressions de a et b peuvent représenter à la fois les coordonnées de la perpendiculaire à la eourbe dont x et y sont les coordonnées, en regardant a: et y comme constantes, etc comme une variable, ainsi qu’on l’a vu dans le n°8, et les coordonnées de la courbe des centres, en regardant x et y comme variables, et c comme donuée en .v et y (n° 9).