CHAPITRE QUATRIEME

Donc la perpendiculaire dont il s’agit sera tangente de cette dernière courbe, si la l'onction prime de b, regardée comme fonction de a , est la même pour la droite et pour la courbe (n° 10 ); ou, en général, si les valeurs de a et de b', regardées comme fonctions d’une troisième variable, sont les mêmes, et par conséquent aussi, si les valeurs de

et * sont les mêmes, soit que les quantités x et y soient traitées

comme variables ou- non, c'est-à-dire si dans ces valeurs les parties dépendantes des variations de ,r et y sont nulles; or, c’est ce qui a lieu en effet, comme on le voit par les équations du numéro précédent,

a' (x — a) 4- b' ( y — b) == cc' et a'. - 4 - b' y' — o,

qui servent à la détermination de et de , et qui sont les équations primes de

(x — a) 2 -h (y — b ) 1 — c 2 . et x — a H -y' (y — b) — o,

en y traitant x et y comme constantes, et a , b comme seules variables.

Donc, puisque le rayon oscillateur d'une courbe est partout tangent à la courbe des centres, et est en. même temps égal à l'arc de cette courbe, il s'ensuit qu’il peut être pris pour ce même arc étendu en ligne droite, et qu'aiusi toute courbe, peut être regardée comme lormée par le développement de celle qui est le lieu des centres des cercles oscillateurs. C'est en quoi consiste la théorie des développées d'Iluygens, qui n'avait été démontrée que par îles considérations géométriques. I. 'analyse précédente fournit en même temps l’explication d’un paradoxe qui se présente lorsqu’on cherche, par les formules connues, la courbe formée par le développement d’une courbe donnée.

Si l’on substitué dans l’équation de cette courbe les expressions de ses coordonnées a et b en x, y, y' et y" , on a évidemment une équation du second ordre, d’où il parait s’ensuivre que l'équation en x et y de la courbe cherchée devrait contenir deux constantes arbitraires, tandis que lu génération de cette courbe, par le développe-

THEOHIE DES PONCTIONS.

ment de la courbe donnée, n’admet qu’une seule exinstante arbitraire dépendant du point où commence le développement.

La raison de cette différence consiste, comme nous venons de le démontrer, en ee que l’équation de la courbe engendrée par le développement est proprement l'équation primitive complète d’une équation du premier ordre, qui n’est elle-même que l’équation primitive singulière de l’équation du second ordre, donnée par les conditions du problème, et qui, par sa nature, ne peut point avoir de constante arbitraire; de sorte qu’il ne peut y avoir qu’une constante arbitraire, à raison de la première équation primitive.