CHAPITRE CINQUIÈME

Des plus grandes et des moindres valeurs des fonctions' d’une * - variable. •

24. 11 y a un genre de questions qui, quoique indépendantes de la considération des tangentes, peuvent néanmoins s'y rapporter. Ce sont celles qu'on appelle de nuu irnis et rninirnis, et .qui consistent à trouver pour une fonction donnée d’une variable, Ja valeur de cette variable qui rend celle de la fonction la plus grande ou la plus petite. Comme les courbes ne sont que la représentation ou le tableau detoutes fes valeurs de la fonction de l’abscisse, représentée par l’ordonnée, il est visible que la question de trouver la plus grande ou la plus petite valeur d’une fonction donnée d’uné variable revient à déterminer la plds grande qu la plus petite ordonnée de la courbe dont cette variable serait l’abscisse, et. la (onction donnée serait l'ordonnée. • • f • w * '

Or - l’inspection seule de la courbe suffit pour faire voir que ces ordonnées ne peuvent être que celles qui répondent aux points dolit les tangentes seront parallèles, à l’axe des abscisses. Si 1» eourlie est convexe à l’axe, T ordonnée sera alors évidemment un minimum ; et si la eburbe est concave, l’ordonnée est un maximum.

Nous avons vu (n® 7) que la tangente de l’angle que la tangente d’une coorbe fait avec l’axe est exprimée, en général, par y’, y étant l’ordonnée que l’on suppose fonction de l’abscisse x; donc, pour que cette tangente devienne parallèle à l’axe, il faut que l’on ait y' s= o;

THÉORIE DBS FONCTIONS.

or, si l'on fait y' = o dans les expressions des coordonnées a et b (n°9), qui déterminent le lien du centre du cercle oscillateur, on a

• • « . * * a=zx, u b — y ->!- y,;

d'oii I on voit que si y" est une quantité positive, ce centre tombera au delà de la courbe, qui sera, par conséquent, convexe vers l’axe ; et que si y'' est une quantité négative, le même centre tombera en deçà de la courbe, c’est-à-dire du côté de l'axe, et que, par conséquent, la courbe sera alors concave vers l’axe. Donc la fonction y sera un maximum ou un minimum, lorsque sa fonction prime y' sera nulle; et, en particulier, elle sera un minimum lorsque la fonction seconde y" sera en même temps une quantité positive, et un maximum lorsque y” sera une quantité négative: c’est en quoi consiste la méthode connue de maxirnis et minimis.

*2o. Mais il n'est pas inutile de faire voir comment cette méthode peut se déduire directement de l'analyse des fonctions, sans la considération intermédiaire des courbes. . ,

Soit fa - la fonction de x, dont on demande le maximum ou le minimum: Soit a la valeur de x qui répond au maximum ou an minimum; il faudra que la valeur de-fo soit toujours plus grande ou toujours moindre que la valeur de f (n -y- /), quelle que soit la quantité i , positive ou négative, et quelque petite qu’elle puisse être. Je dis quelque petite que la quantité i puisse être, car une quantité est censée devenir un maximum ou un minimum, lorsqu’elle parvient au terme de son accroissement ou de sa diminution, de manière qu'en deçà et au delà de 6e terme, elle se trouve moindre dans le cas du maximum, ou plus grande dans le cas do minimum, que dans le même terme. Concevons x à la place de a, la condition du maximum sera

f (.r -h *) < f,r ou f (x -h i) fx < o,

et celle du minimum sera

f (.r -t- i) > fx ou f (x - 4 - i) — fx > o,

quelque petit que soit i, positif ou négatif.