DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE CINQUIÈME. al

Développons la fonction f(x-t-i) en série, par nos formules (n“ 40, première partie), et arrêtons-nous d’abord aux deux premiers termes, on aura ainsi

f (x -+- i) = fx iî'.c - 4 - f " (x -+-y) ,

j étant une quantité renfermée entre les limites o et i. Il faudra donc que l’on ait if'.t -+- * f w (x +j) < o pour le maximum, et > o pour le minimum -

Or nous avons déjà vu pi“ 3) que l’on peut prendre i assez petit pour que la valeur absolue du terme iVx soit plus grande que celle

du terme — f'"(x -+- j), ce qui, étant vrai pour une valeur de i, aura lieu aussi pour toutes les valeurs de i plus petites; donc la. quantité tf'x ■+■ — f*(x j) deviendra alors positive ou négative, suivant que

la quantité /f'x le sera; mais celle-ci change de signe avec ja quantité i; donc il sera impossible que la condition du maximum ou du minimum ait lieu, à' moins que l’on n’ait f'x = o.

Prenons maintenant dans le développement de f(x -f- i) un -terme de plus, nous aurons

, f (x -h i) — fx -t- if'x -+- — f*x - 4 - f w (x — t— y ) »

donCjàcause de f'x=o, il faudra que l’onait -f x + ^-jf w (x-4-y)<o pour le maximum, et >o pour le minimum. On peut aussi prendre / assez petit pour que la valeur absolue du terme -- f ff x soit plus grande

que celle de f'"(x -4-/) ; alors la quantité

sera positive ou négative, suivant que celle de - f"x le sera. Donc, puisque la valeur de i* est toujours positive, il faudra, pour le

2l6 . THÉORIE DES FONCTIONS.

maximum, que l'on ait Px < o, et que, pour le minimum, l'on ait

rx> o.

a Si l’on fait ("x = o, alors reprenant le développement de f'(ur — f- i), et employant un terme de plus, pu aurait

f(x -f- ») — f.c -+- it'x ■+■ - t".r. 4 - ^3 f** •+* a3 ,f V

doue, puisqu'on suppose fx = o et f"x = o, on aurait, pour le maximum, la condition '

Ijjkr'? , ’ Y’ y ' *? ^ ^ •

. • il fijr i , yy o^â^**^* * j ’’ •" ‘

. et pouf le minimum, la condition opposée.’ Or on petit prendre i assez

petit pour que la valeur absolue du tenue — f”x surpasse celle du

Itàrt fa ^Vi, .

‘t . • ' j •• «• T IVVf

vi âaS ' , * . ' • i

sera positive ou négfitrve suivant celle de ^ F" .VJ mais celle-ci change

de signe avec la quantité i : donc il sera impossible que la condition du maximum ou du minimum ait lieu, à moins qu on n’ait f".r.= o.

h, m ployons encore le. terme suivant dans le développement de f<(x -i- /), on aura

et les conditions du minimum <>u dn maximum deviendront *4

•* v * v Tif wQifi '.o ,i

à. cause de I ’.c ,^0^. I' o et J .1^=0. On promera ici, comme plus haut, que l'on pourra prendre i assez, petit pour que le tenue